鄧輝詠，何循來，殷軍輝，王 聰，張偉召

(1.陸軍工程大學(xué)石家莊校區(qū)，河北 石家莊 050003；2.南通理工學(xué)院，江蘇 南通 226002；3.陸軍炮兵防空兵學(xué)院，河南 鄭州 450007)

小口徑高炮由于射速高、初速快，射擊密集度高，在近程具有較高的效費(fèi)比，是己方高價(jià)值目標(biāo)的末端防空武器。有效的高炮對(duì)目標(biāo)毀殲概率的計(jì)算模型，能夠?qū)Ω吲谖淦飨到y(tǒng)的效能分析、方案評(píng)價(jià)和作戰(zhàn)研究提供有力保障。

對(duì)高炮毀殲概率的研究，許多學(xué)者做了積極探索，肖元星[1]等較系統(tǒng)地研究了高炮武器系統(tǒng)著發(fā)、近炸、空炸射擊時(shí)的毀殲概率模型，但在計(jì)算著發(fā)時(shí)，采用解析法，模型推導(dǎo)過程作了較大簡(jiǎn)化，不能計(jì)算下滑、俯沖等任意航路的點(diǎn)射毀殲概率。文獻(xiàn)[2]基于蒙特卡羅法，采用仿真的思路計(jì)算著發(fā)射擊毀殲概率，能夠?qū)θ我饽繕?biāo)、任意飛行航路的毀殲概率進(jìn)行計(jì)算，但這種方法需要對(duì)目標(biāo)的外形輪廓進(jìn)行簡(jiǎn)化，目標(biāo)輪廓方程不易建立。文獻(xiàn)[3-4]對(duì)彈丸初速、彈道系數(shù)以及目標(biāo)飛行參數(shù)對(duì)著發(fā)射擊毀殲概率的影響進(jìn)行了研究；文獻(xiàn)[5]根據(jù)射擊誤差的相關(guān)性和重復(fù)性，研究了各類誤差的產(chǎn)生方法，其本質(zhì)還是簡(jiǎn)析模型的運(yùn)用。

現(xiàn)代高炮武器系統(tǒng)，尤其是自行高炮在伴隨防空過程中，兩炮間隔有時(shí)可達(dá)1 000 m以上，因此必須考慮配置地域帶來的炮目距離差引起的毀殲概率變化，另外，對(duì)于高速運(yùn)動(dòng)目標(biāo)，例如彈道末速度達(dá)550 m/s的鉆地精確制導(dǎo)炸彈，必須考慮點(diǎn)射時(shí)各發(fā)彈彈著點(diǎn)引起的毀殲概率變化。筆者在分析射擊誤差來源的基礎(chǔ)上，結(jié)合仿真法和解析法，逐彈逐炮計(jì)算對(duì)目標(biāo)的毀殲概率，進(jìn)而求取一次點(diǎn)射毀殲概率。

1 射擊誤差分析

在理想情況下，不考慮誤差，彈丸能夠在提前點(diǎn)準(zhǔn)確命中目標(biāo)，但由于誤差的存在，實(shí)際彈著點(diǎn)與理想彈著點(diǎn)有偏差。高炮的射擊誤差包括[6]：不相關(guān)誤差、弱相關(guān)誤差、強(qiáng)相關(guān)誤差和系統(tǒng)誤差(由于現(xiàn)代高炮基線已經(jīng)修正，不考慮單炮系統(tǒng)誤差)。

1)不相關(guān)誤差。不相關(guān)誤差指以同樣的射擊諸元發(fā)射多發(fā)彈，由于各種隨機(jī)因素影響而造成的實(shí)際彈道與理論彈道的偏差，表現(xiàn)為彈丸在彈道平面內(nèi)隨機(jī)分布，其均值為0，通常用高低和方向散布中間誤差或均方差來描述，一般用σN、σZ表征。在用仿真法計(jì)算高炮毀殲概率時(shí)，散布誤差為不相關(guān)誤差，服從正態(tài)分布，可用直接抽樣的方法生成服從某個(gè)方差分布的隨機(jī)數(shù)。

