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        基于中國剩余定理的最優(yōu)低碰撞區(qū)跳頻序列集擴(kuò)展構(gòu)造

        2019-09-17 01:22:14牛憲華蔡紅斌
        關(guān)鍵詞:跳頻漢明個(gè)數(shù)

        韓 璐,牛憲華,蔡紅斌

        (西華大學(xué)計(jì)算機(jī)與軟件工程學(xué)院,四川 成都 610039)

        跳頻通信系統(tǒng)最早起源于軍事無線電通信,它具有良好的抗干擾性和多址組網(wǎng)性,能夠使軍事通信在惡劣電磁環(huán)境中實(shí)現(xiàn)無阻礙。由于跳頻通信具有的優(yōu)良特性,它在民用通信系統(tǒng)中也占據(jù)了廣泛的應(yīng)用市場(chǎng)[1-3]。

        在跳頻擴(kuò)頻通信系統(tǒng)的通信過程中,信號(hào)發(fā)射機(jī)的載波頻率信號(hào)是按照某一無規(guī)律的變化規(guī)則進(jìn)行跳變發(fā)射,與之相對(duì)應(yīng)的信號(hào)接收機(jī)在接收對(duì)方信號(hào)時(shí),為了正確得到相應(yīng)信息,就需要接收機(jī)按照相同的載波頻率的跳變規(guī)則接收來自發(fā)射機(jī)的信號(hào)。如何選擇載波頻率這種偽隨機(jī)變化序列,即跳頻序列(frequency hopping sequence,F(xiàn)HS),是保證高質(zhì)量、高效率的跳頻通信的研究重點(diǎn)。跳頻通信系統(tǒng)用戶間的信號(hào)干擾程度取決于不同跳頻序列之間頻隙的重合次數(shù),任意2條跳頻序列間頻隙的重合次數(shù)表示為序列間的漢明相關(guān)值(Hamming correlation value),所以跳頻通信系統(tǒng)性能主要取決于跳頻序列集的漢明相關(guān)性的好壞[4-8]。

        低/零碰撞區(qū)(LHZ/NHZ)跳頻序列的概念,是由Ye等[9]在2003年首次提出,即將跳頻序列的漢明相關(guān)值限制在零時(shí)延附近的一個(gè)較小的時(shí)延范圍內(nèi),從而可以構(gòu)造出較多的漢明相關(guān)性能好、序列數(shù)目更多、序列長(zhǎng)度更長(zhǎng)的跳頻序列。近年來,國內(nèi)外關(guān)于LHZ跳頻序列集的構(gòu)造研究有了很大的突破,并且取得了一些成果[10-23]。

        本文提出了一種新的最優(yōu)低碰撞區(qū)跳頻序列集的構(gòu)造方法。其構(gòu)造核心是基于中國剩余定理,將已有的最優(yōu)跳頻序列集作為基序列集,利用單次重合(one-coincidence,OC)跳頻序列集(OC-FHS Set)作為擴(kuò)展序列集,構(gòu)造出序列數(shù)目更大、頻點(diǎn)更多、序列更長(zhǎng)且滿足Peng-Fan-Lee界的最優(yōu)低碰撞區(qū)跳頻序列集,并且結(jié)果序列集在低碰撞區(qū)內(nèi)的最大漢明相關(guān)值與基序列集的最大漢明相關(guān)值保持一致。

        1 預(yù)備知識(shí)

        設(shè)F={f1,f2,…,fv}大小為v的頻隙集,X是由F上M個(gè)長(zhǎng)度為N的跳頻序列組成的集合。對(duì)于任意的f1,f2∈F,令

        對(duì)于任意2條跳頻序列x={x(0),x(1),…,x(N-1)}和y={y(0),y(1),…,y(N-1)}∈X,x和y在相對(duì)時(shí)延τ的周期漢明相關(guān)函數(shù)Hxy(τ)定義為

        (1)

        其中i+τ按模N運(yùn)算。當(dāng)x=y時(shí),Hxx(τ)為周期漢明自相關(guān)函數(shù);當(dāng)x≠y時(shí),Hxy(τ)為周期漢明互相關(guān)函數(shù)。

        對(duì)于已知的跳頻序列集X,序列集的最大周期漢明自相關(guān)Ha(X)、最大周期漢明互相關(guān)Hc(X)、最大周期漢明相關(guān)Hm(X)分別定義為

