吳秀洪

摘 要：二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)，它是銜接高中知識(shí)的重要紐帶，而它又與初中數(shù)學(xué)的代數(shù)、幾何、三角函數(shù)等知識(shí)有密切的聯(lián)系。二次函數(shù)是各個(gè)地方數(shù)學(xué)中考的熱點(diǎn)，也是重點(diǎn)。是以本文探究二次函數(shù)常見題型的剖析，從而提高學(xué)生分析和解決二次函數(shù)問題的能力。

關(guān)鍵詞：二次函數(shù)；題型；剖析

一、線段數(shù)量及最值問題

例如圖①，已知拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)D（-2，0），B（0，-2），C（3，4），與x軸交于A、D兩點(diǎn).

（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)P，使PB+PD最小，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）如圖②，若點(diǎn)G是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在這樣的一點(diǎn)G，使得|GA-GC|的值最大？若存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

分析：

（1）略

（2）求一動(dòng)點(diǎn)到直線同側(cè)兩定點(diǎn)的距離和的最小值，方法就是作對(duì)稱、連線段.

（3）要求|GA-GC|的最大值時(shí)點(diǎn)G的坐標(biāo)，當(dāng)C，A，G三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，可通過求直線CA的解析式，求出點(diǎn)G.

二、三角形面積最值問題

例如圖①，在直角坐標(biāo)系中，直線y=x+3與x軸相交于點(diǎn)A，與y軸相交于點(diǎn)C，點(diǎn)B在x軸的正半軸上，且AB=4，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A，B，C.

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖②，在直線AC上方的拋物線上，存在一點(diǎn)P（不與D重合），使△ACP的面積等于△ACD的面積.請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

（3）如圖②，在直線AC上方的拋物線上，是否存在一點(diǎn)M，使△MAC的面積最大？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

分析：

（1）略

（2）要求點(diǎn)P的坐標(biāo)，先確定點(diǎn)P的位置，由于△ACD與△ACP的共邊AC，則只要等高，面積即相等，可過點(diǎn)D作AC的平行線與拋物線相交，交點(diǎn)即為所求點(diǎn).

（3）要使△MAC面積最大，可先把△MAC的面積用含字母的式子表示出來，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)討論其最值.

三、等腰三角形的存在性問題

例如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點(diǎn)為A（1，0），B（4，0），與y軸的交點(diǎn)為C（0，3）.

（1）求拋物線的解析式及其對(duì)稱軸；

（2）連接BC，線段BC上是否存在點(diǎn)M，使△COM是等腰三角形，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

分析：

（1）略

（2）未明確說明等腰三角形的腰和底，故要分類討論：①OM=OC；②MC=OC；③CM=OM，三種情況討論。

四、直角三角形的存在性問題

例已知：拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（-2，0），B（4，0）和點(diǎn)C（3，4）.

（1）求拋物線的解析式和直線AC的解析式；

（2）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)Q，使△QAC為直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

分析：

（1）略

（2）要使△QAC為直角三角形時(shí)的點(diǎn)Q的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)之間的距離公式分別求出AC，QA，QC長(zhǎng)的平方，故要分類討論：①當(dāng)A為直角頂點(diǎn)的直角邊；②當(dāng)C為直角頂點(diǎn)的直角邊；③當(dāng)AC為斜邊，三種情況討論。

五、相似三角形的存在性問題

例如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=kx+1與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，過點(diǎn)C的拋物線y=ax2-2x+b與直線AC交于點(diǎn)B（3，2），

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與BC相交于點(diǎn)Q，點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P不與點(diǎn)Q重合，是否存在點(diǎn)P，使得以P、B、Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

分析：

（1）略

（2）由已知條件可知△AOC是直角三角形，所以△BPQ一定也是直角三角形，故點(diǎn)P一定在點(diǎn)Q的上方.在△AOC和△BPQ中，∠ACO=∠BQP，所以只需要在△BPQ中確定一個(gè)直角即可.分兩種情況考慮：①當(dāng)∠BPQ=90°時(shí)；②當(dāng)∠QBP=90°時(shí)，再分別求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

六、特殊四邊形的存在性問題

例如圖，拋物線經(jīng)過A（-5，0），B（-1，0），C（0，5）三點(diǎn)，頂點(diǎn)為M，連接AC，拋物線的對(duì)稱軸為l，l與x軸交點(diǎn)為D，與AC交點(diǎn)為E，

（1）求此拋物線的解析式；

（2）設(shè)點(diǎn)N是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)S是x軸上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)N，使得以A，E，N，S為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）設(shè)點(diǎn)G是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，點(diǎn)K是平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)G，使得以A，C，G，K 為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，若存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（4）設(shè)點(diǎn)Q是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)R是平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在四邊形AQCR是菱形，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

分析：

（1）略

（2）分NS為平行四邊形的邊和NS為平行四邊形的對(duì)角線兩種情況討論.結(jié)合圖形，由平行四邊形性質(zhì)得到△SNT≌△AED，從而得到NT=ED=2，即可得到點(diǎn)N的坐標(biāo).

（3）先分析得出只需△ACG是直角三角形即可，然后利用勾股定理列方程求解.，

（4）由四邊形AQCR是菱形可確定AC是對(duì)角線，結(jié)合OC=OA.過點(diǎn)O作OI⊥AC，且OI平分AC，從而可得點(diǎn)Q在OI上.只需求出OI所在直線的解析式，與拋物線聯(lián)立方程組得點(diǎn)Q的橫坐標(biāo).

二次函數(shù)屬于中考?jí)狠S題，中考知識(shí)點(diǎn)繁多，考點(diǎn)靈活多變，而且難度較高，這就要求學(xué)生在復(fù)習(xí)二次函數(shù)時(shí)，必須把相關(guān)性質(zhì)及相關(guān)解題技巧掌握扎實(shí)，理解透徹，把握好中考二次函數(shù)命題方向，這樣學(xué)生就能事半功倍，拿到更高的分?jǐn)?shù)。

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（作者單位：貴州省貞豐縣第二中學(xué)）