☉福建省泉州第五中學(xué) 黃種生

數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是指學(xué)生在自己的頭腦中建立的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，它是學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是教師教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)和目的.教師講解的知識(shí)，只有被學(xué)生消化吸收，轉(zhuǎn)化為學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，教學(xué)才是有效的，轉(zhuǎn)化得越多，教學(xué)越高效.因此，數(shù)學(xué)教學(xué)如果能堅(jiān)持以學(xué)生為主體，關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知特征，針對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況進(jìn)行，就能收到好的效果，做到高效教學(xué).2019年全國(guó)卷Ⅰ理科數(shù)學(xué)20題的解法，讓筆者想起一道導(dǎo)數(shù)壓軸題的教學(xué)處理，現(xiàn)以它為例加以說(shuō)明.

題目已知函數(shù)f（x）=aex+xlnx+1.

這是福建省泉州市2019年畢業(yè)班單科質(zhì)檢理科數(shù)學(xué)第21題，本文對(duì)第（2）問(wèn)的解法及教學(xué)處理進(jìn)行分析與思考.

解法一：（利用“隱性零點(diǎn)”帶參數(shù)分類討論法）

且f（1）=0，所以f（x）只有一個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)a＞-1 e時(shí)，f′（x）=aex+lnx+1，令g（x）=f′（x）.

①當(dāng)a≥0時(shí)，g′（x）＞0，g（x）=f ′（x）在（0，+∞）上遞增，且x→0時(shí)，f′（x）→-∞，f′（1）=ae+1＞0，所以存在x0∈（0，1），使得f′（x0）=0，

且x∈（0，x0）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；x∈（x0，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增.所以f（x）有最小值f（x0）=aex0+x0lnx0+1.

由f′（x0）=0得，aex0=-lnx0-1，所以f（x0）=（x0-1）lnx0＞0.

所以f（x）沒(méi)有零點(diǎn).

且x→+∞時(shí)，g′（x）→-∞，所以存在x0＞1，使得g′（x0）=0，如圖1，且x∈（0，x0）時(shí)，g′（x）＞0，g（x）遞增；x∈（x0，+∞）時(shí)，g′（x）<0，g（x）遞減.所以g（x）有最大值g（x0）=aex0+lnx0+1.

圖1

圖2

由g′（x0）=0得.所以.

因?yàn)閤0＞1，所以g（x0）＞0，即f′（x0）＞0.

又因?yàn)閤→0時(shí)，f′（x）→-∞，x→+∞時(shí)，f′（x）→-∞，

所以存在x1，x2，0＜x1＜x0＜x2，使得f′（x1）=f′（x2）=0.

如圖2，x∈（0，x1）時(shí)，f ′（x）＜0，f（x）遞減，x∈（x1，x2）時(shí)，f ′（x）＞0，f（x）遞增，x∈（x2，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減.

所以f（x）有極小值f（x1）=aex1+x1lnx1+1，有極大值f（x2）.

由f′（x1）=0得，aex1+1=-lnx1，所以f（x1）=（x1-1）lnx1＞0.

所以極大值f（x2）＞0.又因?yàn)閤→+∞時(shí)，f（x）→-∞.所以f（x）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)x3.f（x）的圖像如圖3.

圖3

分析：解法一符合學(xué)生的認(rèn)知水平，是常規(guī)解法，學(xué)生容易想到，故大部分學(xué)生采用解法一答題.由于解法中多次用到“隱性零點(diǎn)”，多次利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值、判斷函數(shù)的零點(diǎn)，解法中涉及分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、函數(shù)與方程思想，使得解法一雖然容易想到，但復(fù)雜抽象，運(yùn)算難度大，大部分學(xué)生很難完整地解答出來(lái).需要指出的是，標(biāo)準(zhǔn)答案中沒(méi)有提供解法一，有些教師沒(méi)有想到這種解法，不會(huì)講解解法一；而有些教師雖然想到了這種解法，但認(rèn)為它太難了，講解的效果不好，也不去講解解法一.因此，大部分教師沒(méi)有講解解法一.

而筆者認(rèn)為，教學(xué)要關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知特征，既然大部分學(xué)生都用解法一去解答，又都碰到困難解不出來(lái)，那么教師就不能回避，就必須針對(duì)學(xué)生的實(shí)際困難進(jìn)行講解，只有這樣，才能幫助學(xué)生答疑解惑，才能幫助學(xué)生構(gòu)建更好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu).因此，筆者把它列為解法一，對(duì)它進(jìn)行詳細(xì)講解.針對(duì)解法一中復(fù)雜抽象和運(yùn)算難度大的特點(diǎn)，筆者在講解時(shí)采取了以下措施：

1.畫出上面的三個(gè)圖形，以降低抽象度.

2.在利用“隱性零點(diǎn)”證明g（x0）＞0時(shí)，教師給予講解，在證明f（x1）＞0和f（x2）＞0時(shí)，則引導(dǎo)學(xué)生自己證明，在判斷函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，讓學(xué)生自己判斷，即在難點(diǎn)的教學(xué)上，引導(dǎo)學(xué)生參與.

3.講解完成后，把解法一布置成作業(yè)，讓學(xué)生再次思考與運(yùn)算，把學(xué)習(xí)落到實(shí)處.高考后，我們發(fā)現(xiàn)，解法一的思路和2019年高考全國(guó)卷Ⅰ理科數(shù)學(xué)20題的解題思路類似.