        Ha(X)=max{Hxx(τ) |x∈X,τ=1,…,N-1}

        Hc(X)=max{Hxy(τ) |x,y∈X,x≠y,τ=0,1,…,N-1}

        Hm(X)=max{Ha(X),Hc(X)}

        為了方便,令λa=Ha(X),λc=Hc(X),λ=Hm(X)。

        在異步跳頻通信系統(tǒng)中,期望每個(gè)跳頻序列在整個(gè)周期內(nèi)沒有碰撞,但是根據(jù)跳頻序列集漢明相關(guān)函數(shù)的理論界可知,滿足條件的跳頻序列的數(shù)目非常少,不能滿足大量用戶的需求。如果將跳頻序列的漢明相關(guān)值限制在零時(shí)延附近的一個(gè)較小的時(shí)延范圍內(nèi),就能構(gòu)造出較多的漢明相關(guān)性能好、序列數(shù)目更多、序列長(zhǎng)度更長(zhǎng)的跳頻序列。

        跳頻序列周期漢明相關(guān)函數(shù)低碰撞區(qū)的定義為:對(duì)于任意跳頻序列集X,令整數(shù)λa≥0,λc≥0,那么,X關(guān)于周期漢明相關(guān)函數(shù)的低碰撞區(qū)Z,自相關(guān)低碰撞區(qū)Za和互相關(guān)低碰撞區(qū)Zc,分別為

        Za=max{T|Hxx(τ)≤λa,x∈X,τ=1,…,T}

        Zc=max{T|Hxy(τ)≤λc,x,y∈X,x≠y,τ=0,1,…,T}

        Z=min{Za,Zc}

        當(dāng)Za=Zc=0時(shí),Z稱為X的無碰撞區(qū)ZN。一個(gè)具有Z≥0或ZN≥0的跳頻序列集X稱為關(guān)于周期漢明相關(guān)的低碰撞區(qū)(LHZ)跳頻序列集或無碰撞區(qū)(NHZ)跳頻序列集。

        在2004年,Peng等[7]推導(dǎo)了跳頻序列集的最大周期漢明相關(guān)理論界。

        引理1(Peng-Fan界)令F是一個(gè)大小為v的頻隙集,X為F上M個(gè)長(zhǎng)度為N的跳頻序列構(gòu)成的集合,有

        (2)

        如果跳頻序列集X的參數(shù)是不等式(2)的最小整數(shù)解,則稱序列集X是關(guān)于最大周期漢明相關(guān)的最優(yōu)跳頻序列集。

        在2006年,Peng等[8]推導(dǎo)了LHZ跳頻序列集的周期漢明相關(guān)理論界。

        引理2(Peng-Fan-Lee界)令F是一個(gè)大小為v的頻隙集,X為F上M個(gè)長(zhǎng)度為N的跳頻序列構(gòu)成的集合,Z是序列集X關(guān)于周期漢明相關(guān)函數(shù)的低碰撞區(qū)。對(duì)于任意整數(shù)LH,0≤LH≤Z,有

        (3)

        如果跳頻序列集X的參數(shù)是不等式(3)的最小整數(shù)解,則跳頻序列集X是關(guān)于最大周期漢明相關(guān)的最優(yōu)低碰撞區(qū)跳頻序列集。

        由于OC-FHS集的最大漢明自相關(guān)為0,互相關(guān)為1,可以最大限度地提高頻率的使用率,降低序列間的碰撞次數(shù),因此被廣泛用于多址通信中。1984年,Shaar等[18]首先為跳頻碼分多址擴(kuò)頻系統(tǒng)引入OC-FHS集。

        引理3 OC-FHS集C具有以下基本性質(zhì):

        1)對(duì)于序列集C中任意序列的頻點(diǎn)只出現(xiàn)1次,即序列集的最大漢明自相關(guān)有Ha(C)=0;

        2)對(duì)于序列集C中任意2條FHS的最大漢明互相關(guān)有Hc(C)=1。

        引理4令F是一個(gè)大小為v的頻隙集,X為F上M個(gè)長(zhǎng)度為N的跳頻序列構(gòu)成的集合。設(shè)μi={μi(0),μi(1),…,μi(N-1)},0≤i