2)弱相關(guān)誤差。弱相關(guān)誤差包括：火控解算系統(tǒng)和跟蹤系統(tǒng)引起的誤差σr1、σr2，火炮隨動(dòng)系統(tǒng)和穩(wěn)定系統(tǒng)引起的誤差σr3、σr4.跟蹤時(shí)每發(fā)彈的提前點(diǎn)均存在誤差，因此σr1、σr2與點(diǎn)射長(zhǎng)度相關(guān)；而σr1還應(yīng)增加火控系統(tǒng)之間的誤差，因此與點(diǎn)射長(zhǎng)度和火控系統(tǒng)有關(guān)；σr3、σr4與點(diǎn)射長(zhǎng)度和火炮有關(guān)，牽引高炮無穩(wěn)定系統(tǒng)，σr4取0.弱相關(guān)誤差可認(rèn)為相關(guān)系數(shù)為(0，1).

3)強(qiáng)相關(guān)誤差。強(qiáng)相關(guān)誤差包括氣象測(cè)量誤差σq1和初速準(zhǔn)備誤差σq2.σq1與某次點(diǎn)射所處的條件有關(guān)，主要包括修正空氣密度誤差均方差σΔk、修正縱風(fēng)風(fēng)速誤差均方差σFx、修正橫風(fēng)風(fēng)速誤差均方差σFz；顯然，σq2也只與射擊條件有關(guān)，一般用修正初速準(zhǔn)備誤差均方差σv0p表征。強(qiáng)相關(guān)誤差可以認(rèn)為相關(guān)系數(shù)為1的誤差。

4)高低角和方位角的系統(tǒng)誤差σφ、σβq.該誤差只與火炮有關(guān)，在彈道平面內(nèi)表現(xiàn)為與理想點(diǎn)實(shí)際偏差。

前述的相關(guān)性是指同一時(shí)刻每發(fā)彈是一致的，但在不同時(shí)刻，后一發(fā)彈對(duì)前一發(fā)彈具有相關(guān)性。對(duì)于弱相關(guān)誤差，認(rèn)為是方差數(shù)和相關(guān)系數(shù)已知的正態(tài)分布數(shù)，可以先隨機(jī)生成所需要服從分布的隨機(jī)數(shù)，再經(jīng)過相關(guān)的抽樣模型處理。

2 仿真模型

2.1 相關(guān)性誤差抽樣模型

由于高低和方位誤差的相關(guān)性很小，因此可以將二維問題轉(zhuǎn)換成兩個(gè)一維平穩(wěn)隨機(jī)問題。首先根據(jù)點(diǎn)射長(zhǎng)度n，生成n個(gè)獨(dú)立的服從的隨機(jī)數(shù){u1,u2,…,un}，則考慮相關(guān)性誤差時(shí)第k發(fā)彈的隨機(jī)誤差抽樣ηk為[7]

(1)

式中：α為相關(guān)系數(shù)；Δt為兩發(fā)彈時(shí)間間隔，取Δt=60/(ph),h為單管分鐘射速,p為管數(shù)。

2.2 誤差合并

從前面分析可知，火炮隨動(dòng)系統(tǒng)和穩(wěn)定系統(tǒng)產(chǎn)生相關(guān)性誤差時(shí)機(jī)是一致的，為了提高計(jì)算機(jī)的運(yùn)行速度，可以將這兩個(gè)誤差合并。設(shè)隨動(dòng)系統(tǒng)和穩(wěn)定系統(tǒng)的相關(guān)系數(shù)分別為r3、r4，則合并后的相關(guān)系數(shù)rh和方差σh為

(2)

(3)

