徐妍

【關(guān)鍵詞】高觀點(diǎn);低結(jié)構(gòu);乘法交換律;多維度分享;整體性建構(gòu)

【中圖分類號(hào)】G623.5 ?【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A ?【文章編號(hào)】1005-6009（2019）49-0051-03

教過(guò)“乘法交換律”的教師大多有這樣的感覺(jué)：這內(nèi)容太簡(jiǎn)單了！不就是a×b=b×a嗎？10分鐘就能教完新課。是的，如果我們只是停留在知識(shí)層面進(jìn)行“就事論事”式的淺表性教學(xué)，于學(xué)生而言，除了知識(shí)的疊加外，難有“獲得感”。但如果走進(jìn)教材深處，悉心研究交換律所處的知識(shí)結(jié)構(gòu)及其思想內(nèi)核，認(rèn)真琢磨兒童的學(xué)習(xí)心理，完全可以構(gòu)筑一道妙可不言的課堂風(fēng)景。近日，筆者有幸聆聽(tīng)特級(jí)教師周衛(wèi)東執(zhí)教蘇教版四下《乘法交換律》一課，獲益良多。

【課堂寫實(shí)】

一、喚醒舊知

師：同學(xué)們，在前面的學(xué)習(xí)中我們已經(jīng)研究過(guò)加法交換律?；貞浺幌?，對(duì)加法交換律及其研究過(guò)程，你有哪些認(rèn)識(shí)呢？

生：交換兩個(gè)加數(shù)的位置，和不變;可以用字母式子a+b=b+a來(lái)表示;可以用舉例子、講故事、畫圖、說(shuō)意義等方法來(lái)加以說(shuō)明。

師：說(shuō)得真好！看來(lái)過(guò)去的知識(shí)和方法已經(jīng)深深地扎根在大家腦海中了。

二、研究新知

（一）積累經(jīng)驗(yàn)

師：這節(jié)課，我們來(lái)研究乘法的交換律，知道乘法交換律的同學(xué)請(qǐng)舉手。（生紛紛舉手）

師：看來(lái)大部分同學(xué)對(duì)乘法交換律都有所了解，有的還可能已經(jīng)達(dá)到理解的水平了！拿出學(xué)習(xí)單1，舉幾個(gè)你心目中的乘法交換律的例子，每人寫2個(gè)。

師：寫好了嗎？誰(shuí)愿意把自己舉的例子選一個(gè)寫在黑板上？

生：3×4=4×3;129×36=36×129;17×46=46×17;21×4=4×21……

（二）多維驗(yàn)證

師：我們來(lái)看黑板，這些都是你心目中的乘法交換律嗎？（生紛紛點(diǎn)頭）我們心目中的乘法交換律就一定合理嗎？有什么辦法能進(jìn)一步解釋和說(shuō)明呢？拿出學(xué)習(xí)單2，用你喜歡的方式來(lái)解釋和說(shuō)明你心目中的乘法交換律是合理的。寫好的同學(xué)請(qǐng)?jiān)谛〗M里交流你的想法。

生1：我的方法是算得數(shù)，9×8=72，8×9=72，所以9×8=8×9。

師：真好，算得數(shù)有助于我們快速地進(jìn)行判斷。

生2：我是用畫圖的方法說(shuō)明的。請(qǐng)大家看我畫的圖（如圖1）。正過(guò)來(lái)看，表示8個(gè)6;順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，可以看到6個(gè)8，而格子的總數(shù)是不變的，所以8×6=6×8。

生3：我也是畫圖，不過(guò)我畫的是點(diǎn)子圖（如圖2），我表示了3×4=4×3。

師：解釋得真好！畫圖可以形象地幫助我們理解其中的道理。

生4：我是通過(guò)乘法的意義來(lái)說(shuō)明的。請(qǐng)看圖（如圖3），把乘法還原成加法，再適當(dāng)改變一下就能看出左右兩邊完全相等。

