張圣官

“排列”與“組合”問(wèn)題的求解往往需要縝密的思維方式和獨(dú)特的解決辦法，考慮稍有不周便會(huì)出現(xiàn)“重復(fù)”或“遺漏”而導(dǎo)致計(jì)數(shù)的結(jié)果發(fā)生偏差，在初學(xué)這部分內(nèi)容時(shí)我們首先要把握定義的實(shí)質(zhì).

1.“有序”或“無(wú)序”是“排列”與“組合”定義的本質(zhì)區(qū)別

2.“排列”或“組合”必須是“從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)（不同）元素”

我們教材中所學(xué)的“排列”與“組合”，前提條件首先必須是“從n個(gè)不同的元素中取出m個(gè)（不同）元素”.之所以要突出“不同”兩字，說(shuō)明相同元素問(wèn)題可不能直接套用排列組合公式.因此只有6條不同的對(duì)稱軸.

換一個(gè)角度來(lái)看，在某些計(jì)數(shù)問(wèn)題中，我們還要善于在關(guān)于“相同元素”的問(wèn)題中挖掘出不同因素，這樣才能運(yùn)用排列或組合解題，

例2 5個(gè)“1”與2個(gè)“2”可以組成多少個(gè)不同的數(shù)列？

解析 按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列.由于7個(gè)位置不同，故只要優(yōu)先選兩個(gè)位置安排好“2”，剩下的位置填“1”（也可先填“1”再填“2”，思考一下兩種方法的優(yōu)劣）.因此，一共可以組成C7 C5=21個(gè)不同的數(shù)列，問(wèn)題如果改成：“將5個(gè)相同的紅球與2個(gè)相同的白球排成一排，問(wèn)有多少種不同的結(jié)果”，答案其實(shí)是一樣的，

點(diǎn)評(píng) 本題還可以分類(lèi)解決.先把5個(gè)“1”放好，再把2個(gè)“2”插入，但要注意分兩個(gè)“2”在一起和分開(kāi)在兩處兩種情形討論，結(jié)果為有C6 +C5=21個(gè)不同的數(shù)列.

例3 10個(gè)相同的小球放入編號(hào)為1，2，3的三個(gè)盒子中，要求每個(gè)盒子中至少有一個(gè)小球，問(wèn)有多少種不同的方法？

解析 小球相同但盒子不同，本題相當(dāng)于將10個(gè)相同小球分成3堆，可將10個(gè)球一字排開(kāi)，中間有9個(gè)空檔，在這9個(gè)空檔中選2個(gè)插入2個(gè)隔板，每一種插法對(duì)應(yīng)一種放小球的方法.因此，共有C5 =36種放法，這種解題方法稱為“隔板法”.

3.“排列”與“組合”問(wèn)題歸根結(jié)底關(guān)鍵還是在于準(zhǔn)確計(jì)數(shù)

排列、組合是兩類(lèi)特殊而重要的計(jì)數(shù)模型，求解的基本手法是準(zhǔn)確利用兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理，首先要考慮分類(lèi)或分步，然后常常是先組后排，最終要確保結(jié)果“不重不漏”.

例4 如圖1，一環(huán)形花壇分成A，B，C，D共4塊，現(xiàn)有4種不同的花供選擇，要求在每塊里種1種花且相鄰的2塊種不同的花，則不同的種法為_(kāi)__-

解法一 先按A，C是否選種相同的花分類(lèi)，再按A-C-B-D的次序分步種花，結(jié)果為4×1×3×3+4×3×2×2 -84種.

解法二 按選種幾種花來(lái)分類(lèi)求解.若選種4種花有A1種;若選種3種花，則有A，C種同一種花，B，D種另2種花，或者B，D種同一種花，A，C種另2種花兩種情形，2C4A3種;若選種2種花，則A，C與B，D分別種同一種花，C4 A2種.總共84種.

最后通過(guò)一則教學(xué)案例，來(lái)說(shuō)明利用排列組合定義解題時(shí)的一些注意點(diǎn).

師：把形狀大小完全相同的分別標(biāo)有1，2，3的3個(gè)小球隨機(jī)地放在編號(hào)分別是1，2，3，4的4個(gè)盒子中，則1號(hào)盒子內(nèi)有球的不同放法有多少種？

生1（先下手為強(qiáng)）：先從3個(gè)球中任取一個(gè)放在1號(hào)盒內(nèi)，其余2球任意放，得C3C4C4=48種放法.（因重復(fù)計(jì)數(shù)而犯錯(cuò)）

生2（折半扣除）：以上解法重復(fù)，應(yīng)折半扣除，只有24種.（因出現(xiàn)新的遺漏致誤）

生3（套用隔板）：由隔板法得C5 =10種.（視3個(gè)球完全相同而致誤）

生4（抓1號(hào)球分類(lèi)求解）：按1號(hào)球放“1號(hào)盒、2號(hào)盒、3號(hào)盒、4號(hào)盒”分類(lèi).第1類(lèi)，1號(hào)球在1號(hào)盒內(nèi)且另2球任意放，有C4 C4種;第2類(lèi)時(shí)，1號(hào)盒又分有1球或有2球兩種情形，有C2C3+C2種;第3類(lèi)、第4類(lèi).