激之洸茫

有些時(shí)候，那些僅從理論角度看上去有意思的數(shù)學(xué)公式可以揭示與某些應(yīng)用問(wèn)題的意想不到的聯(lián)系，

以三角學(xué)中“和差化積”公式為例

這個(gè)公式在解釋“差拍”這個(gè)聲學(xué)現(xiàn)象時(shí)會(huì)有直接的應(yīng)用，讓我們看看這到底是怎么一回事，

差拍

當(dāng)你同時(shí)彈奏兩個(gè)頻率很接近的音時(shí)，合成出來(lái)的音聽(tīng)上去時(shí)有時(shí)無(wú)，好像某人在以一個(gè)固定的頻率調(diào)大和調(diào)小音量，這種現(xiàn)象就叫做差拍.三角函數(shù)公式會(huì)幫助我們解釋它.

f1（t） =sin（ω1t）

f2 （t）=sir（ω2t）

彈奏的這兩個(gè)音可以用具有頻率ω1，ω2的兩個(gè)三角函數(shù)表示（準(zhǔn)確地說(shuō)這兩個(gè)是角頻率，但簡(jiǎn)單起見(jiàn)，在這里就把它們稱為頻率）.

作為一個(gè)非常好的近似，我們可以認(rèn)為聲學(xué)現(xiàn)象是線性的.如此一來(lái)，同時(shí)彈奏兩個(gè)音符產(chǎn)生的聲音就等于這兩個(gè)單音的疊加.

S（t）=sin（ω1t）+sin（ω2t）

借助和差化積公式，我們可以將這個(gè)“聲音”函數(shù)表示為

如果這兩個(gè)頻率ω1，ω2很接近，我們可以認(rèn)為ω（ω1，ω2的平均值）和這兩個(gè)頻率也是很接近的.同時(shí)δ（ω1，ω2的差值的一半）在與ω相比時(shí)是一個(gè)非常小的量.

當(dāng)δ遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于ω時(shí)，我們可以認(rèn)為它是一個(gè)對(duì)音符sin（ωt）的周期性放縮，放縮倍數(shù)為A（t） =2cos（δt）.

S （t） =A （t）sin（ωt）

我們可以看出，A（t）扮演了一個(gè)周期性調(diào)節(jié)聲音sin（ωt）的音量的角色.兩個(gè)初始頻率越接近，那么差拍頻率δ就越慢（譯者注：δ越小，周期就會(huì)越大）.

在圖2中，你可以看到一個(gè)例子，上圖是兩個(gè)函數(shù)f1和f2，下圖是它們合成后的函數(shù)S.

樂(lè)器校音

差拍現(xiàn)象可以用于為樂(lè)器校音，讓我們看看這是怎么進(jìn)行的.

假設(shè)你現(xiàn)在需要借助一個(gè)音叉來(lái)為吉他校音，如果吉他的弦被調(diào)到與音叉的音相近的地方時(shí)，同時(shí)彈響它們就會(huì)產(chǎn)生差拍.通常地說(shuō)，要通過(guò)提高或降低弦的張力來(lái)完美校音是很難的.通過(guò)反復(fù)試錯(cuò)則比較容易.

我們假設(shè)你試圖提高弦的張力（也就是提高音的頻率），你撥動(dòng)了這根弦并敲擊了音叉，于是聽(tīng)到差拍的頻率增加了.這就說(shuō)明提高弦的張力這法子是走反方向了.此時(shí)你應(yīng)該慢慢減小弦的張力，直到差拍頻率小到幾乎不會(huì)引起注意.現(xiàn)在恭喜你，你的吉他弦與音叉產(chǎn)生的是同一個(gè)音（對(duì)于實(shí)際演奏而言，已經(jīng)足夠了）.

剩下的5根弦呢，過(guò)程是一樣的，只不過(guò)你借助的不再是音叉而是你所調(diào)好的那根弦的其他音.（譯者注：吉他不同弦上可能會(huì)有同一個(gè)音，以調(diào)好的弦上的音為基準(zhǔn)，找它在另一弦同樣的音，進(jìn)而校準(zhǔn)這根弦）

當(dāng)然，你可以借助電腦程序?yàn)闃?lè)器調(diào)音.但假設(shè)你現(xiàn)在在海灘或者路邊上演奏吉他，周圍是你的一群粉絲，而你正好沒(méi)有電腦、手機(jī)沒(méi)電.你最好知道怎么用傳統(tǒng)的方法校準(zhǔn)吉他，要不然你會(huì)瞬間掉粉的！