顯然，對(duì)于牽引高炮σr4取0后，合并表達(dá)式退化成只含隨動(dòng)系統(tǒng)誤差。

2.3 考慮地域配置不同的處理

考慮到高炮的配置范圍不會(huì)太大，因此忽略配置地域在高度上的差異。設(shè)基準(zhǔn)炮位于O0點(diǎn)，建立基準(zhǔn)坐標(biāo)系O0-x0y0z0，目標(biāo)提前點(diǎn)Mq在基準(zhǔn)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(x10,pq0,Hq).第i門炮位于Oi點(diǎn)，其在基準(zhǔn)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(ricosθi，risinθi，0)，在Oi點(diǎn)建立第i門炮的坐標(biāo)系Oi-xiyizi，各坐標(biāo)軸與基準(zhǔn)坐標(biāo)系各軸同向，各炮與基準(zhǔn)炮相對(duì)位置關(guān)系如圖1所示。則目標(biāo)提前點(diǎn)在坐標(biāo)系Oi-xiyizi中的坐標(biāo)為

(4)

2.4 毀殲概率表達(dá)式

強(qiáng)相關(guān)誤差和弱相關(guān)誤差在仿真計(jì)算時(shí)，首先按散布誤差生成正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)，然后按2.1節(jié)方法對(duì)各數(shù)據(jù)進(jìn)行相關(guān)性處理，計(jì)算毀殲概率時(shí)可依次抽取處理后的誤差數(shù)據(jù)，作為某發(fā)彈的諸元誤差，結(jié)合散布誤差和系統(tǒng)誤差，則可按文獻(xiàn)[1]中單管單發(fā)的模型計(jì)算第i發(fā)彈的毀殲概率，即

(5)

式中：A=(a1,a2)T為高低和方位系統(tǒng)誤差組成的列向量；Σ為高低方位散布誤差組成的矩陣、相關(guān)性處理后高低方位射擊諸元誤差(除系統(tǒng)誤差)組成矩陣和，其中氣象測(cè)量誤差和初速準(zhǔn)備誤差矩陣中各元素的求取參考文獻(xiàn)[1]，其余誤差對(duì)角元素分別為高低誤差和方位誤差，其余元素為0；w為毀殲?zāi)繕?biāo)所需平均彈數(shù)；l為目標(biāo)三向面積在彈道平面內(nèi)投影面積等效正方形邊長(zhǎng)，該參數(shù)與彈丸終點(diǎn)速度、目標(biāo)速度和目標(biāo)飛行姿態(tài)相關(guān)[1]，而目標(biāo)在任一時(shí)刻的速度和飛行姿態(tài)可通過目標(biāo)的航路數(shù)據(jù)/方程得到。

由于仿真需要大量的計(jì)算，直接用積分求單發(fā)毀殲不經(jīng)濟(jì)，有必要對(duì)其進(jìn)行變換，通過變換，式(5)可變換為

(6)

(7)

式中：λ1、λ2為Σ的特征值；θ為Σ對(duì)角化的單位正交陣角元素，其計(jì)算式為

(8)

式中，σij為Σ中的元素。

由于式(6)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率密度函數(shù)積分，可轉(zhuǎn)化為

(9)

φ(x)的近似計(jì)算式可見文獻(xiàn)[1].經(jīng)過轉(zhuǎn)換近似計(jì)算，Pki由積分式轉(zhuǎn)換成乘法運(yùn)算，使計(jì)算效率大大提高。若有m門火炮，每門火炮有p個(gè)身管，每管發(fā)射n發(fā)彈，則進(jìn)行一次點(diǎn)射的毀殲概率為

(10)

2.5 仿真流程

圖2為小口徑高炮對(duì)高速目標(biāo)毀殲概率的仿真計(jì)算流程，圖中Ns、L、m、n、p分別為仿真次數(shù)、火控門數(shù)、火炮門數(shù)、單管射彈發(fā)數(shù)以及火炮身管數(shù)。為了提高計(jì)算精度，應(yīng)盡可能提高仿真次數(shù)Ns.

