張樹義，張芯語，聶 輝

（渤海大學數(shù)理學院，遼寧錦州121013）

1 引言與預備知識

不動點理論廣泛應(yīng)用于多個數(shù)學研究領(lǐng)域，如微積分方程解的存在唯一性問題等.研究各種非線性映射在不同空間中的不動點存在性和算法及其應(yīng)用是非線性泛函分析的研究熱點之一.文獻[1-5]討論了模糊度量空間的幾種定義.文獻[6-7]修正了文獻[5]給出的模糊度量空間的概念，并在這類模糊空間中獲得了Hausdorff 拓撲.文獻 [8-9]證明了依George 和Veeranani 意義由模糊度量空間誘導的拓撲是可度量的.文獻[10]依Kramosil 和Michalek 意義，在模糊度量空間中獲得了Banach 壓縮原理模糊形式.此后文獻[11 -13]在 Kramosil 和Michalek 以及 George 和Veeranani 意義下，在模糊度量空間中得到了一些不動點定理，其中文獻[11]引入模糊度量M 滿足三角不等式的概念，并在模糊度量空間中得到一些不動點定理.文獻[14]在模糊度量空間中建立了模糊度量M 滿足三角不等式的一類壓縮映象的公共不動點定理.文獻[15-16]在模糊度量空間中研究了Φ-壓縮映象的一些不動點定理.文獻[17]證明了模糊度量空間中模糊ψ-壓縮序列的不動點定理.文獻[18]證明了模糊度量空間中2 種弱相容映射的公共不動點定理.文獻[19]證明了概率和模糊度量空間中φ-壓縮映射的不動點定理.文獻[20]在概率度量空間中得到一類平方型映象的公共不動點的存在性.本文在模糊度量空間中研究一類積分型壓縮映象不動點的存在性，證明了若干新的公共不動點定理，從而改進和推廣了文獻[10-14]的相應(yīng)結(jié)果.

定義1[5]稱映象*：[0，1]×[0，1]→[0，1]為連續(xù)t-范數(shù)，如果其滿足以下條件：

（1）*是可結(jié)合和可交換的；

（2）*是連續(xù)的；

（3）?a∈[0，1]，a*1=a；

（4）?a、b、c、d∈[0，1]，若a ＜c，b ＜d，則有a*b≤c*d.

定義2[6]稱三元組（X，M，*）為一模糊度量空間，若X 是非空集合，*是連續(xù)t-范數(shù)，M 是X×X×（0，+∞）上的模糊集，且?x、y、z∈X 和t、s ＞0，以下條件成立：

（1）M（x，y，t）＞0；

（2）M（x，y，t）=1 當且僅當x=y；

（3）M（x，y，t）=M（y，x，t）；

（4）M（x，y，t）*M（y，z，s）≤M（x，z，t+s）；

（5）M（x，y，·）：（0，+∞）→[0，1]是連續(xù)的.

若（X，M，*）為一模糊度量空間，稱（M，*）為X 上的模糊度量.

例1設(shè)（X，d）是度量空間，?a、b∈[0，1]，用a·b 表示通常的乘法，在X×X×（0，+∞）上定義函數(shù)則（X，Md，·）是一模糊度量空間，稱其為標準模糊度量空間，并且稱（Md，·）為d 誘導的標準模糊度量.

定義3稱三元組（X，M，*）為非Achimedes 模糊度量空間，若（X，M，*）是一模糊度量空間，*是滿足下列條件的*-范數(shù).

定義4[6]（1）模糊度量空間（X，M，*）中序列{xn}收斂于x 當且僅當M（xn，x，t）→1（n→∞）.

（2） 稱模糊度量空間（X，M，*）中序列{xn}為Cauchy 序列，如果?r∈（0，1）和t ＞0，存在n0∈N，使得M（xn，xm，t）＞1-r，n、m≥n0.稱模糊度量空間（X，M，*）為完備的，如果其每個Cauchy 序列{xn}在X 中均收斂.

定義5[11]設(shè)（X，M，*）為模糊度量空間，稱模糊度量M 為三角的，如果?x、y、z∈X，?t ＞0，有

由定義5 知每個標準模糊度量（Md，·）都是三角的.

設(shè)Ω={g|g： [0，1]→[0，+∞）連續(xù)且嚴格遞減，g（1）=0}.

定義6稱模糊度量空間（X，M，*）為（C）g型的，如果存在g∈Ω，使得?x、y、z∈X，?t ＞0，有

注如果M 是三角的，取則（X，M，*）是（C）g型的.反之未必成立.

定義7稱模糊度量空間（X，M，*）為（D）g型的，如果存在g∈Ω，使得?s、t∈[0，1]，有g(shù)（s*t）≤g（s）+g（t）.

引理[16]（1）如果非Achimedes 模糊度量空間（X，M，*）是（D）g型的，則（X，M，*）是（C）g型的.

