宋文靜 謝榮鵬

摘 要：本文首先確定各鋼廠到各管道節(jié)點(diǎn)的最低運(yùn)費(fèi)線路及相應(yīng)的最低運(yùn)價(jià)，結(jié)合各鋼廠的鋼管銷售價(jià)格，就可得到各鋼廠到各管道節(jié)點(diǎn)的單位購(gòu)運(yùn)成本（銷價(jià)+最低單位運(yùn)價(jià)）。然后以總費(fèi)用最小為目標(biāo)，建立規(guī)劃模型，確定管道的訂購(gòu)廠家，管道的訂購(gòu)量，管道的運(yùn)送節(jié)點(diǎn)選擇以及鋪設(shè)每條管道線路從其兩端的供給方案。模型的創(chuàng)新之處在于，通過(guò)引入無(wú)窮，將全部39個(gè)節(jié)點(diǎn)都考慮進(jìn)了鐵路運(yùn)輸網(wǎng)以及公路運(yùn)輸網(wǎng)之中，使得模型有更廣泛的適用性。結(jié)論是：?jiǎn)栴}一的最小費(fèi)用為1282923萬(wàn)元;問(wèn)題二中，鋼廠6的鋼管銷價(jià)變化對(duì)購(gòu)運(yùn)計(jì)劃和總費(fèi)用影響最大，而鋼廠1的鋼管產(chǎn)量上限變化對(duì)購(gòu)運(yùn)計(jì)劃及總費(fèi)用的影響最大;問(wèn)題三的最小費(fèi)用為1413446萬(wàn)元。

關(guān)鍵詞：鋼管購(gòu)運(yùn);最短路徑;線性規(guī)劃;決策

一、基本假設(shè)

（1）假設(shè)鋼管在運(yùn)輸和施工過(guò)程中沒(méi)有損耗，即鋼管的總需求量不會(huì)變化;（2）假設(shè)各廠生產(chǎn)的鋼管是無(wú)差異的，即只有價(jià)格能影響購(gòu)運(yùn)方案;（3）假設(shè)鋼管是無(wú)限可分的;（4）假設(shè)鐵路貨運(yùn)對(duì)每次運(yùn)貨量沒(méi)有下限要求;

二、問(wèn)題分析

1. 問(wèn)題一

問(wèn)題核心在于最小花費(fèi)，該花費(fèi)由三部分組成：鋼材的出廠價(jià)格、鋼材在鐵路節(jié)點(diǎn)和公路節(jié)點(diǎn)間的運(yùn)輸費(fèi)、管道建設(shè)過(guò)程的運(yùn)輸費(fèi)。即：

總花費(fèi)S=鋼材的出廠價(jià)格+鋼材在鐵路節(jié)點(diǎn)和公路節(jié)點(diǎn)間的運(yùn)輸費(fèi)+管道建設(shè)過(guò)程的運(yùn)輸費(fèi)

花費(fèi)一：鋼材的出廠價(jià)格

鋼材的總購(gòu)買花費(fèi)=∑（鋼廠單位鋼材的價(jià)格*在該鋼廠的采購(gòu)量）

花費(fèi)二：鋼材在鐵路節(jié)點(diǎn)和公路節(jié)點(diǎn)間的運(yùn)輸費(fèi)

考慮到鋼材經(jīng)過(guò)管道節(jié)點(diǎn)的必須性以及鋼材間的無(wú)差異性，先求單位鋼材從鋼鐵廠Si到Aj的最小花費(fèi)Vij。由于全部鋼材只經(jīng)過(guò)單次的鐵路運(yùn)輸和單次的公路運(yùn)輸，對(duì)于這一花費(fèi)可以劃分為公路鐵路兩部分。

在鐵路運(yùn)輸網(wǎng)中運(yùn)用floyd算法，可求得任意兩點(diǎn)間鐵路運(yùn)輸最小花費(fèi)Hxy。

在公路運(yùn)輸網(wǎng)中也運(yùn)用floyd算法，可求得任意兩點(diǎn)間公路運(yùn)輸最小花費(fèi)Txy。

最后，運(yùn)用枚舉算法。枚舉鐵路公路運(yùn)輸運(yùn)輸中轉(zhuǎn)點(diǎn)Z。

Vij=min（Hxz+Tzy），z=1..39，i=x，j=y

節(jié)點(diǎn)間的運(yùn)輸費(fèi)=∑（鋼材從Si到Vj的總量*單位鋼材的最小花費(fèi)Vij）

花費(fèi)三：管道建設(shè)過(guò)程的運(yùn)輸費(fèi)