        μi(t)=|(i,θ):xi(θ)=xi(t),0≤i≤t|

        設(shè)li表示頻點(diǎn)在序列集X的第i條序列xi中出現(xiàn)的最大次數(shù),即li=max{μi(t):0≤t

        設(shè)ωi={ωi(0),ωi(1),…,ωi(N-1)},任意t,0≤t

        在本文中

        〈z〉n:z模n的最小非負(fù)剩余。

        Zn:模n的整數(shù)環(huán)。

        (N,v,λ;M):在大小為v的頻隙集上長(zhǎng)度為N,序列個(gè)數(shù)為M,最大漢明相關(guān)值為λ的跳頻序列集。

        (N,v,λ;M;Z):在大小為v的頻隙集上長(zhǎng)度為N,序列個(gè)數(shù)為M,低碰撞區(qū)Z內(nèi)最大漢明相關(guān)值為λ的低碰撞區(qū)跳頻序列集。

        (N,v;M):在大小為v的頻隙集上長(zhǎng)度為N,序列個(gè)數(shù)為M,最大漢明自相關(guān)值為0,最大漢明互相關(guān)值為1的OC-FHS集。

        2 最優(yōu)低碰撞區(qū)跳頻序列集構(gòu)造

        由中國剩余定理(CRT)可知,當(dāng)正整數(shù)a與b滿足gcd(a,b)=1時(shí),對(duì)于任意的整數(shù)t,0≤t

        設(shè)F={f1,f2,…,fv}大小為v的頻隙集,低碰撞區(qū)跳頻序列集的構(gòu)造描述如下。

        構(gòu)造1

        步驟1:選擇一個(gè)滿足Peng-Fan界(N,v,λ;M)跳頻序列集X,作為基序列集,而

        X={xi={xi(0),xi(1),…,xi(N-1)}:0≤i

        序列集X的相關(guān)參數(shù)μi,ωi,li和m(X)由引理4的定義可得。

        步驟2:選擇(q,q;p-1)OC-FHS集C,其中q=pa(p是素?cái)?shù)且a是正整數(shù)),gcd(q,N)=1,p>m(X)+1,有

        C={cδ={cδ(0),cδ(1),…,cδ(q-1)}:0≤δ

        證明由構(gòu)造1可知,序列集S的頻隙集大小為qv,序列長(zhǎng)度為qN,序列個(gè)數(shù)為qM。

        (4)

        情況1:i=j。

        1)當(dāng)τ2=0,τ1=0,k1=k2時(shí),根據(jù)式(4),有

        2)當(dāng)τ2=0,τ1=0,k1≠k2或τ2=0,τ1≠0,k1=k2時(shí),根據(jù)引理3知,OC-FHS集C的最大漢明自相關(guān)Ha(C)=0。因此,通過式(4)可得

        3)對(duì)于任意t2,0≤t2

        ①當(dāng)τ1≡μi(t2)·(k1-k2) modq,即τ1=μi(t2)·k1-q,μi(t2)k2≠0或τ1=q-μi(t2)·k2,μi(t2)k1≠0時(shí),可知xi(t2)=xi(t2+τ2),此時(shí)只需要研究cωi(t2)、cωi(t2+τ2)與它們分別移動(dòng)μi(t2)·k1,μi(t2+τ2)·k2位后構(gòu)成的新序列在時(shí)延為τ1時(shí)的漢明相關(guān)性。令ε(0<ε≤N)表示在式(4)中出現(xiàn)Hcωi(t2)cωi(t2)(0)的個(gè)數(shù),則有

        4)當(dāng)τ2≠0時(shí),根據(jù)引理3知,OC-FHS集C的最大漢明自相關(guān)Ha(C)=0,最大漢明互相關(guān)Hc(C)=1。因此,通過式(4)可得

        情況2:i≠j。根據(jù)引理3和引理4可知,cωi(t2)≠cωj(t2+τ2),OC-FHS集C的最大漢明互相關(guān)Hc(C)=1。因此,通過式(4)有

        綜合情況1和情況2,有

        由此可得,當(dāng)0≤τ

        綜上,序列集S是滿足參數(shù)(qN,qv,λ;qM;N)的低碰撞區(qū)跳頻序列集。

        證畢。

        定理2當(dāng)

        成立時(shí),序列集S(qN,qv,λ;qM;N)是滿足Peng-Fan-Lee界的最優(yōu)低碰撞區(qū)跳頻序列集。

        證明根據(jù)定理1,序列集S在低碰撞區(qū)N內(nèi)的最大漢明相關(guān)值Hm(S)為

        根據(jù)Peng-Fan-Lee界,跳頻序列集S在低碰撞區(qū)內(nèi)的最大漢明相關(guān)值Hmo(S)為

        當(dāng)

