邢 琳，周立群

（天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津300387）

遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（RNNs），包括Hopfield 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、Cohen-Grossberg 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等，其在信號處理、聯(lián)想記憶、優(yōu)化與控制和人工智能等方面有著重要的應(yīng)用.這些應(yīng)用大多要求平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，由于系統(tǒng)在運(yùn)行過程中時(shí)滯普遍存在，因此研究具時(shí)滯的遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性更有實(shí)際意義.

比例時(shí)滯作為一種無界時(shí)變時(shí)滯，在物理、生物、電子與計(jì)算科學(xué)等領(lǐng)域發(fā)揮著重要的應(yīng)用.目前對比例時(shí)滯遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性的研究已取得了一些成果[1-16].文獻(xiàn)[1-4]分別利用M-矩陣?yán)碚摗r(shí)滯微分不等式、Young 不等式以及Lyapunov 穩(wěn)定性理論，得到了比例時(shí)滯遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)全局指數(shù)穩(wěn)定的充分條件.文獻(xiàn)[5]應(yīng)用定點(diǎn)理論和不等式分析技巧，研究了比例時(shí)滯競爭神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的指數(shù)穩(wěn)定性.文獻(xiàn)[6-7]應(yīng)用Lyapunov 穩(wěn)定性理論與相關(guān)不等式技巧，分別研究比例時(shí)滯脈沖二階Hopfield 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局指數(shù)穩(wěn)定性以及比例時(shí)滯遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的指數(shù)同步性.文獻(xiàn)[8]利用微分不等式技巧得到了一類多比例時(shí)滯遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)正平衡點(diǎn)的唯一性和廣義指數(shù)穩(wěn)定性.文獻(xiàn)[9-10]應(yīng)用矩陣?yán)碚摵蚅yapunov 函數(shù)，證明了兩類多比例時(shí)滯細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的指數(shù)穩(wěn)定性和漸近穩(wěn)定性.文獻(xiàn)[11]利用非線性測度研究了多比例延時(shí)細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的指數(shù)穩(wěn)定性.文獻(xiàn)[12]利用內(nèi)積性質(zhì)和矩陣?yán)碚?，得到了一類比例時(shí)滯細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的耗散性.文獻(xiàn)[13-16]分別采用微分不等式技巧和微分包含理論研究了比例時(shí)滯非自治細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局指數(shù)收斂性和有限時(shí)間穩(wěn)定性、比例時(shí)滯模糊細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的有限時(shí)間同步性以及記憶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的反同步控制性.本文對于一類比例時(shí)滯遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，運(yùn)用對角（半）穩(wěn)定矩陣，并建立合適的Lyapunov 泛函，以及構(gòu)造時(shí)滯微分不等式,得到保證系統(tǒng)全局漸近穩(wěn)定和全局指數(shù)穩(wěn)定的充分條件,該條件與時(shí)滯無關(guān),且與以往結(jié)果相比保守性較低.

1 模型與預(yù)備知識

考慮如下模型

其中：C=diag（c1，c2，…，cn），ci＞0；W=（wij）n×n為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)重矩陣；u（t）=（u1（t），u2（t），…，un（t））T為神經(jīng)元在時(shí)刻t 的狀態(tài)向量；g（·）為激活函數(shù)，g（u（t））=（g1（u1（t）），g2（u2（t）），…，gn（un（t）））T；I=（I1，I2，…，In）T為偏置性輸入；a、b∈R，a ＞0，b ＞0；qt=t-（1-q）t，滿足0 ＜q≤1，（1-q）t 為時(shí)滯函數(shù)，且當(dāng)t→+∞時(shí)，（1 - q）t→+∞（q≠1）； φ（θ）=（φ1（θ），φ2（θ），…，φn（θ））T∈C（[q，1]，Rn）為系統(tǒng)的初始函數(shù)，C（[q，1]，Rn）表示從[q，1]到Rn的所有連續(xù)函數(shù)構(gòu)成的集合.