由于實(shí)際情況較為復(fù)雜，考慮理想條件下，運(yùn)輸和建設(shè)同時(shí)進(jìn)行，對(duì)這一過(guò)程做積分處理可得：

管道建設(shè)過(guò)程的總運(yùn)輸費(fèi)=0.5*單位鋼材公路運(yùn)輸價(jià)格*（∑一點(diǎn)的鋼材左運(yùn)輸量的平方）+∑一點(diǎn)的鋼材右運(yùn)輸量的平方）

此時(shí)該問(wèn)題轉(zhuǎn)化為量化的非線性規(guī)劃問(wèn)題。目標(biāo)為最小總花費(fèi)，限制條件為鋼鐵廠產(chǎn)量的上下限以及管道鋪設(shè)長(zhǎng)度要求，對(duì)于每個(gè)管道節(jié)點(diǎn)考慮其向左運(yùn)輸與向右運(yùn)輸。

min C

s.t. 500k≦≦Mik，k=0或1

RightAj1+LeftAj2= BAj1，Aj2

RightAj+LeftAj=

2.問(wèn)題二

通過(guò)引入對(duì)偶價(jià)格，來(lái)研究各廠鋼鐵價(jià)格對(duì)總花費(fèi)影響。分析當(dāng)資源增加一個(gè)數(shù)量而得到目標(biāo)函數(shù)新的最小值時(shí)，目標(biāo)函數(shù)最小值的增量與資源的增量的比值的相反數(shù)，就是目標(biāo)函數(shù)對(duì)約束條件（即資源）的一階偏導(dǎo)數(shù)。

3.問(wèn)題三

考慮到是一個(gè)樹(shù)狀圖的問(wèn)題，因此引入根節(jié)點(diǎn)與子節(jié)點(diǎn)的概念，即每個(gè)管道節(jié)點(diǎn)與多個(gè)節(jié)點(diǎn)由計(jì)劃管道相連。相較于問(wèn)題一，在求解過(guò)程中，增加了非線性規(guī)劃的條件與變量，在價(jià)格的計(jì)算上要考慮每個(gè)管道節(jié)點(diǎn)的多個(gè)方向。

在問(wèn)題三中，管道圖為二叉樹(shù)，所以暫時(shí)只考慮每個(gè)管道節(jié)點(diǎn)與左節(jié)點(diǎn)，右節(jié)點(diǎn)和根節(jié)點(diǎn)之間的交互。

三、模型的建立與求解

1. 問(wèn)題一

先對(duì)題給道路圖進(jìn)行量化處理，記錄點(diǎn)的編號(hào)后，再將公路信息建立鄰接矩陣計(jì)算從某一工廠到某一管道節(jié)點(diǎn)的最小花費(fèi)，包括訂購(gòu)費(fèi)和運(yùn)輸費(fèi)兩部分，在matlab運(yùn)行得到花費(fèi)矩陣。

將計(jì)算從一工廠到一管道節(jié)點(diǎn)的最小花費(fèi)數(shù)據(jù)導(dǎo)入lingo（question1.lg4），運(yùn)行非線性規(guī)劃求解程序得到花費(fèi)為1282923。

2. 問(wèn)題二

研究銷售價(jià)格變化的影響：

如果價(jià)格增加1%，花費(fèi)的增量分別為1280、1240、1550、0、1412.824、2489.25、0.

可知，6廠價(jià)格變化對(duì)開(kāi)銷影響較大;

3.問(wèn)題三

以鄰接矩陣形式來(lái)數(shù)字化，由于相較于問(wèn)題一，只有公路道路的增加，這里只給出增加的公路網(wǎng)絡(luò)。

計(jì)算從某一工廠到某一管道節(jié)點(diǎn)的最小花費(fèi)，包括訂購(gòu)費(fèi)和運(yùn)輸費(fèi)兩部分，matl運(yùn)行question得到花費(fèi)矩陣

將計(jì)算從某一工廠到某一管道節(jié)點(diǎn)的最小花費(fèi)數(shù)據(jù)導(dǎo)入lingo，運(yùn)行非線性規(guī)劃求解程序得到花費(fèi)為1413446。

參考文獻(xiàn)：

[1]卓金武. MATLAB在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用[M]. 北京航空航天大學(xué)出版社， 2011.

[2] 楊桂元， 朱家明. 數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽優(yōu)秀論文評(píng)析[M]. 中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社， 2013.