劉改玉 趙勵(lì)羽

在學(xué)習(xí)正弦定理時(shí)，通過一些討論可以得出“邊邊角”解三角形解的個(gè)數(shù)[1]，這些討論不免繁雜.因此，有必要探究出“邊邊角”解三角形解的個(gè)數(shù)的通解公式，即得出y=Φ（a，bA），代入△ABC的a，b，A三個(gè)元素，即可求出解的個(gè)數(shù).

一些限定條件及對(duì)應(yīng)解的個(gè)數(shù)如下表所示：

此問題需進(jìn)行三級(jí)討論，不同情況解的個(gè)數(shù)又有所重疊，也就是說，各條件對(duì)解的個(gè)數(shù)的影響效應(yīng)不同.這里筆者聯(lián)想到了斗地主中的“牌點(diǎn)叫牌法”，具體內(nèi)容為：“斗地主中主要大牌的牌力定量評(píng)價(jià)如下：大王4個(gè)牌點(diǎn)，小王3個(gè)牌點(diǎn)，2是2個(gè)牌點(diǎn)，A是一個(gè)牌點(diǎn).叫牌牌力至少7點(diǎn)以上的牌力.” [2]我們可以類比這種方法，設(shè)法給不同條件賦予不同點(diǎn)數(shù)，設(shè)三者點(diǎn)數(shù)加起來(lái)為d，同時(shí)設(shè)定集合A兩解，A一解，A無(wú)解，.若d∈AN解，則有N解.

得到正確的一組賦點(diǎn)方法以及一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)數(shù)之和的集合后，我們需要建立映射。即先將條件映射到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)數(shù)上，再將點(diǎn)數(shù)之和的對(duì)應(yīng)集合映射到對(duì)應(yīng)的解的個(gè)數(shù)上.

設(shè)π/2≤A<π為x點(diǎn)，0

a>b為l點(diǎn)，a=b為m點(diǎn)，a

a>bsinA為a點(diǎn)，a=bsinA為b點(diǎn)，a

對(duì)照上表，即可得18種情況對(duì)應(yīng)的點(diǎn)數(shù)之和.

設(shè)：N∈{k}時(shí)為兩解，N∈（k，+∞）時(shí)為一解，N∈（-∞，k）時(shí)為無(wú)解.

問題轉(zhuǎn)化為：求一組符合條件的值x，y，l，m，n，a，b，c，k∈Z，使得下列不等式同時(shí)成立.

易知x=-8，y=4，l=10，m=-4，n=-10，a=6，b=10，c=5，k=0是其中一組解.

這里建立映射的基本思想是應(yīng)用取整函數(shù)，從而把實(shí)數(shù)集映射到整數(shù)集上.

經(jīng)過多種嘗試，筆者得到了第一組條件的映射辦法：.

再由待定系數(shù)法確定下一步映射：

為了得到第二、三組條件的映射方法，首先需要建立映射

經(jīng)過各種嘗試，筆者選用了y=tanhx=

雙曲正切函數(shù)非常有利于取整函數(shù)的構(gòu)造.為了使x>0，x=0，x<0時(shí)y的值不同，稍加思考，筆者得到

與F（x）相比較，有

需注意，這兩個(gè)公式都不能用計(jì)算機(jī)驗(yàn)證.當(dāng)x較大時(shí)，tanhx會(huì)非常接近1，而計(jì)算機(jī)會(huì)將其近似為1進(jìn)行下一步計(jì)算，從而造成取整錯(cuò)誤.

為此，我們可以將通解公式中涉及的所有的雙曲正切函數(shù)都除以2，讓它的漸近線變?yōu)閥=0.5和y=-0.5.

通過這樣的探究，能夠發(fā)現(xiàn)，求解多級(jí)討論問題通解公式的根本辦法是“賦點(diǎn)法”，使通解公式簡(jiǎn)潔的策略是更換大方向或建立更先進(jìn)的映射方法，取整函數(shù)能實(shí)現(xiàn)從實(shí)數(shù)集到整數(shù)集的映射，應(yīng)用計(jì)算機(jī)編寫程序時(shí)應(yīng)注意

參考文獻(xiàn)：

[1]劉紹學(xué)，李建華等.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書 數(shù)學(xué)5 必修 A版[M].2007年1月第3版.北京：人民教育出版社，2007.8-9.

[2]佚名.斗地主（撲克牌游戲）_百度百科[DB/OL].https：//baike.baidu.com/item/%E6%96%97%E5%9C%B0%E4%B8%BB/177997？fr=aladdin，2018-09-02/2019-11-09.]計(jì)算機(jī)只能精確到小數(shù)點(diǎn)后有限位.