王紹山

摘 要：反證法是解決科學領域中各種問題的重要方法之一，在數(shù)學應用中也起到重要作用。反證法的提出拓寬了數(shù)學問題的思維，在數(shù)論，幾何，函數(shù)數(shù)學領域中，往往無法通過的常規(guī)方法去解決。本文從反證法在數(shù)學中幾何、代數(shù)、函數(shù)三方面的應用出發(fā)，對反證法在某些問題的證明上相較于直接證明的優(yōu)勢進行分析，得出了反證法可以運用于眾多的數(shù)學問題，且獲得了廣泛的應用。

關鍵詞：反證法;數(shù)學應用;優(yōu)勢

解決數(shù)學問題的方法有很多，常規(guī)的數(shù)學方法有直接證法和間接證法，反證法是一種間接證法。牛頓曾經(jīng)說過：”反證法是數(shù)學家最精當?shù)奈淦髦弧保醋C法的提出解決了許多重要的數(shù)學問題。某些具體命題難以或無法直接證明時，反證法往往能大展身手，憑借其簡潔性和易于理解的特點受到人們的青睞。

反證法早在古希臘時期就已經(jīng)大展身手，如歐幾里得對質(zhì)數(shù)有無窮個的證明;在我國古代的傳統(tǒng)數(shù)學理論中，當然也用到了常見的歸謬法，劉徽也受到了這些影響，并在文章中多次用到了歸謬論證的方法。但是應該指出精確的反證法用法很鳳毛麟角，這和西方的反證法有著很大的區(qū)別^[1]。因此我們現(xiàn)在更應該意識到反證法自身的獨特優(yōu)勢，并且重視反證法在數(shù)學學習中的應用，從而彌補中國數(shù)學在理論研究方面發(fā)展的不足。

在數(shù)學領域中，產(chǎn)生了許多重要的證明方法。數(shù)形結合法將實際問題中的數(shù)量關系轉(zhuǎn)化為圖形，或者將圖形準化為數(shù)量關系，將抽象的思維結構轉(zhuǎn)化為具體的數(shù)量關系，可以更加簡單明了的去理解問題。數(shù)學歸納法是一種很獨特的證明方法，其遞推的思想再數(shù)學領域中也取得了重要的作用，尤其是在解決一些數(shù)列問題時，使用數(shù)學歸納法法會變得更加簡單。但是在數(shù)學問題中，僅僅使用這兩種方法是不夠的，反證法幾乎可以解決數(shù)學問題中的所有問題。本文通過列舉了一些典型問題，體現(xiàn)出反證法具有很強的普適性。

1方法

1.1反證法的定理以及基本原理

反證法是一種間接證明方法，又被稱為背理法。一般的，由證明p到q轉(zhuǎn)向證明由非P推得的T某個真命題矛盾，從而判定非P為假，P為真的方法，叫做反證法。反證法的基本原理是排中律（即互斥命題必有一真一假）和矛盾律（即同一命題不能既真又假）。

1.2反證法操作流程

1、分清命題的結論與條件;2、做出與命題結論相矛盾的假設;3、由假設出發(fā)，應用演繹推理方法，推出矛盾的結果（既可以與假設矛盾，也可以與已被證明的數(shù)學公理、公式、定義或已被證明了的結論矛盾，也可以與公認事實產(chǎn)生矛盾）;4、找出嗎矛盾產(chǎn)生的點，是在開始所做的假設不真，所以原命題的結論成立，進而間接地證明出命題為真^[2]。

2反證法的實際應用

2.1反證法在數(shù)學幾何問題中的應用

在集合問題中，通過常規(guī)的方法往往無法證明出問題所在。在非等腰三角形中，任意一邊的中垂線與該邊所對的角的角平分線不交于三角形內(nèi).

分析：假定在非等腰三角形△中的角平分線與BC的中垂線交于△ABC內(nèi)D點（如圖一），則過D點作DF垂直AC于F，DE垂直AB與E，連接DC、DF（如圖二）。因為DF垂直于AC，DE垂直于AD為∠A角平分線，因此DF=DE;又因為DF=DE，AD=AD，∠AFD=∠AED=90°，因此△AFD≌△AED（HL），

AF=AE;又因為D為中垂線上一點，所以DC=DB;又因為DC=DB，DF=DE，∠DFC=∠DEB=90?

所以△DFC≌△DEB（HL），F(xiàn)C=BE，AC=AF+FC=AE+EB=AB。這表明△ABC是等腰三角形，于題設非等腰三角形ABC相矛盾，所以假設不成立，故非等腰三角形一邊上的中垂線必定不與該邊所對角的角平分線交于三角形內(nèi)一點。

2.2反證法在極限問題中的應用

反證法在極限問題中也有重要作用，對于函數(shù)極限唯一性的問題，運用反證法可以更加形象的分析問題。假設存在a、b兩個數(shù)都是函數(shù)f（x）當x→x0的極限，且a0（要注意，這個ε是對a、b都成立）?？偞嬖谝粋€δ1>0，當0<|x-x|<δ1時，使得|f（x）-a|<ε成立?？偞嬖谝粋€δ2>0，當0<|x-x|<δ2時，使得|f（x）-b|<ε成立。上面的不等式可以等價變換為a-ε

2.3反證法在函數(shù)問題中的應用

已知x∈R，且f（x+k）=f（k-x）讓我們證明若f（x）奇數(shù)個零點，則f（k）=0。接下來開始分析，假設f（k）≠0，當x>k時，有x1、x2......xnn個零點，則當x

2.4反證法的優(yōu)勢

由上述吻戲的問題可知，反證法有如下優(yōu)勢：1、在直接證明情況多且復雜時可以避開繁瑣的討論;2、證明集合的元素有無限多時，可以假定有限，從而將命題轉(zhuǎn)換為證明在除有限個元素外還有新的元素的問題，從而證明集合內(nèi)元素無限多;3、證明否定命題時，可以直接假設命題成立推導證明該命題不成立從而證明否定命題成立;4、證明直接建立在數(shù)學公理上的命題，其否定命題往往與公理沖突，因此容易證明其否命題不成立，從而用反證法容易證明原命題成立。

結語

總之，反證法作為一種重要的間接證明的方法，在直接證明無法進行時可以作為我們的一個強有力的工具。因此其在數(shù)學研究的作用自然是不容小覷。另外，在一些復雜命題的證明上，反證法可以從原命題的反面入手，從而大大減少證明原命題的工作量，體現(xiàn)數(shù)學的簡潔之美。而且反證法不只是一種證明方法，更是一種逆向思維的代表，因此，我們對于反證法進行研究與應用，對于于我們在數(shù)學上的理解與研究和數(shù)學學科素養(yǎng)的培養(yǎng)都將大有裨益。

參考文獻：

[1]段耀勇，楊朝明.反證法的歷史沿革[J].武警學院學報，2003，19（4）：86-88.

[2]李丹丹.反證法在中學數(shù)學中的應用[J].哈爾濱職業(yè)技術學院學報，2013（2）：93-94.