（2）如果（X，M，*）是非Achimedes 模糊度量空間，*≥*1，其中a*1b=min{a，b}，則（X，M，*）是（D）g型的，其中

2 主要結(jié)果

定理1設(shè)（X，M，*）為完備（C）g型模糊度量空間，f、h 是X 上的自映象，滿足下列不等式

其中：x∈X，t ＞0；α、β、γ、μ 為非負實數(shù)且α+2γ ＜1，β+2μ ＜1；φ：R+=[0，+∞）→R+是Lebesgue 可積與可和的，即

如果f 或h 連續(xù)，則f 與h 在X 上有一公共不動點.

證明對x0∈X，可歸納定義序列{xn}為x2n+1=fx2n，x2n+2=hx2n+1，n=0，1，2，…，注意到如果對某個n，有xn=xn+1，則xn是f 與h 在X 上一公共不動點.事實上，如果對某個n，有x2n=x2n+1，則x2n是f 的一不動點.由式（2）有

從而

類似地，由式（1）可得

從而

于是?n、m 和t ＞0，有

從而

推論1設(shè)（X，M，*）為完備（C）g型模糊度量空間，f 是X 上的自映象，滿足

其中：x∈X，t ＞0，λ ＜1； φ： R+→R+是Lebesgue 可積與可和的.如果f 連續(xù)，則f 在X 上有一不動點.

取φ（t）=1，由定理1 可得推論2.

推論2設(shè)（X，M，*）為完備（C）g型模糊度量空間，f、h 是X 上的自映象，滿足

其中：x∈X，t ＞0，α、β、γ、μ 為非負實數(shù)且α+2γ ＜1，β+2μ ＜1.如果f 或h 連續(xù)，則f 與h 在X 上有一公共不動點.

設(shè)（X，M，*）為非Achimedes 模糊度量空間，如果取連續(xù)t-范數(shù)為a*b=min{a，b}，則由引理知（X，M，*）是（D）g型的，其中進而它也是（C）g型的，于是由定理1 可得定理2.

定理2設(shè)（X，M，*）為完備非Achimedes 模糊度量空間，其中連續(xù)t-范數(shù)為a*b=min{a，b}，a、b∈[0，1），f、h 是X 上的自映象，滿足

其中：x∈X，t ＞0；α、β、γ、μ 為非負實數(shù)且α+2γ ＜1，β+2μ ＜1；φ：R+→R+是Lebesgue 可積與可和的.如果f 或h 連續(xù)，則f 與h 在X 上有一公共不動點.

定理3設(shè)（X，M，*）為具有M 三角完備的模糊度量空間，f、h 是X 上的自映象，滿足下列不等式

其中：x∈X，t ＞0；α、β、γ、μ 為非負實數(shù)且α+2γ ＜1，β+2μ＜1；φ：R+→R+是Lebesgue 可積與可和的.如果f或h 連續(xù)，則f 與h 在X 上有一公共不動點.

證明因為M是三角的，取則（X，M，*）是（C）g型的.由定理1 可知定理3 成立.證畢.

推論3設(shè)（X，d）為完備度量空間，f、h 是X 上的自映象，滿足

其中：x∈X，t ＞0；α、β、γ、μ 為非負實數(shù)且α+2γ ＜1，β+2μ＜1；φ：R+→R+是Lebesgue 可積與可和的.如果f或h 連續(xù)，則f 與h 在X 上有一公共不動點.

如果M 不是三角的，取連續(xù)t-范數(shù)為a*b=min{a，b}，則有如下結(jié)果.

定理4設(shè)（X，M，*）為完備模糊度量空間，連續(xù)t-范數(shù)為a*b=min{a，b}，a、b∈[0，1]，f、h 是X 上的自映象，滿足

其中：x∈X，t ＞0；α、β、γ、μ 為非負實數(shù)且α+2γ ＜1，β+2μ＜1；φ：R+→R+是Lebesgue 可積的，且0，ε ＞0.如果f 或h 連續(xù)，則f 與h 在X 上有一公共不動點.

證明對x0∈X，可歸納定義序列{xn}為x2n+1=fx2n，x2n+2=hx2n+1，n=0，1，2，…，取由式（9）、式（10）和定理1 的證明過程可得，對n=1，2，3，…及t ＞0，有

這表明{xn}是完備模糊度量空間（X，M，*）中的Cauchy序列.因此由類似于定理1 的證明過程，可得f 與h在X 上有一公共不動點.證畢.

推論4設(shè)（X，M，*）是完備模糊度量空間，連續(xù)t-范數(shù)為a*b=min{a，b}，a、b∈[0，1]，f 是X 上的自映象，滿足

其中：x∈X，t ＞0，λ ＜1；φ：R+→R+是Lebesgue 可積的，且如果f 連續(xù)，則f 在X 上有一不動點.

例2?t∈R+=[0，+∞），取φ（t）=2t，則φ：R+→R+是Lebesgue 可積的，且設(shè)X=R，a*b=min {a，b}，a、b∈[0，1].對x、y∈X，t ＞0，定義則易知（X，M，*）為完備的模糊度量空間.對x∈X，定義f、h：X→X 為fx=則有