顏昌元，歐陽(yáng)培昌，孔翠香，占小根

Schwarz-Christoffel保形映射的解析和數(shù)值方法實(shí)現(xiàn)

顏昌元，歐陽(yáng)培昌，*孔翠香，占小根

(井岡山大學(xué)數(shù)理學(xué)院，江西，吉安 343009)

利用對(duì)稱(chēng)性和Mathematical軟件，探討了正多邊形到圓盤(pán)空間的保形映射，并用雙曲函數(shù)的泰勒展開(kāi)式，粗糙得到該映射的數(shù)值計(jì)算方法。鑒于上述映射存在嚴(yán)重的crowding缺陷，本文引入Schwarz-Christoffel 數(shù)值映射方法，借助SC保形工具箱，實(shí)現(xiàn)多邊形到圓盤(pán)區(qū)域保形映射。該方法具有高精度、計(jì)算快捷、適應(yīng)面廣的特點(diǎn)，在工程計(jì)算和美學(xué)領(lǐng)域具有良好的應(yīng)用價(jià)值。

保形映射；Schwarz-Christoffel數(shù)值映射方法；雙曲拼貼

0 引言

若定義在一個(gè)開(kāi)集上的映射是一對(duì)一和全純的(holomorphic)，則稱(chēng)是保形映射(conformal mapping)，也稱(chēng)為保角映射或拱形映射[1-2]。盡管在一個(gè)非空開(kāi)集不能恒定地定義一個(gè)一對(duì)一的保形映射，但由于逆映射-1是全純的，這意味著，一個(gè)函數(shù)是保形的當(dāng)且僅當(dāng)它是雙全純地圖形[3-4]。任何一對(duì)相交于某一點(diǎn)的曲線(xiàn)，在保形映射作用下，圖像曲線(xiàn)將以相同的角度相交(這正是保角映射名字的由來(lái))[5]。保形性可以用坐標(biāo)變換的雅可比導(dǎo)數(shù)矩陣來(lái)描述。如果變換的雅可比矩陣處處都是標(biāo)量的旋轉(zhuǎn)矩陣，則變換是保形的[6]。

直觀地講，保形映射是一個(gè)局部保留角的函數(shù)，它保持角度和無(wú)窮小的形狀，保證圖形在該映射作用前和作用后，圖形的輪廓不變。保形映射用復(fù)數(shù)來(lái)描述，會(huì)非常優(yōu)美。復(fù)平面上一個(gè)區(qū)域的保角映射是一個(gè)解析（光滑）函數(shù)，則導(dǎo)數(shù)在區(qū)域內(nèi)永不消失。因保角性，平面上正方形網(wǎng)格在保角映射下，會(huì)生成曲線(xiàn)正交網(wǎng)格。由于一個(gè)拉普拉斯方程的解在共形映射后，仍然是變換后的方程的解，這使得共形映射在熱傳導(dǎo)、電磁理論、空氣動(dòng)力學(xué)等領(lǐng)域具有重要的應(yīng)用價(jià)值[7]。

Gauss在1851年提出共形映射的思想，而Riemann在他的博士論文中給出了一個(gè)現(xiàn)稱(chēng)為黎曼映射定理的著名結(jié)論：在任何兩個(gè)單連通區(qū)域，存在一個(gè)的共形映射。Schwarz和Christoffel在1867和1869年各自獨(dú)立地證明一個(gè)在實(shí)用領(lǐng)域具有重要意義的Schwarz-Christoffel 保形映射：存在一個(gè)把上半平面映射到簡(jiǎn)單多邊形內(nèi)部的保形映射[8]。Schwarz-Christoffel映射是黎曼映射定理的具體化和加強(qiáng)版。

一般來(lái)說(shuō)，建立一個(gè)單連通區(qū)域到另一個(gè)單連通區(qū)域的具體保形映射公式是極為困難甚至不可能的，但Schwarz-Christoffel映射告訴我們，多邊形到多邊形之間的保形映射一定存在解析描述(見(jiàn)下節(jié)中定理1)。由于Schwarz-Christoffel映射理論的重要性和廣泛的實(shí)用價(jià)值，人們對(duì)其進(jìn)行持續(xù)和深入的研究，目前在數(shù)值上已經(jīng)建立了快速適定的計(jì)算方法[9-12]。

本文將在第一節(jié)將介紹單位圓盤(pán)到正多邊形的保形映射。第二節(jié)介紹Schwarz-Christoffel映射定理，并綜述目前影響力較大的計(jì)算軟件，粗略梳理Schwarz-Christoffel數(shù)值算法的工作要點(diǎn)。關(guān)于雙曲拼貼(hyperbolic tiling)的生成方法可以參考文獻(xiàn)[13-17]，本文將以雙曲拼貼網(wǎng)格作為保形映射的測(cè)試和演示案例，分別在第一節(jié)和第二節(jié)，用圖形案例演示Schwarz-Christoffel映射的保形計(jì)算效果。在第三節(jié)，將簡(jiǎn)要概括本文工作要點(diǎn)，介紹本文的研究意義及擬開(kāi)展的工作。

