(江蘇省啟東中學(xué),江蘇 南通 226200)

在高中力學(xué)教學(xué)中，常常會(huì)出現(xiàn)連接體問題，即兩個(gè)物體通過輕繩、輕桿等進(jìn)行連接，呈現(xiàn)出相互牽連的狀態(tài)。這類運(yùn)動(dòng)形式不同于一般的動(dòng)力學(xué)連接體，運(yùn)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律求解比較復(fù)雜，甚至無法求解，大多數(shù)情況下可以對(duì)連接體的運(yùn)動(dòng)效果進(jìn)行分解，或者從功能角度進(jìn)行求解，數(shù)理基礎(chǔ)較強(qiáng)的學(xué)生還可以嘗試采用微元法進(jìn)行處理。這類問題的解題關(guān)鍵就是準(zhǔn)確找出兩物體間的速度牽連關(guān)系，從整體與微元兩方面尋找問題隱含的數(shù)量關(guān)系。

1 運(yùn)動(dòng)效果分解法

例1：如圖1所示，小車A與物體B通過輕繩連接，繩子穿過一定滑輪。若小車的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為向左做勻速運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)速度為v0。當(dāng)小車運(yùn)動(dòng)到繩子和水平面成θ角時(shí)，物體B上升的速度為多少(忽略滑輪與輕繩之間的摩擦阻力)？

圖1

圖2

在解決運(yùn)動(dòng)的合成與分解問題時(shí)，最重要的步驟就是準(zhǔn)確地判斷問題對(duì)象的合運(yùn)動(dòng)，分析清楚運(yùn)動(dòng)狀態(tài)所表達(dá)的實(shí)際意義，然后借助運(yùn)動(dòng)分解等常規(guī)的力學(xué)方法進(jìn)行計(jì)算。在該系統(tǒng)中，小車A向左運(yùn)動(dòng)的方向就是系統(tǒng)合運(yùn)動(dòng)的速度方向，這一合速度產(chǎn)生了兩個(gè)運(yùn)動(dòng)效果：第一個(gè)效果就是使得物塊B向上抬升，第二個(gè)效果就是使得繩子繞定滑輪順時(shí)針方向擺動(dòng)。

因此，將小車的速度v0分解為沿繩子方向的速度v1與垂直于繩子方向速度的v2(如圖2)，結(jié)合平行四邊形定則可知：物體B的上升速度v1=v0cosθ。

2 微元法

圖3

微元法是一種數(shù)學(xué)方法，在物體的運(yùn)動(dòng)過程中，這種方法能揭示“運(yùn)動(dòng)效果分解”的本質(zhì)，在物理中的運(yùn)用常與三角函數(shù)結(jié)合，是一種常用的解題方法。

3 功能關(guān)系法

例2：如圖4所示，小車A與小車B通過輕繩連接，小車A的運(yùn)行速度vA是5m/s，當(dāng)A端的繩子與水平面成30°，B端的繩子與水平面成60°，試求小車B的運(yùn)行速度vB。

圖4

功能方法實(shí)際上是從功能角度對(duì)“運(yùn)動(dòng)效果分解法”的解讀，在具體的問題情境中常常與功能關(guān)系、動(dòng)能定理等聯(lián)系起來。

4 相對(duì)運(yùn)動(dòng)法

例3：如圖5所示，輕桿被豎直固定，上端固定一質(zhì)量為m的小球，下端與質(zhì)量為M的斜面相接觸，接觸點(diǎn)為A，斜面傾角為θ。當(dāng)桿從A滑行距離L后到達(dá)B點(diǎn)，不計(jì)摩擦阻力，求這時(shí)斜面的速度。

圖5

圖6

在連接體運(yùn)動(dòng)速度的求解問題中，往往存在相對(duì)的運(yùn)動(dòng)特征，因此借助相對(duì)運(yùn)動(dòng)法以及運(yùn)動(dòng)分解、三角函數(shù)等基本的數(shù)理方法，能夠在相關(guān)的速度之間建立等式關(guān)系，那么系統(tǒng)內(nèi)部各主體的運(yùn)動(dòng)速度就能夠求解出來了。

5 速度投影方法

5.1 原理介紹

在同一時(shí)刻，做平面運(yùn)動(dòng)的剛體上任意兩點(diǎn)速度在兩點(diǎn)連線上的投影相等。

證明：假設(shè)A、B是剛體上的任意兩點(diǎn)，A點(diǎn)速度為vA，B點(diǎn)速度為vB(如圖7)。結(jié)合剛體性質(zhì)可知：剛體上質(zhì)元間距離不變，這就說明質(zhì)元A、B沿兩點(diǎn)連線方向的速度分量大小相等，即滿足：v1=v2。

圖7

5.2 例題與求解

例4：如圖8所示，A、B為兩根長度相等的剛性細(xì)桿，長度為L，兩細(xì)桿一端共同與質(zhì)量為m的球形鉸鏈相連接，A桿另一端與質(zhì)量為m的小球相接，B桿另一端與質(zhì)量為2m的小球相接。將兩桿靠攏，受到輕微觸動(dòng)后兩球向兩側(cè)滑動(dòng)，系統(tǒng)始終保持位于豎直平面內(nèi)。不計(jì)桿的質(zhì)量以及系統(tǒng)摩擦阻力，試求當(dāng)兩桿夾角為直角時(shí)A桿上球的運(yùn)動(dòng)速度。

圖8

假設(shè)A桿小球速度為v1，B桿小球速度為v2，鉸鏈的水平速度為u1，豎直速度為u2。易知：系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒，因此：mv1+mu1=2mv2。同時(shí)，系統(tǒng)滿足機(jī)械能守恒，那么：

在解決連桿問題時(shí)，如果題目中明確給出為“硬性桿”“剛性桿”等條件時(shí)，需要利用速度投影定理，建立速度之間的等量關(guān)系，再結(jié)合題目的受力、功能關(guān)系等尋找其他的數(shù)量關(guān)系，最終求解出題目需要的速度值。

6 結(jié)語

本文結(jié)合具體例題，簡(jiǎn)介了實(shí)際教學(xué)過程中解決連接體問題的5種常用方法，基本涵蓋了繩、桿牽連物體的速度求解問題。教師在教學(xué)過程中需要引導(dǎo)學(xué)生多角度地思考與分析問題，避免所有問題一律采用“受力分析——合成分解”這一常規(guī)方法，提高解答此類問題的準(zhǔn)確率，培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)的能力。