師：說(shuō)得真好！當(dāng)我們把知識(shí)還原到它原本的面目時(shí)，就會(huì)有高于一般認(rèn)識(shí)水平的發(fā)現(xiàn)。

生5：還可以通過(guò)積不變的規(guī)律來(lái)解釋，兩個(gè)乘數(shù)，一個(gè)乘數(shù)乘一個(gè)數(shù)，另一個(gè)乘數(shù)除以同一個(gè)數(shù)，也能得到這個(gè)結(jié)果。（如圖4）

師：真了不起！你這個(gè)方法老師也沒(méi)想到。

（三）總結(jié)概括

師：剛才，我們通過(guò)算得數(shù)、畫圖、說(shuō)意義等多種方法，從不同的層面和層次說(shuō)明了我們心目中的乘法交換律是合理的?，F(xiàn)在再來(lái)看看黑板上這些例子，你能用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言概括一下什么是乘法交換律嗎？

生：交換兩個(gè)乘數(shù)的位置，積不變。

師：用含有字母的式子怎么表示？

生：a×b=b×a。

（四）溝通聯(lián)系

師：關(guān)于乘法交換律，其實(shí)在前面的知識(shí)中已經(jīng)有過(guò)廣泛的運(yùn)用。仔細(xì)回憶一下，你在什么地方遇到過(guò)乘法交換律呢？