1 單位圓盤(pán)到正多邊形的保形映射

由于正多邊形的對(duì)稱(chēng)性，尋找正多邊形到圓盤(pán)空間的保形映射形式，是一個(gè)很吸引人的課題，荷蘭繪畫(huà)大師Escher曾完成一幅在正方形內(nèi)部具有無(wú)窮相似對(duì)稱(chēng)性的方極限(Square Limit)作品[14]。本節(jié)將探討最簡(jiǎn)單的正多邊形到圓盤(pán)空間的保形映射的解析形式。

令＝(│＝+2+2＜1)表示單位圓盤(pán)，m表示正邊形，我們用Mathematical的計(jì)算給出單位圓盤(pán)到m的保形映射為

上面的函數(shù)由近似的泰勒展開(kāi)式表示，計(jì)算上存在突出crowding效應(yīng)[18]，映射后的正多邊形圖案存在非常明顯的扭曲效應(yīng)，并且隨著邊數(shù)的增加，圖形扭曲得更加厲害，詳細(xì)結(jié)果見(jiàn)圖1及其說(shuō)明。

圖1基于方程(1)中映射的保形映射計(jì)算效果示意圖

映射(1)只是近似的保形映射，且只能處理正多邊形區(qū)域，我們將在下一節(jié)給出精確實(shí)用的多邊形到圓盤(pán)區(qū)域的Schwarz-Christoffel數(shù)值方法。

2 Schwarz-Christoffel映射數(shù)值方法

Schwarz-Christoffel映射指將上半平面空間2＝{│＝+＞0}映射到多邊形區(qū)域。由于上半平面區(qū)域2可經(jīng)由保形變換

映射到單位圓盤(pán)空間，因此本文等價(jià)地只給出單位圓盤(pán)到多邊形區(qū)域的Schwarz- Christoffel映射方法。

設(shè)是復(fù)平面上由頂點(diǎn)v,v,…,v(按逆時(shí)針?lè)较蚺判?確定的多邊形的內(nèi)部區(qū)域，其中απ是頂點(diǎn)v的內(nèi)角。我們特別要求的外角和是360度，即

由此有下面的Schwarz-Christoffel映射定理。

定理1 設(shè)是任一把單位圓盤(pán)映射到多邊形區(qū)域的保形映射，則

該定理證明參閱文獻(xiàn)[9-10,18]。由于無(wú)法預(yù)知z的信息，人們無(wú)法直接使用映射(4)。預(yù)點(diǎn)z散落在單位圓盤(pán)上。構(gòu)造Schwarz-Christoffel映射的關(guān)鍵一步是尋找預(yù)點(diǎn)z的準(zhǔn)確位置，該問(wèn)題即著名的Schwarz-Christoffel映射參數(shù)問(wèn)題，一旦該問(wèn)題得到解決，(4)中的參數(shù)和，以及保形映射和它的逆映射都可以相應(yīng)解決。

求解映射(4)中有兩個(gè)值得注意的地方：一，除了一些非常簡(jiǎn)單的多邊形外，這個(gè)公式需要一個(gè)沒(méi)有閉合形式的積分。二，一般情況下，預(yù)點(diǎn)z并無(wú)解析解決辦法，數(shù)值上，它涉及求解一組非線(xiàn)性方程組。上述問(wèn)題的解決在計(jì)算科學(xué)得到長(zhǎng)足發(fā)展的近期，才成為可能。

隨著計(jì)算機(jī)計(jì)算進(jìn)步和數(shù)值算法的研究積累，目前人們建立了若干經(jīng)濟(jì)實(shí)用的軟件，諸如SCPACK，ZIPPER，SC等等。本文將應(yīng)用SC實(shí)現(xiàn)保形映射(4)的求解。SC是基于MATLAB語(yǔ)言，用于求解Schwarz-Christoffel映射的一個(gè)交互式數(shù)值分析和科學(xué)計(jì)算軟件，它的交互性和強(qiáng)大圖形功能，使得計(jì)算比以往更容易和更靈活。

本文求解映射(4)所調(diào)用的函數(shù)共涉及SC工具箱中的polygon，diskmap和evalinv這三個(gè)函數(shù)，它們的具體使用方法請(qǐng)參閱SC的幫助文獻(xiàn)[18]。

圖2和圖3是本文的計(jì)算效果示意圖。圖2中，考慮的是正多邊形到單位圓盤(pán)的Schwarz-Christoffel映射結(jié)果。第一排給出的是龐加萊空間中具有(3,4,3)，(4,4,4)，(8,5,3) 和(12,2,3)對(duì)稱(chēng)性的拼貼圖，第二排是對(duì)應(yīng)拼貼網(wǎng)格圖映射到正三，正四和正八和正十二邊形區(qū)域中的結(jié)果。可以看到圖2中映射結(jié)果不存在像圖1中的crowding扭曲現(xiàn)象，不管是最簡(jiǎn)單正三邊形還是較為復(fù)雜的正十二邊形，映射結(jié)果都非常理想(本文的計(jì)算結(jié)果精確到小數(shù)點(diǎn)后八位數(shù)，足以滿(mǎn)足大多數(shù)工程場(chǎng)合需求)。

