李慧 歐陽鑫玉

摘? 要： 為解決具有動(dòng)態(tài)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的復(fù)雜系統(tǒng)的建模問題，提出一種對(duì)其進(jìn)行解釋結(jié)構(gòu)建模和數(shù)學(xué)建模的新方法。該方法基于動(dòng)態(tài)圖理論，利用可達(dá)矩陣對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行強(qiáng)連通子集和區(qū)域劃分;利用縮減矩陣，對(duì)系統(tǒng)的子系統(tǒng)進(jìn)行級(jí)別劃分;再通過縮減逆變換求取系統(tǒng)的骨架矩陣，并利用得到的骨架矩陣，建立系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)模型，該模型就是一個(gè)分級(jí)動(dòng)態(tài)圖。該方法有利于計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)，具體算例驗(yàn)證了該方法的有效性。

關(guān)鍵詞： 動(dòng)態(tài)圖; 復(fù)雜系統(tǒng); 解釋結(jié)構(gòu); 建模方法

中圖分類號(hào)：TP11? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A? ? ?文章編號(hào)：1006-8228（2019）08-49-04

Abstract： In order to solve the modeling problem of complex systems with dynamic topological structures， a new method of interpretive structural modeling and mathematical modeling is proposed. The method is based on dynamic graph theory. Firstly， the system is divided into strongly connected subsets and regions by using reachability matrix; secondly， the subsystems of the system are classified by using reduction matrix; thirdly， the skeleton matrix of the system is obtained by reducing inverse transformation， and then the structure model of the system is established by using the skeleton matrix obtained. The model is actually a hierarchical dynamic graph. The method is beneficial to computer implementation， and the effectiveness of the method is verified by an example.

Key words： dynamic graphs; complex systems; interpretive structural; modeling method

0 引言

復(fù)雜系統(tǒng)與復(fù)雜性科學(xué)被譽(yù)為21世紀(jì)的科學(xué)，是吸引跨學(xué)科廣泛注意的新型交叉科學(xué)，已經(jīng)成為廣大研究者自20世紀(jì)末以來的研究新熱點(diǎn)[1]。所謂復(fù)雜系統(tǒng)，就是由大量子系統(tǒng)以某種關(guān)系耦合在一起而組成的系統(tǒng)，它通常會(huì)表現(xiàn)出自組織、涌現(xiàn)等特性。復(fù)雜系統(tǒng)作為復(fù)雜性的表現(xiàn)載體，涉及的范圍非常廣泛，包括自然、工程、生物、經(jīng)濟(jì)、管理、政治與社會(huì)等各個(gè)方面，它普遍存在于自然界、社會(huì)以及各個(gè)不同學(xué)科領(lǐng)域中，可以說幾乎無處不在，如復(fù)雜制造系統(tǒng)、復(fù)雜工程系統(tǒng)、生物系統(tǒng)、社會(huì)系統(tǒng)、天體系統(tǒng)、經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)、電力系統(tǒng)、群體系統(tǒng)、通信系統(tǒng)等，它們都是復(fù)雜性科學(xué)研究的具體對(duì)象。一般來說，復(fù)雜系統(tǒng)的子系統(tǒng)之間耦合關(guān)系通常是動(dòng)態(tài)的，這意味著系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)不是固定的、成熟的，也不是一成不變的;相反，由于外部作用的驅(qū)使內(nèi)部元素的作用或遵循明確的預(yù)先確定的演化規(guī)則，允許它隨時(shí)間演化和調(diào)節(jié)[2]。那么，如何根據(jù)對(duì)具有動(dòng)態(tài)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的復(fù)雜系統(tǒng)的描述和分析，為其建立結(jié)構(gòu)模型和數(shù)學(xué)模型，是值得深入研究的課題。

本文從圖論出發(fā)，討論動(dòng)態(tài)圖的連通性、可達(dá)性、區(qū)域性等特性，并利用其對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)進(jìn)行了描述和結(jié)構(gòu)建模，然后根據(jù)動(dòng)態(tài)圖與動(dòng)態(tài)鄰接矩陣的同構(gòu)性，給出了復(fù)雜系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。

1 動(dòng)態(tài)圖理論

圖論是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)精確數(shù)學(xué)處理的自然框架，且形式上復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)可以用圖表示。對(duì)于復(fù)雜系統(tǒng)，如果將子系統(tǒng)看作復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的頂點(diǎn)，子系統(tǒng)之間的耦合關(guān)系看作復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的邊，那么，復(fù)雜系統(tǒng)就可以用一個(gè)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)來描述，也即可以用一個(gè)圖來描述。但傳統(tǒng)的圖論主要研究的是具有固定邊權(quán)的靜態(tài)圖，對(duì)于描述耦合關(guān)系隨時(shí)間變化的復(fù)雜系統(tǒng)稍顯不足，因而需要對(duì)傳統(tǒng)的圖論進(jìn)行擴(kuò)展，將靜態(tài)圖推廣到動(dòng)態(tài)圖。

首先定義一個(gè)具有頂點(diǎn)數(shù)為[N]的圖空間[Ω]?？紤]有向圖[D=（V，E）]，其中[V]是[N]個(gè)頂點(diǎn)的非空集，[E]是有向邊（?。┑募?對(duì)每條弧[（vi，vj）][∈E]，分配一個(gè)權(quán)值[eij]，若[（vi，vj）][?E]，則[eij=0]。根據(jù)圖與矩陣同構(gòu)概念，圖[D]可以利用鄰接矩陣[E=（eij）][∈RN×N]表示?？紤]映射[Φ（t，D）]對(duì)于[?D∈Ω]、[t∈R]，確定一個(gè)圖[Φ∈Ω]。由此，定義[3]：

定義1 動(dòng)態(tài)圖[D]是圖空間[Ω]到其自身的一個(gè)單參數(shù)映射[Φ（t，D）：R×Ω→Ω]，且同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：

4 結(jié)束語

本文基于動(dòng)態(tài)圖理論，針對(duì)具有結(jié)構(gòu)約束的動(dòng)態(tài)互聯(lián)復(fù)雜系統(tǒng)，提出了一種有效的結(jié)構(gòu)模型和數(shù)學(xué)模型建立方法，該方法建立的模型直觀且易于用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)，有利于復(fù)雜系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析、脆性研究、協(xié)調(diào)控制研究和分散控制研究等后續(xù)研究。

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