        成立時(shí),在低碰撞區(qū)N內(nèi),跳頻序列集S的最大漢明相關(guān)值Hm(S)=λ=Hmo(S)。

        綜上,序列集S(qN,qv,λ;qM;N)是滿足Peng-Fan-Lee界的最優(yōu)低碰撞區(qū)跳頻序列集。

        證畢。

        選擇同一個(gè)(N,v,λ;M)最優(yōu)的跳頻序列集X作為基序列集,然后選擇參數(shù)不同的OC-FHS集C作為擴(kuò)展因子,可以根據(jù)構(gòu)造1中的方法得到更多滿足Peng-Fan-Lee界的最優(yōu)低碰撞區(qū)跳頻序列集。

        推論的證明方法與定理1和定理2類似。

        下面給出一個(gè)實(shí)例。

        例選擇一個(gè)滿足Peng-Fan界的最優(yōu)(8,3,3;3)跳頻序列集X={x0,x1,x2},其中

        x0={0,2,2,1,0,1,1,2}
        x1={1,0,0,2,1,2,2,0}
        x2={2,1,1,0,2,0,0,1}

        根據(jù)引理4得l0=3,l1=3,l2=3,m(X)=9。當(dāng)0≤i<3時(shí),序列xi中頻點(diǎn)出現(xiàn)的次數(shù)μi取值為

        μ0={1,1,2,1,2,2,3,3}
        μ1={1,1,2,1,2,2,3,3}
        μ2={1,1,2,1,2,2,3,3}

        ωi取值情況為

        ω0= {1,1,2,1,2,2,3,3}
        ω1= {4,4,5,4,5,5,6,6}
        ω2= {7,7,8,7,8,8,9,9}

        當(dāng)q=p=11時(shí),選擇一個(gè)(11,11;10)OC-FHS集C={c0,c1,…,c9},為

        c0={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
        c1={0,2,4,6,8,10,1,3,5,7,9}
        ?
        c9={0,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1}

        根據(jù)構(gòu)造1中的步驟3,利用中國剩余定理得到低碰撞區(qū)跳頻序列集S,有

        其中

        ?

        ?

        ?

        根據(jù)漢明相關(guān)性的定義,可以計(jì)算得到序列集S最大漢明相關(guān)值,如圖1所示。可以看出,任意2條序列在整個(gè)時(shí)延周期內(nèi)的最大漢明相關(guān)值的分布情況。

        當(dāng)τ<8時(shí),Hm(S)=3,所以,序列集S是一個(gè)滿足Peng-Fan-Lee界參數(shù)為(88,33,3;33;8)的最優(yōu)低碰撞區(qū)跳頻序列集,且低碰撞區(qū)Z=8。

        3 結(jié)論

        本文通過選擇已有最優(yōu)跳頻序列集X(N,v,λ;M),作為基序列集,再選擇滿足特定條件的(q,q;p-1)OC序列集C,作為擴(kuò)展序列集,利用中國剩余定理(CRT),構(gòu)造出滿足Peng-Fan-Lee界的最優(yōu)低碰撞區(qū)跳頻序列集S(qN,qv,λ;qM;N)。與現(xiàn)有文獻(xiàn)構(gòu)造出的低碰撞區(qū)跳頻序列集相比,利用本文構(gòu)造方法構(gòu)造出的LHZ FHS集S具有更加靈活的參數(shù),序列集大小、序列長(zhǎng)度和頻點(diǎn)個(gè)數(shù)相比于基序列集X均有所增加,并且序列集S在低碰撞區(qū)內(nèi)的最大漢明相關(guān)值與基序列集X的最大漢明相關(guān)值保持一致,如表1所示。該跳頻序列集可以更好地消除準(zhǔn)同步跳頻/跳時(shí)碼分多址系統(tǒng)中的多址干擾。

        表1 與現(xiàn)有最優(yōu)低碰撞區(qū)跳頻序列集的參數(shù)對(duì)比

        注:p是素?cái)?shù),q是素?cái)?shù)冪;lpf(n)表示正整數(shù)n的最小素因子;l,m,w是正整數(shù);文獻(xiàn)[11][13][17]以及本文構(gòu)造都是在參數(shù)為(N,v,λ;M)的序列集基礎(chǔ)上進(jìn)行擴(kuò)展

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