圖2 基于方程(4) 中Schwarz-Christoffel數(shù)值映射方法的計(jì)算效果示意圖

圖 2中，第一排從左到右分別是雙曲空間龐加萊模型中具有(3,4,3)，(4,4,4)，(8,5,3) 和(12,2,3)對(duì)稱(chēng)性的拼貼圖。第二排從左到右分別是對(duì)應(yīng)上一排拼貼圖映射到正三、正四和正八和正十二邊形區(qū)域中的結(jié)果。

圖3 基于方程(4) 中Schwarz-Christoffel數(shù)值映射方法的計(jì)算效果示意圖

圖3中，第一排從左到右分別是雙曲空間龐加萊模型中具有(6,4,2) ，(5,15,2)和(9,2,3)對(duì)稱(chēng)性的拼貼圖。第二排從左到右分別是對(duì)應(yīng)上一排拼貼圖映射到雙等邊三角形疊加、五角星和鉆石區(qū)域中的結(jié)果。

在圖3中，我們測(cè)試了Schwarz-Christoffel映射(4)在更復(fù)雜區(qū)域的效果圖。第一排給出的是分別具有(6,4,2)，(5,15,2)和(9,2,3)對(duì)稱(chēng)性的拼貼圖，再把上述拼貼分別映射到雙等邊三角形疊加、五角星和鉆石區(qū)域中，可以看到映射結(jié)果非常理想(特別是對(duì)于復(fù)雜的五角星案例)。

3 小結(jié)

利用正多邊形對(duì)稱(chēng)性，本文用Mathematical求解正多邊形到單位圓盤(pán)的解析型保形映射，并利用泰勒展開(kāi)式和雙曲函數(shù)給出該映射的計(jì)算方法。計(jì)算結(jié)果如圖1顯示，該方法存在突出的crowding效應(yīng)。針對(duì)上述缺陷，本文給出數(shù)值Schwarz-Christoffel映射方法，并借用現(xiàn)有的SC工具箱，實(shí)現(xiàn)其計(jì)算細(xì)節(jié)。計(jì)算結(jié)果顯示從圖2和圖3，本文方法精確快速好用，即便是對(duì)于復(fù)雜如五角星或鉆石型區(qū)域，也能理想地避免crowding效應(yīng)。

數(shù)值Schwarz-Christoffel映射方法在空氣動(dòng)力學(xué)、電磁理論和熱傳導(dǎo)等領(lǐng)域具有重要的實(shí)用價(jià)值。本文給出Schwarz-Christoffel映射方法的實(shí)現(xiàn)細(xì)節(jié)，對(duì)非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的工程領(lǐng)域?qū)W者具有一定參考價(jià)值。另外，從計(jì)算結(jié)果可以看到，數(shù)值保形映射具有良好的美學(xué)意義，我們將在今后挖掘Schwarz-Christoffel保形映射的美學(xué)價(jià)值。

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Analytical and Numerical Method Implementation of Conformal Schwarz-Christoffel Mapping

YAN Chang-yuan, OUYANG Pei-chang,*KONG Cui-xiang, ZHAN Xiao-gen

(School of Mathematics and Physics, Jinggangshan University, Ji’an, Jiangxi 343009, China)

Using symmetry and Mathematical, this paper investigates the conformal mapping between circle disc and regular polygons. The mapping is roughly realized by the Taylor expansion of Hyper function. Because this method has serous crowing defect, we introduce numerical Schwarz-Christoffel mapping method and use SC tool to realize it. The latter method has the characteristics of high precision, fast calculation and wide adaptability, which has good application value in engineering calculation and aesthetics.

conformal mapping; numerical Schwarz-Christoffel mapping method; hyperbolic tiling

TP391

A

10.3969/j.issn.1674-8085.2019.05.001

1674-8085(2019)05-0001-05

2019-03-13；

2019-05-20

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11461035，11761039)；江西省教育廳科技計(jì)劃項(xiàng)目(GJJ160749)；吉安市科技局(吉市科計(jì)字[2014]36號(hào)12)；(JZB1303)；井岡山大學(xué)校級(jí)課題(JZ1802)

顏昌元(1980-)，男，湖北洪湖人，助教，碩士，主要從事有限群研究(E-mail:yanyuan05@outlook.com);

歐陽(yáng)培昌(1980-)，男，江西贛州人，副教授，博士，主要從事計(jì)算機(jī)可視化研究(E-mail: g_fcayang@163.com);

*孔翠香(1978-)，女，陜西渭南人，講師，碩士，主要從事計(jì)算機(jī)應(yīng)用、計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)研究(E-mail:jxjgskcxy@163.com);

占小根(1980-)，男，江西上饒人，講師，碩士，主要從事時(shí)間序列研究(E-mail: xiaogenzhan@163.com).