張利巍 李賢麗? 楊柳

1) (東北石油大學(xué)電子科學(xué)學(xué)院, 大慶 163318)

2) (哈爾濱工程大學(xué)自動化學(xué)院, 哈爾濱 150001)

1 引 言

非互易光學(xué)器件在光源和接收器調(diào)換位置后可以使光信號表現(xiàn)出不同的傳輸特性.由于其可以抑制多余的信號, 因此在量子信號處理和量子通信中有著重要的應(yīng)用.例如, 在量子超導(dǎo)電路中它們可以保護(hù)信號源不被讀取器件發(fā)出的噪聲干擾[1].為實現(xiàn)光學(xué)非互易性, 時間反演對稱性破缺是必須的.傳統(tǒng)的非互易性光學(xué)器件都是依賴 強磁場去實現(xiàn)時間反演對稱性破缺[2].然而由于需要較強磁場, 這些傳統(tǒng)器件體積往往較大, 不便于微型化和集成化.近年來由于納米技術(shù)的進(jìn)步, 使微納系統(tǒng)中光學(xué)現(xiàn)象得到廣泛研究[3-7].腔光力學(xué)系統(tǒng)中的光輻射壓力可以使系統(tǒng)呈現(xiàn)出各種有趣的量子現(xiàn)象.例如, 腔光力學(xué)系統(tǒng)中的量子糾纏[8-16], 力學(xué)振子的基態(tài)冷卻[17-21], 光力誘導(dǎo)透明[22-26]以及非線性效應(yīng)[26-33]和聲子阻塞[34]等量子現(xiàn)象.最近,人們意識到光力耦合相互作用也可以產(chǎn)生光學(xué)非互易傳輸現(xiàn)象.例如通過光力相互作用可以產(chǎn)生非互易光學(xué)反應(yīng)在理論上被預(yù)言[35-37], 并在實驗上得到證實[38-42].并在理論上指出如果采用適當(dāng)?shù)尿?qū)動場, 以力學(xué)模為中介的兩個腔模之間的態(tài)轉(zhuǎn)換可以是非互易的[43-45], 以及通過光力耦合相互作用可以實現(xiàn)信號非互易放大現(xiàn)象[46-48].在文獻(xiàn)[49,50]中, 理論上給出了通過光力相互作用可以實現(xiàn)非互易光子阻塞效應(yīng), 以及在文獻(xiàn)[51]中, 作者理論上指出通過光力相互作用可以實現(xiàn)非互易慢光.另外, 在文獻(xiàn)[52,53]中, 作者理論上預(yù)言了通過光力耦合可以實現(xiàn)聲子環(huán)形器和熱二極管.然而在大部分文獻(xiàn)當(dāng)中人們常常采用紅失諧的驅(qū)動場和的非互易相位差去實現(xiàn)光學(xué)非互易性.

本文研究了在藍(lán)失諧驅(qū)動下, 在雙腔光力系統(tǒng)(如圖1所示)中如何實現(xiàn)光場的非互易傳輸.在此模型中, Li等[48]利用力學(xué)驅(qū)動機制實現(xiàn)了光的非互易放大, 并在紅失諧驅(qū)動下, 利用的非互易相位差去實現(xiàn)光學(xué)非互易性[43].實際上, 此系統(tǒng)中的光學(xué)非互易性源于光力耦合和腔模線性耦合的共同作用, 使從不同路徑傳輸?shù)墓庑盘栔g產(chǎn)生干涉效應(yīng).本文根據(jù)此物理機理并由腔光力學(xué)中標(biāo)準(zhǔn)的光場輸入輸出關(guān)系, 得到了實現(xiàn)完美的非互易光傳輸條件.研究發(fā)現(xiàn), 在系統(tǒng)中各耗散速率一定的情況下, 會有兩套耦合強度可以實現(xiàn)光學(xué)非互易傳輸, 并且即使在非互易相位差不為時系統(tǒng)依然可以實現(xiàn)完美光學(xué)非互易性.最后根據(jù)勞斯-霍爾維茨(Routh-Hurwitz)穩(wěn)態(tài)判據(jù)給出了系統(tǒng)在藍(lán)失諧驅(qū)動下的穩(wěn)定條件.這些研究結(jié)果有望能應(yīng)用于在光力系統(tǒng)中實現(xiàn)光頻隔離器、非互易態(tài)轉(zhuǎn)換等量子信息處理過程.