生1：乘法的驗(yàn)算，交換兩個(gè)乘數(shù)的位置再算一遍，積不變。

生2：算長(zhǎng)方形面積時(shí)，長(zhǎng)乘寬和寬乘長(zhǎng)。

生3：寫一句乘法口訣，可以寫出兩道相關(guān)的乘法算式。

（五）反饋內(nèi)化

師（出示圖5）：學(xué)習(xí)了乘法交換律，下面咱們來(lái)小試牛刀，快速填一填。

師：通過(guò)上面的“試一試”，你有什么新發(fā)現(xiàn)？

生1：乘法交換律中的a可能是一個(gè)整體。

生2：乘法交換律可能是多個(gè)數(shù)的交換。

生3：運(yùn)用乘法交換律可以讓計(jì)算更簡(jiǎn)便。

三、拓展延伸

師：在四則運(yùn)算中，我們研究了加法和乘法的交換律。預(yù)測(cè)一下，我們還需要研究什么？

生：除法、減法的交換律。

師：是呀，在四則運(yùn)算中，減法和除法有沒(méi)有交換律呢？打開(kāi)學(xué)習(xí)單3，自己研究研究。

生：4-3不等于3-4;6÷3不等于3÷6。

師：舉一個(gè)反例就能說(shuō)明減法、除法沒(méi)有交換律？

生：是的，舉一個(gè)反例就夠了。

師：是呀，同學(xué)們，要證明我們的猜想存在，舉例要豐富，舉證要充分，方法要多樣;而要證明它不存在，只要找到一個(gè)反例就夠了。

師：回顧一下，我們研究了什么數(shù)學(xué)知識(shí)？（總結(jié)交換律，形成如下圖6所示的板書）

【聽(tīng)課感悟】

1.預(yù)設(shè)大空間，多維度分享，促思維爬坡。

“乘法交換律”的教學(xué)大多基于教材中的一兩個(gè)例子，對(duì)比共同特征后就總結(jié)出最后的結(jié)論。這樣的教學(xué)，是教師牽著學(xué)生“小步子慢慢走”，教師不放心，學(xué)生很小心，課堂亦步亦趨，了無(wú)生趣。周老師這節(jié)課，圍繞“我們心目中的乘法交換律就一定合理嗎？有什么辦法能進(jìn)一步解釋和說(shuō)明呢？”這樣的核心問(wèn)題，驅(qū)動(dòng)學(xué)生的思維向四面八方打開(kāi)。有的從最簡(jiǎn)單的算得數(shù)入手，盡管是算得數(shù)，但也有不同的方法，有的是口算，有的想到豎式計(jì)算中的驗(yàn)算，但都是通過(guò)計(jì)算的方法說(shuō)明：交換兩個(gè)乘數(shù)的位置，積不變。有的學(xué)生通過(guò)畫方塊圖或點(diǎn)子圖來(lái)說(shuō)明8×6=6×8、3×4=4×3，觀察的角度不同，但結(jié)果都一樣。同樣是畫圖，我們看到了學(xué)生不同的解讀，每2個(gè)一圈，3個(gè)圈，這是3個(gè)2;每3個(gè)一圈，2個(gè)圈，這是2個(gè)3，只要稍微變化一下，就能更加清晰地看到3個(gè)2等于2個(gè)3。在最后的分享過(guò)程中，巧妙地歸結(jié)到其實(shí)乘法交換律的上位知識(shí)就是“幾個(gè)幾是多少”（乘法的意義）。上述教學(xué)環(huán)節(jié)，不僅從不同的角度幫助學(xué)生理解和認(rèn)識(shí)問(wèn)題，創(chuàng)造性地解決問(wèn)題，還滲透了數(shù)形結(jié)合、一一對(duì)應(yīng)等數(shù)學(xué)思想，形成了一定的符號(hào)意識(shí)和模型意識(shí)。

2.具有大視野，整體性建構(gòu)，助結(jié)構(gòu)優(yōu)化。

注重方法體系的建構(gòu)。加法交換律及其學(xué)習(xí)過(guò)程對(duì)乘法交換律的學(xué)習(xí)具有一定的遷移與定型作用。課始，周老師引導(dǎo)學(xué)生回憶加法交換律的研究過(guò)程，接著以“知道乘法交換律嗎？”這一看似不經(jīng)意的提問(wèn)，喚醒學(xué)生對(duì)已有交換律的認(rèn)識(shí)。隨后，讓學(xué)生舉例子，展示他們心目中乘法交換律的樣子，再用自己喜歡的方法來(lái)解釋、說(shuō)明自己心目中的乘法交換律。這個(gè)過(guò)程，從感覺(jué)到認(rèn)識(shí)再到理解，讓每個(gè)學(xué)生的想法和智慧都能得到尊重，并得以利用。在這樣的課堂上，學(xué)生的學(xué)習(xí)拾級(jí)而上、逐步建構(gòu)，像呼吸一樣自由;大問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，學(xué)生的思維在爬坡，深度體驗(yàn)和創(chuàng)新意識(shí)同步提升。

注重內(nèi)容體系的建構(gòu)。研究了加法和乘法的交換律，自然引出研究其他四則運(yùn)算中是否也存在交換律，這正是深度理解、整體建構(gòu)知識(shí)進(jìn)而實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)化關(guān)聯(lián)的具體體現(xiàn)。對(duì)于減法和除法的交換律，大部分學(xué)生會(huì)有清晰的直覺(jué)，認(rèn)為不存在。在接下來(lái)驗(yàn)證的過(guò)程中，讓學(xué)生形成一定的科學(xué)研究常識(shí)：要說(shuō)明一個(gè)命題是偽命題，只需一個(gè)反例就夠了，而要說(shuō)明一個(gè)規(guī)律存在，舉例要豐富，舉證要充分，方法要多樣。從加法交換律引入，探究乘法交換律，再類推到其他運(yùn)算中是否有交換律，這樣，知識(shí)間形成了一個(gè)相對(duì)完整、合理的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。

如此立意，從內(nèi)容的深淺維度遷移到內(nèi)容的寬窄維度，推及思想的高低維度，讓我們盡情領(lǐng)略到高觀點(diǎn)視野下數(shù)學(xué)課堂的美麗風(fēng)景。

（作者單位：南京市長(zhǎng)江路小學(xué)）