例1（2019年高考全國(guó)卷Ⅰ理科數(shù)學(xué)20題）已知函數(shù)f（x）=sinx-ln（1+x），f′（x）為f（x）的導(dǎo)數(shù).證明：

（2）f（x）有且僅有2個(gè)零點(diǎn).

證明：（1），令g（x）=f″（x），

（2）f（x）的定義域是（-1，+∞），由（1）知，f ′（x）在（-1，x0）上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)閒′（0）=0，所以當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，f ′（x）＜f ′（0）=0；當(dāng)x∈（0，x0）時(shí)，f ′（x）＞f′（0）=0.又因?yàn)?/p>

綜上可得，x∈（-1，0）時(shí)，f′（x）＜0；x∈（0，x1）時(shí)，f′（x）＞0；x∈（x1，π）時(shí)，f′（x）＜0.

所以f（x）在（-1，0）上單調(diào)遞減，在（0，x1）上單調(diào)遞增，在（x1，π）上單調(diào)遞減.又因?yàn)?/p>

綜上所述，f（x）有且僅有2個(gè)零點(diǎn).

思考：這道高考題在利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值、判斷函數(shù)的零點(diǎn)、運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、函數(shù)與方程思想解題等方面與解法一類似，但比解法一簡(jiǎn)單.正是因?yàn)楣P者關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知特征，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的困難不回避，才會(huì)對(duì)解法一進(jìn)行詳細(xì)講解，才會(huì)采取相應(yīng)的措施幫助學(xué)生克服難點(diǎn)，這些做法是有效的，它有利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，有助于學(xué)生做好這道高考題.

解法二：（轉(zhuǎn)化為另一個(gè)較簡(jiǎn)單的函數(shù)）

且f（1）=0，所以f（x）只有一個(gè)零點(diǎn).

①當(dāng)a≥0時(shí)，令g′（x）=0得，x=1.當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）遞減；

當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，g′（x）＞0，g（x）遞增.所以g（x）有最小值g（1）=ae+1＞0.

所以g（x）沒(méi)有零點(diǎn).所以f（x）沒(méi)有零點(diǎn).

且x→+∞時(shí)，g（x）→-∞，所以g（x）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，所以f（x）有且僅有一個(gè)零點(diǎn).

分析：解法二是試卷提供的標(biāo)準(zhǔn)答案，令g（x）=，則f（x）與g（x）有相同的零點(diǎn)，對(duì)于這點(diǎn)，學(xué)生很容易理解.由于的零點(diǎn)很容易分析，以后的分類討論就簡(jiǎn)單自然，運(yùn)算量也不大，因此許多教師認(rèn)為解法二簡(jiǎn)單，直接按答案講解，沒(méi)有進(jìn)行深入的探究.

解法二的關(guān)鍵是把f（x）除以x得到g（x），這種解法是把對(duì)一個(gè)函數(shù)某種性質(zhì)的研究等價(jià)轉(zhuǎn)化為對(duì)另一個(gè)較簡(jiǎn)單函數(shù)的研究，我們把這種方法簡(jiǎn)稱為“轉(zhuǎn)化為另一個(gè)較簡(jiǎn)單的函數(shù)”.許多學(xué)生沒(méi)有這種轉(zhuǎn)化的意識(shí)，有的學(xué)生即使有這種意識(shí)，但不知道如何轉(zhuǎn)化？朝哪個(gè)方向轉(zhuǎn)化？于是，怎么想到把f（x）除以x得到g（x），就成為解法二的難點(diǎn)，幾乎難倒了所有學(xué)生，試卷中很少有學(xué)生使用解法二作答.針對(duì)這個(gè)特點(diǎn)，在講解完解法二后，筆者并沒(méi)有就此結(jié)束，而是作了如下的拓展.

例2（2010年課標(biāo)全國(guó)卷文科數(shù)學(xué)21題）設(shè)函數(shù)f（x）=x（ex-1）-ax2.

（2）若當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥0，求a的取值范圍.

分析：（2）當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=0.當(dāng)x＞0時(shí)，令g（x）==ex-1-ax，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）＞0，就簡(jiǎn)單多了.

例3（2011年課標(biāo)全國(guó)卷理科數(shù)學(xué)21題）已知函數(shù)，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為x+2y-3=0.

（1）求a，b的值；

分析：

例4（2011年課標(biāo)全國(guó)卷文科數(shù)學(xué)21題）已知函數(shù)，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為x+2y-3=0.

（1）求a，b的值；

分析：

綜上，只有關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，以學(xué)生為主體，在講解這一題目時(shí)，我們才不會(huì)簡(jiǎn)單地一帶而過(guò).正是關(guān)注到學(xué)生“會(huì)想到但做不出來(lái)”的情況，我們才會(huì)講解解法一，并采取一些方法，降低題目的抽象度，分散題目的難度，把思考與運(yùn)算落到實(shí)處，讓學(xué)生具備解決2019年全國(guó)卷Ⅰ理科數(shù)學(xué)20題的能力；正是基于學(xué)生“不會(huì)想”的問(wèn)題，我們才對(duì)解法二進(jìn)行拓展，幫助學(xué)生樹立“轉(zhuǎn)化為另一個(gè)較簡(jiǎn)單的函數(shù)”的解題意識(shí)，幫助學(xué)生解決“怎樣想”和“怎么做”的問(wèn)題.這種立足于學(xué)生的教學(xué)，能幫助學(xué)生構(gòu)建更好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，能提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，能把培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落到實(shí)處.因此，這種教學(xué)是高效的.