2 理論模型與主要公式

本文研究了一個雙腔光力學(xué)系統(tǒng), 如圖1所示, 左右兩個光學(xué)腔與中間一個力學(xué)振子通過光力相互作用耦合;ci(ω0)和b(ωm)分別表示光學(xué)腔i和力學(xué)振子的湮滅算符(本征頻率);κi和γ分別表示光腔i和力學(xué)振子的弛豫速率.兩個頻率均為ωc(ωp)、振幅分別為εc和εd(εL和εR)的強驅(qū)動場(弱探測場) 分別從左右兩側(cè)射入并驅(qū)動腔模c1和c2.同時左右兩腔之間由線性相互作用相耦合,J為線性耦合強度.在相對驅(qū)動場頻率ωc做旋轉(zhuǎn)后, 系統(tǒng)的哈密頓量(?=1)可寫為

其 中Δc=ω0-ωc(Δ=ωp-ωc)為腔模 (探測場)與驅(qū)動場之間的失諧,gi為光學(xué)腔i與力學(xué)振子之間的單光子耦合常數(shù).實際上, 此三模光力耦合系統(tǒng)在實驗上是可行的, 如在法布里-珀羅(Fabry-Pérot)腔中加入力學(xué)膜的實驗裝置, 見文獻(xiàn)[54-56].

圖1 雙腔光力學(xué)系統(tǒng)示意圖, 兩光學(xué)腔通過光力相互作用與一個力學(xué)振子相耦合, 振幅為 εc 和 εd (εL 和 ε R)的強耦合場 (探測場)分別從左右兩側(cè)驅(qū)動腔模 c1 和 c2 , 同時兩腔模之間存在線性耦合相互作用JFig.1.A two-cavity optomechanical system with a mechanical resonator interacted with two cavities.Two strong coupling fields (probe fields) with amplitudes εc and εd (εL and εR) are used to drive cavity c1 and c2 respectively.Meanwhile, the two cavities are linearly coupled to each other with coupling strength J.

根據(jù)海森伯-郎之萬方程, 由系統(tǒng)哈密頓量(1)式可得系統(tǒng)相關(guān)算符的運動方程為:

在沒有探測場時, 根據(jù)假設(shè) 〈bci〉=〈b〉〈ci〉 , 可以得出各算符的穩(wěn)態(tài)平均值為:

其中G1=g1c1s,G2=g2c2se-iθ.由等式(3)可知,通過調(diào)節(jié)驅(qū)動εc和εd可以有效調(diào)節(jié)光力耦合g1c1s和g2c2s之間的非互易相位差θ(即調(diào)節(jié)驅(qū)動場εc和εd的強度和相位可以使c1s為實數(shù), 而此時c2s的輻角便是非互易相位差θ).為簡化, 本文只討論相等耦合G1=G2=G和κ1=κ2=κ, 并 且 設(shè)G(J)＞0.本文討論藍(lán)失諧驅(qū)動, 即(Δ1≈ Δ2≈-ωm), 并假設(shè)力學(xué)振子頻率ωm遠(yuǎn)大于耦合強度G, 則方程(4)可以化簡為

由νin的形式可以假設(shè)方程(5)的解具有 δs=δs+e-ixt+ δs-eixt(s=b,c1,c2)的形式, 經(jīng)計算可得

其中γx=γ-2ix,κx=κ-2ix,δs-=0.

系統(tǒng)產(chǎn)生光學(xué)非互易性的物理根源是時間反演對稱發(fā)生破缺, 這點也可從(5)式看出, 運動方程(5)式對應(yīng)的系統(tǒng)等效哈密頓量為Heff=Gδc1δb+當(dāng)θ=nπ (n為 整數(shù))時, 時間反演算符T與等效哈密頓算符Heff不對易, 即 [T,H]=0.為研究系統(tǒng)的光學(xué)非互易性,首先必須要求出系統(tǒng)左右兩側(cè)的輸出光場和.輸出場可由光力學(xué)中的輸入輸出關(guān)系[57,58]得出, 即