做變換

由系統(tǒng)（1）知et≥1，因此t≥0，且有由系統(tǒng)（1）和式（2）可得

于是系統(tǒng)（1）可等價(jià)變換為

其中： τ=-ln q≥0； y（t）=（y（1t），y（2t），…，y（nt））T，ψ（θ）=（ψ（1θ），ψ（2θ），…，ψ（nθ））T∈C（[-τ，0]，Rn）.

假設(shè)g（·）滿足如下條件：（H）激活函數(shù)gi滿足連續(xù)的局部Lipschitz 條件，且為一致不減的函數(shù)，即對于任意常數(shù)xi0∈R，?εi0＞0，li0＞0，i=1，2，…，n，使得

其中：σ、ρ∈[xi0-εi0，xi0+εi0]，σ≠ρ.

設(shè)系統(tǒng)（1）的平衡點(diǎn)為u*, 系統(tǒng)（3）的平衡點(diǎn)為y*，由假設(shè)（H）知系統(tǒng)（1）和系統(tǒng)（3）的平衡點(diǎn)均存在,且易證u*=y*.令z（t）=y（t）-y*，則系統(tǒng)（3）可變換為

其中：f（z（t））=（f1（z1（t）），f2（z2（t）），…，fn（zn（t）））T=g（z（t）+y*）- g（y*），f（0）=0； ξ（θ）=ψ（θ） - y*.f 也滿足條件（H），因此,系統(tǒng)（4）零解的穩(wěn)定性與相應(yīng)的系統(tǒng)（3）的平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性等價(jià).

定義1稱n×n 矩陣A 為對角半穩(wěn)定的（或?qū)欠€(wěn)定的）,如果存在正對角矩陣K，使得KA+ATK≤0（或KA+ATK ＜0）.

定義2稱系統(tǒng)（4）的平衡點(diǎn)z*=0 是全局漸近穩(wěn)定的,如果對于任何初始值都有

定義3稱系統(tǒng)（4）的平衡點(diǎn)z*=0 是全局指數(shù)穩(wěn)定的,如果存在M≥1，β ＞0，使得

定義4設(shè)存在ai＞0，使得|zi（t）|≤ai，?t≥0，i=1，2，…，n.記

若在GH內(nèi)存在正定函數(shù)V（z（t），t），使得則系統(tǒng)（4）的零解是穩(wěn)定的.

命題1[17]存在正函數(shù)li（zit），i=1，2，…，n，滿足

命題2[17]存在正連續(xù)變量li0滿足

?sit=即sit是介于0 與zit之間的函數(shù)，D+fi（sit）為fi（sit）的Dini 導(dǎo)數(shù).

命題3[17]存在正連續(xù)變量li0，i=1，2，…，n，滿足

2 主要結(jié)果

定理1若系統(tǒng)（1）中矩陣W 是對角穩(wěn)定的,且滿足條件（H），則系統(tǒng)（1）的平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的.

證明因?yàn)閃 是對角穩(wěn)定的,因此存在正對角矩陣K=diag（k1，k2，…，kn），使得KW+WTK ＜0.考慮如下Lyapunov 泛函

由命題1 知V（t）≥0，即V（t）是正定的.易知afi（zi（t））+bfi（zi（t-τ））滿足條件（H）.對V（t）沿系統(tǒng)（4）對t≥0求導(dǎo)，得

其中cmin（C）表示矩陣C 的最小的特征值.

設(shè)z（t）≠0，則存在某個(gè)i,使得zi（t）≠0，由V（t）的定義知V（t）＞0，再由式（5）得

考慮z（t）=0，若z（t -τ）=0，由式（5）得

利用一塔兩線模型分析得到的系統(tǒng)振動特性,與三塔兩線等其他更為復(fù)雜的模型得到的結(jié)論基本一致[13].因此,可以將多跨連續(xù)的塔-線體系結(jié)構(gòu)簡化為一基塔與兩跨線組成的簡化系統(tǒng),如圖1所示.將塔-線體系中的輸電塔、導(dǎo)線分別視為懸臂梁和弦線,得到的一塔兩線連續(xù)體簡化力學(xué)模型[14].

