葉玉琴

（安慶市第二中學 安徽 安慶 246000）

運動的合成和分解是處理曲線運動的常用方法，也是一個非常重要的方法.如平拋運動可分解為水平方向的勻速直線運動和豎直方向的自由落體運動，這是非常熟悉的常規(guī)分解方法.其實，也可以采用其他方式分解，比如，可以將所有的拋體運動分解為沿初速度方向以初速度運動的勻速直線運動和自由落體運動.像豎直上拋運動就可以分解為豎直向上的勻速直線運動和自由落體運動.特別地，還可以將速度零（或曰靜止）分解為兩個任一時刻大小相等、方向相反的兩個直線運動.這樣的另類分解可以速解某些常規(guī)解析法難以求解的問題.下面以兩道高考題的求解說明此解法的巧妙.

1 將速度零（或曰靜止）分解為v和－v情形

【例1】（2008年高考江蘇卷第14題）在場強為B的水平勻強磁場中，一質量為m、帶正電q的小球在O點靜止釋放，小球的運動曲線如圖1所示.已知此曲線在最低點的曲率半徑為該點到x軸距離的2倍，重力加速度為g.求：

圖1

（1）小球運動到任意位置P（x，y）的速率v；

（2）小球在運動過程中第一次下降的最大距離ym；

（3）當在上述磁場中再加上一豎直向上場強為E（E＞）的勻強電場時，小球從O靜止釋放后獲得的最大速率vm.

解析：略去高考卷提供的參考答案解析.對于本題的（2）、（3）問可如下解答.

（2）將小球在O點的零初速度分解為水平向右的速度v和水平向左的－v，且滿足qvB＝mg.這樣小球以水平向右的速度v運動時所受的洛倫茲力與所受的重力相平衡，于是就可以將小球的復雜運動分解成水平向右的勻速直線運動和以O點作為圓周最高點的逆時針方向的勻速圓周運動，如圖2（a）所示.所以小球在運動過程中第一次下降的最大距離即為該圓周的直徑，故

圖2

（3）當再加上一豎直向上的場強為E（E＞）的勻強電場時，運用等效思想可將重力場和勻強電場合成為一等效場.其場力為（qE－mg），方向豎直向上；如法炮制，如圖2（b）所示將小球在O點的初速度零分解為水平向右的速度v′和水平向左的速度－v′，且滿足qv′B＝qE－mg.這樣小球以水平向左的速度－v′運動時所受的洛倫茲力與所受的等效場力相平衡，于是就可以將小球的復雜運動分解成水平向左的勻速直線運動和以O點作為圓周最低點的逆時針方向的勻速圓周運動.所以當小球到達圓周的最高點時獲得最大速率，故最大速率為

2 將不為零的速度v0分解為v1和v2情形

【例2】（2011年高考福建卷第22題）如圖3（a），在x＞0的空間中存在沿y軸負方向的勻強電場和垂直于xOy平面向里的勻強磁場，電場強度大小為E，磁感應強度大小為B.一質量為m、帶電荷量為q（q＞0）的粒子從坐標原點O處，以初速度v0沿x軸正方向射入，粒子的運動軌跡見圖3（a），不計粒子的重力.

（1）求該粒子運動到y(tǒng)＝h時的速度大小v；

（2）現(xiàn)只改變入射粒子初速度的大小，發(fā)現(xiàn)初速度大小不同的粒子雖然運動軌跡（y-x曲線）不同，但具有相同的空間周期性，如圖3（b）所示；同時，這些粒子在y軸方向上的運動（y-t關系）是簡諧運動，且都具有相同的周期T＝.

1）求粒子在一個周期T內，沿x軸方向前進的距離；

2）當入射粒子的初速度大小為v0時，其y-t圖像如圖3（c）所示，求該粒子在y軸方向上做簡諧運動的振幅A，并寫出y（t）的表達式.

圖3

解析：略去高考卷提供的參考答案解析.對于本題的（2）問可如下解答.

2）如圖4所示，當入射粒子的初速度大小為v0時，該粒子的一個分運動是以O點作為起點同時又為圓周最低點的逆時針方向、速度大小為v2＝v0－v1的勻速圓周運動，圓周的半徑r即為粒子在y軸方向上簡諧運動的振幅A，故

于是簡諧運動的y（t）的表達式為

圖4

點評：帶電粒子在勻強磁場和恒力場（勻強電場、重力場）組成的復合場中運動時，其所受的洛倫茲力大小和方向隨時間而變化；若其運動是復雜的曲線運動，涉及力學、電磁學等多方面知識內容，綜合性強，能力要求高，常規(guī)解析法難度高，學生難以掌握和解決.因此在處理該類問題時，通過以上兩例所闡述的另類分解速度法，將帶電問題和帶電粒子的復雜曲線運動分解為勻速直線運動和勻速圓周運動，即可巧妙地解答該類問題.

1 薛金星，原野.2008年全國及各省市高考試題全解·理科綜合卷.北京：人民教育出版社，2008

2 薛金星，任玉娟.2011年全國及各省市高考試題全解·理科綜合卷.西安：陜西出版集團，陜西人民教育出版社，2011