王憲菊，陳 韜，黃修道，胡錦靜

（阜陽(yáng)師范大學(xué)物理與電子工程學(xué)院，安徽阜陽(yáng)236037）

板球系統(tǒng)是一個(gè)非線性、多變量、復(fù)雜的控制系統(tǒng)[1-9]。簡(jiǎn)單定義即通過(guò)不斷調(diào)整平板的角度來(lái)達(dá)到控制小球在平板上的位置和軌跡跟蹤目的的機(jī)械系統(tǒng)[2，4-5]。板球系統(tǒng)作為控制理論實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，主要用于驗(yàn)證各種控制算法的優(yōu)劣[6-10]，本文也是基于此首先完成板球控制系統(tǒng)的機(jī)械結(jié)構(gòu)和控制電路設(shè)計(jì)，然后通過(guò)理論分析和數(shù)學(xué)建模得到系統(tǒng)的狀態(tài)方程，進(jìn)而對(duì)狀態(tài)方程進(jìn)行計(jì)算和處理得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。根據(jù)分析結(jié)論可知，X軸和Y軸相互獨(dú)立，因此，對(duì)X和Y軸分別設(shè)計(jì)了PID控制器。

1 板球系統(tǒng)的數(shù)學(xué)建模及定性分析

基于電阻屏的板球系統(tǒng)機(jī)械結(jié)構(gòu)如圖1所示，由電阻觸摸屏、托盤(pán)、小球、舵機(jī)、支架、連桿和控制電路組成，控制器采用STM 32系列單片機(jī)。首先，在觸摸屏上建立直角坐標(biāo)系，通過(guò)采集電阻屏輸出電壓值計(jì)算小球的實(shí)際坐標(biāo)位置；然后，把實(shí)際坐標(biāo)數(shù)據(jù)與設(shè)定位置數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，運(yùn)用PID算法得出控制舵機(jī)角度的PWM控制量；最后，控制器發(fā)送給舵機(jī)，舵機(jī)帶動(dòng)連桿轉(zhuǎn)動(dòng)，從而控制小球的位置和運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

參照板球系統(tǒng)機(jī)械圖，以觸摸屏為二維平面，平面左下角設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立x,y兩個(gè)方向的直角坐標(biāo)系；以電阻屏中心點(diǎn)（133，100）為支撐點(diǎn)，在電阻屏相鄰的兩個(gè)邊下方安裝舵機(jī)，實(shí)現(xiàn)平板x、y軸方向轉(zhuǎn)動(dòng)。板球系統(tǒng)的機(jī)械動(dòng)力學(xué)模型如圖2所示。

圖1 基于電阻屏的板球控制系統(tǒng)機(jī)械結(jié)構(gòu)圖

圖2 板球系統(tǒng)機(jī)械動(dòng)力學(xué)模型

利用牛頓定律和拉格朗日方程,對(duì)以上模型進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，計(jì)算得出以下?tīng)顟B(tài)方程：

式中各物理參數(shù)如表1所示。若選取平板的傾角α、β為控制量，由于力矩不會(huì)影響舵機(jī)的位置，所以方程（3）、（4）可以忽略。在平衡狀態(tài)下，平板處于水平位置，即α=0，β=0，因?yàn)槠桨宓霓D(zhuǎn)動(dòng)角度不大，大約在±0.1 rad范圍之內(nèi)，所以正弦函數(shù)可以用角度代替，即sinα≈α，sinβ≈β。

表1 板球系統(tǒng)物理參數(shù)

由此可知系統(tǒng)可控，且x軸和y軸的控制相互獨(dú)立，可以針對(duì)x軸和y軸分別設(shè)計(jì)控制器，傳遞函數(shù)的表達(dá)式均為。

2 系統(tǒng)控制方案

由于板球系統(tǒng)是一個(gè)欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)[3]，對(duì)實(shí)時(shí)性要求較高，而積分調(diào)節(jié)會(huì)降低系統(tǒng)穩(wěn)定性，使動(dòng)態(tài)響應(yīng)變慢，因此本系統(tǒng)采用位置式PD算法控制舵機(jī)的角度和速度。控制方案如圖3所示。

圖3 系統(tǒng)控制方案

系統(tǒng)完成初始化后，電阻觸摸屏定時(shí)采集小球的位置坐標(biāo)(x,y)，與目標(biāo)坐標(biāo)(xd,yd)進(jìn)行比較，得差值由系統(tǒng)的狀態(tài)方程（5）可知，x軸和y軸相互獨(dú)立，可分別對(duì)其設(shè)計(jì)PD控制器。PD表達(dá)式為

其中，e(k)代表本次偏差；e(k-1)代表上一次的偏差；pwm(k)代表本次輸出的舵機(jī)角度控制量；PD控制器輸出控制量給舵機(jī)，舵機(jī)帶動(dòng)連桿轉(zhuǎn)動(dòng)，使平板發(fā)生相應(yīng)角度的傾斜，控制小球動(dòng)態(tài)的穩(wěn)定在目標(biāo)點(diǎn)或沿規(guī)劃軌跡運(yùn)動(dòng)。

3 控制實(shí)驗(yàn)分析及參數(shù)整定

按照?qǐng)D3所示的控制方案設(shè)計(jì)板球系統(tǒng)的控制算法，設(shè)平板左下角為坐標(biāo)原點(diǎn)，測(cè)得中心點(diǎn)（支撐點(diǎn)）的坐標(biāo)值為(133,100)，板球系統(tǒng)的物理參數(shù)：小球質(zhì)量m=250 g，小球半徑rb=20mm，平板長(zhǎng)度L=266 mm，平板寬度d=200mm。

參照系統(tǒng)狀態(tài)方程（5），由于A為已知，可選擇控制u來(lái)消除系統(tǒng)非線性，然后根據(jù)線性控制原理來(lái)選擇Kp和Kd，具體實(shí)現(xiàn)方法為使多項(xiàng)式s2+Kds+Kp所有根都落在復(fù)平面左上象限，即需要下面方程的根為負(fù)值

可設(shè)方程的兩個(gè)根均為-λ，有(s+ λ)2=0，即s2+2λs+ λ2=0，則可設(shè)計(jì)Kd=2λ,Kp= λ2。改變?chǔ)酥?，通過(guò)實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)λ＝8時(shí)中心點(diǎn)定位比較準(zhǔn)確，如圖4所示，x軸跟蹤曲線穩(wěn)定后的平均誤差為0.5mm，y軸跟蹤曲線穩(wěn)定后的平均誤差為1.5mm；λ＝9時(shí)圓軌跡曲線較理想，如圖5所示，平均偏離誤差為1 mm。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)小球定位及軌跡跟蹤開(kāi)展實(shí)驗(yàn)研究，采用電阻觸摸屏實(shí)時(shí)反饋小球位置信息，利用PD算法實(shí)現(xiàn)小球定位及圓軌跡跟蹤，以線性控制理論為依據(jù)，通過(guò)改變單一λ值完成對(duì)PD參數(shù)的整定，縮短了參數(shù)匹配的時(shí)間。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本系統(tǒng)控制精度較高，控制時(shí)間較短，達(dá)到了控制要求。證明本系統(tǒng)控制方法簡(jiǎn)單可行，切實(shí)有效。

圖4 中心點(diǎn)定位（λ=8）。（a）x軸跟蹤曲線；（b）y軸跟蹤曲線

圖5 圓形軌跡跟蹤控制（λ=9）