3 完美光學(xué)非互易性

當(dāng)系統(tǒng)呈現(xiàn)出完美的光學(xué)非互易性時, 傳輸振幅Ti→j(i,j=L,R)應(yīng)滿足

完美非互易性就意味著信號可以從系統(tǒng)的一側(cè)完全傳輸?shù)搅硪粋?cè), 而另一側(cè)的信號卻一點也不可以傳輸過來.(10)式和(11)式代表光頻隔離的兩個不同的方向.本文只討論(10)式, 因為對(11)式的討論是類似的.下標(biāo)表示沒有信號從右側(cè)/左側(cè)輸入.我們將忽略這些下標(biāo), 因為一般來說完美非互易性只討論單側(cè)輸入的情況, 并且為方便將Ti→j簡寫為Tij.

由(7)式和(9)式可得輸出場為

由(12)式可以看出, 當(dāng)非互易相位差θ=nπ (n為整數(shù))時, 兩輸出場相等, 這說明光子傳輸是互易的.而當(dāng)θ=nπ 時, 兩輸出場不再相等, 即系統(tǒng)呈現(xiàn)出光學(xué)非互易性.由(12)式可看出系統(tǒng)的非互易性來源于光力耦合相互作用G和腔模線性耦合相互作用J之間的量子相干效應(yīng).由(12)式可得出(10)式成立時失諧x和線性耦合強度J必須滿足的條件為:

把(13)式中的J代入(14)式中, 得到

由(10)式和(15)式, 可以得出系統(tǒng)出現(xiàn)完美非互易性時, 耦合強度G和J必須滿足:

由于系統(tǒng)處于藍(lán)失諧驅(qū)動下, 在某些條件下系統(tǒng)會不穩(wěn)定.系統(tǒng)要穩(wěn)定, 矩陣M(見(6)式)的本征值一定具有負(fù)實部.根據(jù)勞斯-霍爾維茨(Routh-Hurwitz)穩(wěn)態(tài)判據(jù)[59], 可以得出具體的穩(wěn)定條件如下:

系統(tǒng)所有的參數(shù)必須滿足(17)式.由(17)式可知,當(dāng)耦合G=G-時, 系統(tǒng)始終都是穩(wěn)定的, 而當(dāng)G=G+時, 系統(tǒng)參數(shù)只有滿足以下條件時系統(tǒng)才是穩(wěn)定的:

4 結(jié) 論

本文研究了雙腔光力學(xué)系統(tǒng)在藍(lán)失諧驅(qū)動下的光學(xué)非互易性.由系統(tǒng)中的光力耦合相互作用G和腔模線性耦合相互作用J之間的量子相干效應(yīng), 在某些條件下, 可以使系統(tǒng)呈現(xiàn)出完美的光學(xué)非互易現(xiàn)象.首先研究了非互易相位差的情況, 研究發(fā)現(xiàn), 當(dāng)系統(tǒng)中各耗散速率(力學(xué)耗散速率γ和腔模耗散速率κ)一定的情況下, 會有兩組耦合強度(G=G±和J=J±)均可使系統(tǒng)出現(xiàn)完美非互易性.由于系統(tǒng)處于藍(lán)失諧驅(qū)動下, 會使系統(tǒng)出現(xiàn)非穩(wěn)現(xiàn)象, 根據(jù)勞斯-霍爾維茨(Routh-Hurwitz)穩(wěn)態(tài)判據(jù)我們給出了系統(tǒng)的穩(wěn)定條件,這種非穩(wěn)現(xiàn)象也表現(xiàn)為非互易傳輸譜線會出現(xiàn)增益現(xiàn)象(譜線幅值大于1).我們還發(fā)現(xiàn)當(dāng)γ?κ時,非互易傳輸譜線的線寬 Δω∝γ, 即當(dāng)力學(xué)振子耗散速率很小時, 非互易傳輸譜線將會變得很狹窄.最后研究了更一般的非互易相位差的情況并給出了實現(xiàn)完美非互易傳輸?shù)谋匾獥l件.這些研究結(jié)果有望能應(yīng)用于光力系統(tǒng)中量子態(tài)轉(zhuǎn)換、非互易傳輸?shù)攘孔有畔⑻幚磉^程.