張海紅

一、理順邏輯結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)學(xué)科是一門邏輯性極強(qiáng)而又極其追求簡約的學(xué)科，因此每一個新的數(shù)學(xué)概念的誕生都有著不得不誕生的理由。作為數(shù)學(xué)教師，我們在教學(xué)新內(nèi)容時，往往要追問自己，為什么要讓孩子學(xué)習(xí)這個內(nèi)容？或者說這個知識點(diǎn)的價值何在？例如“比”，用分?jǐn)?shù)、用除法都可以對兩個數(shù)量進(jìn)行比較，為什么還要用到“比”？通過研究知道：比不僅可以對兩個數(shù)量進(jìn)行比較，還可以同時對兩個以上的數(shù)量進(jìn)行比較，如配制一種混凝土，水泥、石子、黃沙的比是4∶3∶2。想到這點(diǎn)，那么課堂教學(xué)設(shè)計自然就關(guān)注到了“比”概念產(chǎn)生的價值。因此，在教學(xué)之前不妨多問問這樣的問題，想明白了，也就理順了知識之間的邏輯結(jié)構(gòu)，而這種邏輯結(jié)構(gòu)往往又與兒童的認(rèn)知心理相吻合。以此做出的教學(xué)設(shè)計，邏輯清晰，過程簡約，數(shù)學(xué)味濃，不失為一堂好課。再如，加法和乘法運(yùn)算定律的教學(xué)，教材上都安排先學(xué)習(xí)交換律，再學(xué)習(xí)結(jié)合律，這自然是遵循認(rèn)知規(guī)律，由易而難的，但是知識發(fā)生的順序究竟是怎樣的呢？學(xué)習(xí)運(yùn)算律最重要的意義是解決簡便運(yùn)算的問題，而簡便運(yùn)算的重要思想方法是湊整，即把能夠湊成整十、整百、整千等的數(shù)結(jié)合在一起先計算，再加或乘另外一個數(shù)，會使計算簡便。但是在實(shí)際操作中，有時想湊整的兩個數(shù)不在相鄰的位置，為了使它們能先算，就需要其中的一個數(shù)和其他的數(shù)交換一下位置，于是交換律登場。據(jù)于這樣的理解，課程設(shè)計可以先安排學(xué)習(xí)結(jié)合律，并理解結(jié)合委的意義和價值，然后再制造認(rèn)知沖突，如果想湊整的兩個數(shù)不在相鄰的位置怎么辦？引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)已有的運(yùn)算經(jīng)驗，想到交換數(shù)的位置的辦法，點(diǎn)明這就是交換律。這樣的教學(xué)從教材既定的框架中跳出來，重構(gòu)了另一條學(xué)習(xí)線路，即重新經(jīng)歷知識發(fā)生發(fā)展的過程，更深刻地體悟?qū)W科發(fā)展的意義及價值，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行創(chuàng)造性思考。

