王 琳，謝敬華，鄧 華

(1.中南大學 機電工程學院，湖南 長沙 410083； 2.中南大學 高性能復雜制造國家重點實驗室，湖南 長沙 410083)

高精度多軸運動平臺被廣泛地應(yīng)用于機械領(lǐng)域中,特別是重載高精度多軸運動平臺得到了越來越多的應(yīng)用，如中子譜儀樣品定位運動平臺。在該中子譜儀樣品定位運動平臺中，直線位移的精度可達到30 μm，而平臺的負載可以大范圍地變化(1～1000 kg)，這就導致系統(tǒng)中的非線性摩擦是不斷變化的[1-2]。不確定的摩擦會給系統(tǒng)帶來很大的控制難度[3]。針對一般的多軸運動平臺，學者們提出了很多控制方法[4-6]，如魯棒性控制、自適應(yīng)控制、模糊控制和反饋線性化等。

一直以來有很多關(guān)于反饋線性化控制策略的研究。沈陽工業(yè)大學的孫宜標等人將非線性反饋策略應(yīng)用在一般直線伺服系統(tǒng)中，同時使用滑模觀測器對動子的速度和加速度進行了觀測，在速度跟蹤性能方面取得了較好的效果[7]。北京理工大學的趙玉壯等人在對整車懸架系統(tǒng)進行反饋線性化的過程中，使用卡爾曼觀測器對懸架振動狀態(tài)進行了觀測[8]。中南大學的Zhong Guoliang等人提出了一種摩擦自適應(yīng)的全局滑?？刂撇呗?，用于系統(tǒng)參數(shù)在一定范圍內(nèi)變化的伺服系統(tǒng)的高精度控制[9]。南京理工大學的Yao Jianyong提出了一種自適應(yīng)魯棒方法對直流電機進行控制，同時采用擴展狀態(tài)觀測器對系統(tǒng)中相關(guān)參數(shù)進行觀測，實驗證明應(yīng)用該策略的直流電機系統(tǒng)取得了較高的控制精度[10]。北京航空航天大學的Liu Chao利用反饋線性化策略將電磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)線性化后，使用PID控制方法進行控制，同時應(yīng)用擴展狀態(tài)觀測器對系統(tǒng)中狀態(tài)進行實時觀測,取得了較好的控制效果[11]。反饋線性化是一種針對非線性伺服系統(tǒng)較好的可以借鑒的方法，但是重載伺服平臺的模型必須是已知且準確的。所建立的合適的摩擦模型中參數(shù)是不斷變化的，加之一般的速度傳感器通常引入較大的測量誤差。針對這種情況采用擴展卡爾曼觀測器對模型中不斷變化的參數(shù)和速度同時進行實時觀測，然后采用反饋線性化方法將系統(tǒng)精確線性化后，再采用線性控制方法設(shè)計控制器，最后，對本文的控制方案進行了仿真驗證。

1 物理模型

多軸測試運動平臺的精度是影響測試效果的關(guān)鍵問題之一。中子譜儀重載多軸運動平臺如圖1所示，可實現(xiàn)四維運動：X、Y、Z軸直線運動部分和繞Z軸旋轉(zhuǎn)的Rz運動部分。根據(jù)平臺系統(tǒng)特性，單軸伺服系統(tǒng)可以簡化如圖2所示。

圖1 中子譜儀多軸運動平臺結(jié)構(gòu)示意圖

圖2 單軸伺服系統(tǒng)簡化圖

電機的動態(tài)數(shù)學模型可以表示為

(1)

τ(t)=c1i

(2)

s=hθ

(3)

包含摩擦非線性的平臺伺服系統(tǒng)運動方程為

(4)

式中，J為驅(qū)動子系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量；c2為阻尼系數(shù)，k為剛度系數(shù)，k和c2均大于零；τ(t)為電機輸出轉(zhuǎn)矩；Tf為系統(tǒng)折算到電機軸上的摩擦力矩；Td為系統(tǒng)中的不確定項，其中包括建模誤差以及系統(tǒng)所受到的未知擾動，D為未知擾動的上界，即，|Td|≤D。

基于中子平臺所采用的高精度的伺服系統(tǒng)，為提高系統(tǒng)的控制精度，應(yīng)盡可能多地考慮非線性影響因素，如非線性摩擦、建模誤差和外界不確定擾動等。

分析系統(tǒng)中的非線性摩擦特性，如下摩擦力矩模型能較好地表示在重載高精度伺服系統(tǒng)中的摩擦力矩。

(5)

式中，vs為切換速度；fc和fs分別為庫侖摩擦和靜摩擦。

為了方便設(shè)計控制器，將系統(tǒng)的模型進行整理，系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程可以表示為

(6)

y=x2

(7)

2 非線性反射控制策略

為得到y(tǒng)跟x的關(guān)系，對y進行求導，得

(8)