設(shè)z（t）=0，z（t-τ）=0，此時(shí)顯然有

定理2若系統(tǒng)（1）中矩陣W 是對角穩(wěn)定的,且滿足條件（H），并且存在常數(shù)α ＞0，使得

則系統(tǒng)（1）是全局指數(shù)穩(wěn)定的.

證明仍考慮定理1 中的Lyapunov 泛函,由定理1 知系統(tǒng)（4）的零解z（t）=0 是全局漸近穩(wěn)定的.由定義2 知，存在ai＞0，使得|zi（t）|≤ai，?t≥0，i=1，2，…，n.

由命題3 得

其中z0=（z10，z20，…，zn0）T.定義如下連續(xù)函數(shù)

對Ei（v）取Dini 導(dǎo)數(shù),得

由命題2 可知

于是有

從而

由命題3 得

所以

于是?zit∈[-ai，ai]，Ei（v）≥Ei（0）=0，即有

于是有

定義

由式（4）及式（7）可得

因此

由此不難得到

斷言xi（t）≤T，i=1，2，…，n，t∈（0，+∞）.先證對d ＞1，有

若式（10）不成立，則由式（9）可知存在t1＞0 和某個(gè)i（不妨設(shè)為k），使得

其中：-τ≤t ＜t1，i=1，2，…，n.

另一方面，由式（6）和式（8）有

因此得到矛盾.于是有

當(dāng)d→1 時(shí)，有

于是可得

其中α ＞0，λ≥1，i=1，2，…，n.由定義3，系統(tǒng)（4）的零點(diǎn)是全局指數(shù)穩(wěn)定的，從而系統(tǒng)（1）的平衡點(diǎn)也是全局指數(shù)穩(wěn)定的.

定理3若系統(tǒng)（1）中矩陣W 是對角半穩(wěn)定的，且滿足條件（H），則系統(tǒng)（1）的平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的.

證明對于定理1 中的Lyapunov 泛函，當(dāng)z（t）=0，z（t-τ）≠0 時(shí)，由式（5）有

其余過程同定理1.由定義4 知系統(tǒng)（4）的零解是穩(wěn)定的，則系統(tǒng)（1）的平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的.

3 數(shù)值算例及仿真

例考慮如下二維模型

其中

故有

取α=0.001，計(jì)算得

故滿足定理2 的條件，則系統(tǒng)（12）的平衡點(diǎn)是全局指數(shù)穩(wěn)定的.

當(dāng)系統(tǒng)（12）外部輸入I=（0，0）T時(shí)，系統(tǒng)平衡點(diǎn)是（0，0）T.系統(tǒng)（12）的全局指數(shù)穩(wěn)定性見相軌跡圖1和時(shí)間響應(yīng)曲線圖2.

圖1 當(dāng)I=（0，0）T 時(shí)，系統(tǒng)（12）的相軌跡Fig.1 Phase trajectory of System（12）when I=（0，0）T

圖2 當(dāng)I=（0，0）T 時(shí)，系統(tǒng)（12）的時(shí)間響應(yīng)曲線Fig.2 Time response trajectory of System（12）when I=（0，0）T

當(dāng)系統(tǒng)（12）外部輸入I=（1，-1）T時(shí)，應(yīng)用Matlab計(jì)算得系統(tǒng)平衡點(diǎn)為（1.329 6，-1.097 5）T.系統(tǒng)（12）平衡點(diǎn)的全局指數(shù)穩(wěn)定性見相軌跡圖3 和時(shí)間響應(yīng)曲線圖4.

圖3 當(dāng)I=（1，-1）T 時(shí)，系統(tǒng)（12）的相軌跡Fig.3 Phase trajectory of System（12）when I=（1，-1）T

圖4 當(dāng)I=（1，-1）T 時(shí)，系統(tǒng)（12）的時(shí)間響應(yīng)曲線Fig.4 Time response trajectory of System（12）when I=（1，-1）T