二、力求知識延展

物體在外力作用下能延伸成細(xì)絲而不斷裂的性質(zhì)叫延性;在外力（錘擊或滾軋）作用能碾成薄片而不破裂的性質(zhì)叫展性。延展性好的物質(zhì)更容易被塑形后創(chuàng)造出更多的新產(chǎn)品。安德烈·焦?fàn)柈?dāng)在《學(xué)習(xí)的本質(zhì)》一書中指出：“學(xué)習(xí)首先是一種變形?！敝R變形的前提是該知識有較好的延展性。我們追求知識的延展，即是追求從一個核心知識衍生出更多的知識、能力、活動經(jīng)驗，甚至數(shù)學(xué)思想。此時，這個知識是活的，隨時可以變形成新問題需要的結(jié)構(gòu)。教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)關(guān)注知識可延展的方向，并適當(dāng)點(diǎn)撥，為知識即將可能的變形奠基。既然要變形，那么變形的基點(diǎn)在哪里？方向在哪里？這是教學(xué)中應(yīng)當(dāng)思考的。站在知識系統(tǒng)上方，整體審視教學(xué)內(nèi)容，才能看清知識在結(jié)構(gòu)中所處的位置及來龍去脈，才能知道教學(xué)應(yīng)在哪里著力，哪里突破，哪里伏筆。例如《倒數(shù)的認(rèn)識》。根據(jù)倒數(shù)的意義，兩數(shù)相乘的積是1，這兩個數(shù)就互為倒數(shù)。互為倒數(shù)的兩個數(shù)的形式是多樣的，可以是分?jǐn)?shù)、整數(shù)，也可以小數(shù)等，而教材呈現(xiàn)的例子和練習(xí)都是求分?jǐn)?shù)（不含帶分?jǐn)?shù)）和整數(shù)的倒數(shù)，實(shí)際教學(xué)是否要關(guān)注帶分?jǐn)?shù)、小數(shù)的倒數(shù)呢？我認(rèn)為在兒童學(xué)習(xí)力許可的情況下，可以適當(dāng)延展，畢竟生活中數(shù)的表現(xiàn)形式確實(shí)是多種多樣的。因此在學(xué)生已經(jīng)知道了倒數(shù)的意義和求分?jǐn)?shù)的倒數(shù)的方法后，繼續(xù)組織引導(dǎo) 學(xué)生嘗試求出0.25、212 的倒數(shù)。教師板演：

從而師生共同總結(jié)出同一個數(shù)的倒數(shù)可以有不同的表現(xiàn)形式，而這幾種表現(xiàn)形式的值是相等的。

《倒數(shù)的認(rèn)識》一課，從知識層面來講，難度不高。主要是使學(xué)生理解倒數(shù)的意義，掌握求分?jǐn)?shù)的倒數(shù)的方法，并能正確熟練地求出分?jǐn)?shù)的倒數(shù)。通過對本節(jié)教材和后續(xù)教材的反復(fù)研讀，以及對兒童的深入研究，我認(rèn)為，本課教學(xué)重點(diǎn)應(yīng)放在思維的提高上，這就需要對教材進(jìn)行適度超越，對知識適當(dāng)延展，體現(xiàn)在兩個方面：1.讓學(xué)生掌握了求小數(shù)和帶分?jǐn)?shù)的倒數(shù);2.讓學(xué)生明白了“同一個數(shù)的倒數(shù)的表現(xiàn)形式可能不止一種”的觀點(diǎn)。而這兩點(diǎn)對后續(xù)學(xué)習(xí)，尤其是學(xué)生的思維發(fā)展是非常有效的。事實(shí)上，對這兩點(diǎn)，所有學(xué)生都能輕松地接納并完成。我深信，這些孩子在遇到計算形如“19×0.25+81÷4”時，就不會只想到按著運(yùn)算順序慢慢算，而會想到4和0.25互為倒數(shù)，所以81÷4可以變形成為81×0.25，從而用乘法分配律簡便計算。當(dāng)然追求知識的延展性一定要把握“度”的問題，而這個“度”基于對兒童學(xué)習(xí)心理及能力的深度把握，在兒童可接納的范圍內(nèi)延展。過度，數(shù)學(xué)課程就會顯得艱澀而與兒童疏遠(yuǎn);適度，則會引發(fā)兒童生命與數(shù)學(xué)課程契合共鳴。

三、整合關(guān)聯(lián)領(lǐng)域

數(shù)學(xué)知識是一個龐大的知識系統(tǒng)，且在舊知識的基礎(chǔ)上不斷增長、不斷深入，但始終具有一定的結(jié)構(gòu)系列，這就是知識點(diǎn)的內(nèi)在關(guān)聯(lián)的根源和實(shí)質(zhì)。所有的知識點(diǎn)具有互相支撐的關(guān)系。如下圖中的知識X與 A、B具有歸屬關(guān)系，知識X，是知識A、B的上位知識，反之知識A、B是知識X的下位知識。從上位知識到下位知識，一般可以通過演繹得到。而從下位知識到上位知識，一般可以通過歸納得到。再如知識A、B是并列關(guān)系，從知識A到知識B，可以通過類比（正類比、反類比）得到。