分析系統(tǒng)的特性可知，該系統(tǒng)適合反射非線性系統(tǒng)特性。為更好地控制誤差的收斂方式，將式(8)轉(zhuǎn)化為

(9)

(10)

式(9)和式(10)表明了y和u之間的關(guān)系。首先，不考慮系統(tǒng)中未知擾動項，控制器可以設(shè)計為

(11)

式中，v為控制率的輔助項。

對比上述公式，可得

θ(3)=ν

(12)

定義誤差e=θd-θ，設(shè)計v為反饋線性化的形式為

(13)

式中，k1，k2，k2為大于0的常數(shù)。

3 基于擴展卡爾曼濾波器的狀態(tài)跟參數(shù)估計

精確的非線性反射控制的前提就是能得到系統(tǒng)的準確動力學模型。準確動力學模型的獲得需要用到準確的速度值和參數(shù)值，通常的做法是對傳感器測量的位移信號進行一階微分來求取速度。但是對于像中子衍射多軸平臺這樣的重載低速運行的設(shè)備而言，數(shù)字微分通常放大傳感器噪聲，使得獲得的速度信號無法直接用于動力學模型的計算。系統(tǒng)中負載慣量大范圍變化后，模型中參數(shù)也會發(fā)生變化。采用擴展卡爾曼觀測器對速度[12]和系統(tǒng)摩擦模型中參數(shù)進行估計[13]。

假設(shè)有一離散的非線性系統(tǒng)的動力學方程為

(14)

式中，F(xiàn)[X(k)]和H[X(k)]為非線性方程;X(k)為狀態(tài)向量；Z(k)為輸出向量；U(k)為輸入向量；W(k)和V(k)分別假設(shè)為零均值的過程噪聲和測量噪聲。

系統(tǒng)模型離散化后

(15)

式中，X1(k)、X2(k)、X3(k)分別為電機的輸入電流，轉(zhuǎn)角，轉(zhuǎn)速度；Ts為采樣時間，由于系統(tǒng)非線性項的存在，對F[X(k)]和H[X(k)] 取雅克比變換

(16)

則可以得到

(17)

式中，

故式(16)可以表示為

(18)

最后，擴展卡爾曼波觀測器可總結(jié)為如下。

(1) 預測部分。

(19)

P-(k+1)=Φ(k)P(k)ΦT(k)+Q(k)

(20)

(2) 修正部分。

K(k)=P-(k)DT[HP-(k)HT+R(k)]-1

(21)

(22)

P(k)=[I-K(k)H]P-(k)

(23)

4 仿真實驗結(jié)果驗證

為驗證控制策略的有效性，輸入階梯型理想位移。測量末端的位移，用EKF來實時估計系統(tǒng)中的速度，從而進一步用非線性反射控制的方法進行平臺控制效果的驗證。過程噪音和測量噪音協(xié)方差矩陣取為

(24)

R(k)=3.5×10-5

(25)

(26)

在仿真軟件包MATLAB/Simulink平臺上進行了系統(tǒng)仿真。切換速度初始值設(shè)置為0.018 rad/s,所采用的系統(tǒng)參數(shù)如表1所示。

表1 仿真參數(shù)

將輸入的角位移取值為階梯形曲線進行驗證實驗，時間設(shè)為30 s，實驗結(jié)果如圖3～圖7所示。從圖3中可以看出，使用卡爾曼觀測器對參數(shù)值和速度準確值進行觀測后，位置跟蹤誤差能在一個較短的時間內(nèi)到達一個較小的區(qū)間。從圖4中可以看出，每次位移方向轉(zhuǎn)變時，速度的震蕩比較大，但該卡爾曼觀測器較好地觀測到速度的準確值。圖5中顯示了切換速度的觀測值，該值在原來固定參數(shù)0.05 mm/s附近不斷振蕩。圖6中顯示了庫侖摩擦的觀測值在原來固定參數(shù)0.28 N·m附近不斷振蕩。圖7中顯示了靜摩擦的觀測值在原來固定參數(shù)0.34 mm/s附近不斷振蕩。

圖3 位移跟蹤曲線

圖4 預測速度跟真實速度

圖5 切換速度的觀測值

圖6 庫侖摩擦觀測值

圖7 靜摩擦觀測值

5 結(jié)束語

對多軸中子衍射運動平臺進行了數(shù)學建模，由于速度傳感器通常引入較大的測量誤差，一般不安裝高精度的速度傳感器，故所建立卡爾曼觀測器對速度和相關(guān)參數(shù)進行觀測，同時將準確的速度值和參數(shù)值實時應(yīng)用到非線性反射控制策略中，仿真實驗結(jié)果表明，觀測的速度較準確，驗證了觀測器的有效性，系統(tǒng)的位置跟蹤也取得了較好的結(jié)果，可為平臺的測量技術(shù)和控制提供一定的參考和借鑒。