☉黑龍江省大慶市大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué) 陳永志

向量作為8個(gè)C級(jí)要求之一向來(lái)是區(qū)分考生能力的中堅(jiān)擔(dān)當(dāng)，不出意外的是，在2019年的江蘇高考中，向量問題出現(xiàn)在了第12題的位置，這是一個(gè)典型中檔偏難題的位置.出現(xiàn)在這個(gè)位置的問題不僅需要學(xué)生掌握局部章節(jié)的知識(shí)，還需要學(xué)生能夠?qū)⑶昂蟮闹R(shí)點(diǎn)聯(lián)系起來(lái)進(jìn)行綜合性解決.如下，我們將從幾個(gè)不同的方向來(lái)剖析本題，并對(duì)其背后的知識(shí)點(diǎn)與考查意圖作一個(gè)簡(jiǎn)要的說(shuō)明.

（2019年江蘇卷第12題）如圖1，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊AB上，BE=2EA，AD與CE交于O點(diǎn)則的值是______.

圖1

破題：縱觀題設(shè)不難發(fā)現(xiàn)圖中共存在六個(gè)點(diǎn)，其中A、B、C、D、E五點(diǎn)的相對(duì)位置，因題中的比例關(guān)系而顯得相對(duì)確定，所以本題的關(guān)鍵在于確定O點(diǎn)與其他幾點(diǎn)的相對(duì)位置.

解析（1）：以等分點(diǎn)為基礎(chǔ)，構(gòu)造平行線，利用平行線分線段成比例

圖2

解題反思：平行線分線段成比例是初中幾何課程中的重要知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)在高中數(shù)學(xué)解題的日常中也有較多的應(yīng)用.這種方法的核心在于能夠作出相關(guān)輔助線（亦可過D作EC的平行線）.這是用初中知識(shí)解決高中問題的典型代表，雖然這可能不是命題人出題的原意，但作為數(shù)學(xué)課程中的基礎(chǔ)性知識(shí)，學(xué)生應(yīng)當(dāng)能夠在不同的情境中將其靈活運(yùn)用.

解析（2）：借助向量共線定理及推論，確定AO與AD的比例關(guān)系

引例如圖3，A、B、C三點(diǎn)共線，O為線外一點(diǎn)，則

圖3

引例解析：不妨設(shè)AB=x，BC=y，則由向量共線定理可知，則λ+μ=1.

解題反思：向量共線定理及其推論是高中向量章節(jié)的重點(diǎn)內(nèi)容，它和向量的基本定理、向量數(shù)量積的表示是各種類型考試中重點(diǎn)關(guān)注的對(duì)象.今年高考試卷對(duì)共線定理進(jìn)行考查也在情理之中，翻開前幾年的高考江蘇卷，不難發(fā)現(xiàn)，作為中檔題出現(xiàn)的向量問題幾乎清一色的是關(guān)于向量數(shù)量積的內(nèi)容.因此，從向量共線的角度考慮本題或許正是命題人的根本意圖.

解析（3）：借助平面直角坐標(biāo)系，將點(diǎn)坐標(biāo)化

圖4

以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC為x軸，建立如圖4所示的坐標(biāo)系，不妨設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n），E為AB三等分點(diǎn)，則E點(diǎn)坐標(biāo)為設(shè)BC=2，則D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），C點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），則直線AD的方程可表示為，直線EC的方程可表示為，將兩者聯(lián)立解得O點(diǎn)坐標(biāo)為.故填答案：.

解題反思：要求兩條線段的長(zhǎng)度之比，一個(gè)直接的想法是將其表示出來(lái)，那么將三角形置于直角坐標(biāo)系中是必然的方向，設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)，固定BC長(zhǎng)度，將E、O兩點(diǎn)及AB、AC兩線段用A點(diǎn)坐標(biāo)表示，根據(jù)題設(shè)等量關(guān)系尋找A點(diǎn)坐標(biāo)兩未知量的關(guān)系，利用代入消元法，將待求比例轉(zhuǎn)化成關(guān)于m的表達(dá)式整體約分得解.當(dāng)然解析中所用建系是比較一般的建系，我們還可在不改變題意的前提下，將問題特殊化，進(jìn)行特殊化建系，例如，不妨設(shè)AB⊥EC，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EC、AB分別為x軸，y軸建立直角坐標(biāo)系，計(jì)算將會(huì)更加簡(jiǎn)練.當(dāng)然將問題特殊化有一個(gè)重要前提即特殊化后的問題情境必須符合原問題，有一個(gè)簡(jiǎn)單的檢驗(yàn)方法是特殊化后的計(jì)算過程不能與原問題情境相沖突或與特殊化的條件相沖突.

解析（4）：以熱點(diǎn)解法極化恒等式為橋梁，并結(jié)合解三角形知識(shí)進(jìn)行破題

圖5

過E作EF平行于AD，過D作DG平行于EC，由解法（1）易知點(diǎn)O為AD的中點(diǎn)，為EC四等分點(diǎn).取DC中點(diǎn)M并連接OM，由極化恒等式可知，由比例關(guān)系知再用一次極化恒等式得，兩者相等得AD為三角形ABC中BC邊的中線，由必修5第16頁(yè)例6的中線定理可知代入上式可得AB2=3AC2，即故填答案：.

解題反思：在平時(shí)的教學(xué)中我們不斷給學(xué)生建立這樣一種意識(shí)，在向量數(shù)量積問題中凡是涉及中點(diǎn)問題的問題不妨考慮用極化恒等式.雖然本題不是典型的向量數(shù)量積問題，但題設(shè)中有數(shù)量積，又有中點(diǎn)，還有線段之間的比例關(guān)系（這點(diǎn)與2016年13題相似），可以考慮從極化恒等式角度對(duì)已知等量關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化.與2016年13題利用極化恒等式與線段比例關(guān)系可直接求解不同，本題在此基礎(chǔ)上還需要借助解三角形中的中線定理實(shí)現(xiàn)三個(gè)量關(guān)系到兩個(gè)量關(guān)系的轉(zhuǎn)變.當(dāng)然中線定理在高考說(shuō)明中現(xiàn)已不做要求，在平時(shí)的授課中也僅以例題的形式出現(xiàn)，不屬于必需掌握的范圍，顯然，這對(duì)于基礎(chǔ)好的學(xué)生可以挑戰(zhàn)，而針對(duì)一般學(xué)生而言建系或利用基底進(jìn)行解決才是正途.