實(shí)際教學(xué)中，教師要研究知識之間的支撐關(guān)系，對關(guān)聯(lián)領(lǐng)域適當(dāng)整合，可以穩(wěn)固知識結(jié)構(gòu)。例如，加法運(yùn)算是求兩個不相交集合的并集，加法運(yùn)算的本質(zhì)是同類量的合并。整、小數(shù)加法計算法則：相同數(shù)位對齊;從低位算起;滿十進(jìn)一。相同數(shù)位對齊的意義就是使計數(shù)單位相同的數(shù)相加，如3個一加5個一，2個0.1加7個0.1等。分?jǐn)?shù)加法法則：把異分母分?jǐn)?shù)先轉(zhuǎn)化成同分母分?jǐn)?shù)，再相加。轉(zhuǎn)化成同分母分?jǐn)?shù)的意義就是使兩個分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)單位變成相同，以滿足相加的條件。

在關(guān)于加法運(yùn)算的例子中，加法運(yùn)算的意義和本質(zhì)是上位知識，也是一般模型，而整、小數(shù)加法運(yùn)算和分?jǐn)?shù)加法運(yùn)算是加法的三個特例，是下位知識。基于兒童學(xué)習(xí)特點(diǎn)，教材按這樣的順序組織：先安排學(xué)習(xí)整數(shù)加法運(yùn)算，而后在與整數(shù)相加法的類比中學(xué)習(xí)小數(shù)加法計算，最后再安排異分母分?jǐn)?shù)加法計算學(xué)習(xí)。作為教師，如果能諳熟加法運(yùn)算的本質(zhì)聯(lián)系，就能透過教材的組織關(guān)系，輕易地找到知識之間的支撐關(guān)系，并強(qiáng)化舊知的支撐作用，高效完成新知建構(gòu)。再如，蘇教版五年級上冊“小數(shù)乘法”單元安排了“一個數(shù)乘10、100、1000后小數(shù)點(diǎn)位置變化”的學(xué)習(xí)，而在“小數(shù)除法”單元安排了“一個數(shù)除以10、100、1000后小數(shù)點(diǎn)位置變化”的學(xué)習(xí)。

通讀教材后，我認(rèn)為“一個數(shù)除以10、100、1000后小數(shù)點(diǎn)位置變化”的學(xué)習(xí)可以前置，只要在“一個數(shù)乘10、100、1000后小數(shù)點(diǎn)位置變化”的學(xué)習(xí)之后，用類比支撐一下，就可以完成學(xué)習(xí)。

教師可以這樣引導(dǎo)建立支撐：通過剛才的學(xué)習(xí)，我們知道一個數(shù)乘10、100、1000后，小數(shù)點(diǎn)就會向右移動一位、兩位、三位。我們還知道除法是乘法的逆運(yùn)算，那么請你想一想，如果一個數(shù)除以10、100、1000，小數(shù)點(diǎn)會怎樣移動呢？右與左互逆，于是學(xué)生馬上會想到一個數(shù)除以10、100、1000，小數(shù)點(diǎn)會向左移動一位、兩位、三位。這時再組織學(xué)生用計算器驗證一下，進(jìn)一步鞏固即可。這樣，在教師客觀分析知識間的關(guān)系基礎(chǔ)上，巧妙地用好這種關(guān)系，不僅可以穩(wěn)固知識的結(jié)構(gòu)，也可以節(jié)約課時，激起學(xué)生的自豪感。教材是課程標(biāo)準(zhǔn)的具體文本表現(xiàn)，是許多教育教學(xué)專家智慧的結(jié)晶，也是人類智慧的結(jié)晶，具有普遍性。教師的作用在于引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)造性地參與文本的意義生成過程，即重建文本的意義，并且根據(jù)兒童需要，對教材進(jìn)行再度重構(gòu)設(shè)計，大膽地進(jìn)行“用課標(biāo)教”的課程想象和實(shí)踐，追求兒童與課程的真正和諧共振。

（責(zé)任編輯? 范娛艷）