3 仿真算例

為了驗(yàn)證計(jì)算方法的正確性，用解析法和本文方法分別進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算條件：某35高炮的誤差和射表數(shù)據(jù)，2門高炮射擊，極坐標(biāo)參數(shù)設(shè)為(0，0)，單管18發(fā)；目標(biāo)數(shù)據(jù)：三向面積分別為0.833、0.833、0.221 m2，俯沖角0°，速度340 m/s，航捷500 m，高度200 m，目標(biāo)臨近，平均毀殲彈數(shù)為1.34.

為了有比較性，用本文的方法計(jì)算時(shí)，強(qiáng)制點(diǎn)射過程中目標(biāo)位置不改變，仿真次數(shù)設(shè)300，計(jì)算數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 某35高炮不同航程對(duì)目標(biāo)的毀殲概率 m

從仿真的結(jié)果來看，整個(gè)航程的平均毀殲概率吻合較好，相對(duì)誤差約為3.1%，說明本文計(jì)算方法的正確性，但本文的計(jì)算結(jié)果更符合指數(shù)函數(shù)的變化規(guī)律，即在航程的兩端變化較平緩，而中間變化較快，與適用的指數(shù)毀殲率相符。

以文獻(xiàn)[1]中例6.1基本數(shù)據(jù)為例，第2門炮相對(duì)于基準(zhǔn)炮的極坐標(biāo)為(500 m,120°).目標(biāo)按表2中數(shù)據(jù)飛行(時(shí)間為基本變量，中間值按4次樣條插值獲取)。在時(shí)間t=0,1,2,…,5 s時(shí)刻分別做一次單管18發(fā)的點(diǎn)射。

表2 目標(biāo)飛行航路數(shù)據(jù)

通過MATLAB編制程序仿真計(jì)算，得到各時(shí)刻點(diǎn)射的毀殲概率數(shù)據(jù)，如圖3所示。

從圖3可以看出，炮2的毀殲概率總體上比基準(zhǔn)炮要小且其變化趨勢(shì)基本一致。這是由于目標(biāo)相對(duì)于炮2比相對(duì)于基準(zhǔn)炮的航路截徑和航程都較大。因此，在計(jì)算多炮協(xié)同作戰(zhàn)的毀殲概率時(shí)，必須考慮各炮的配置地域。

圖4為t=3 s時(shí)刻點(diǎn)射各發(fā)射彈的毀殲概率。

從圖4可以看出，各發(fā)射彈的毀殲概率總體上具有不斷增加的趨勢(shì)。這是因?yàn)樵趖=3 s時(shí)刻，目標(biāo)的絕對(duì)速度達(dá)到980 m/s，而兩發(fā)彈的時(shí)間間隔為0.056 s，即在該時(shí)間間隔內(nèi)，目標(biāo)向陣地臨近約50 m.隨著目標(biāo)的不斷臨近，各發(fā)彈的毀殲概率不斷增加，因此在計(jì)算高速運(yùn)動(dòng)目標(biāo)時(shí)，必須考慮目標(biāo)位置的變化。

4 結(jié)束語

筆者通過對(duì)射擊誤差分析和其中相關(guān)性誤差抽樣建模，設(shè)計(jì)了用解析法計(jì)算高炮單管單發(fā)毀殲概率進(jìn)而求取一次點(diǎn)射毀殲概率的計(jì)算方法;并給出了仿真計(jì)算流程。該方法只需輸入目標(biāo)的三向面積，不需對(duì)目標(biāo)的外形輪廓建模，簡(jiǎn)化了計(jì)算。另外，該方法考慮了火炮配置地域差距、點(diǎn)射時(shí)間差帶來的毀殲概率影響，適合對(duì)高速目標(biāo)毀殲概率的計(jì)算。