(郵編：230601)

安徽省合肥市第三十二中學

1 問題背景

在2018年高三二模考試前的月考和平時試卷批改中，筆者多次發(fā)現(xiàn)數(shù)學解答題得分較少的是第20道題——解析幾何.

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)若不經(jīng)過橢圓C的右焦點F的直線l:y=kx+m(k<0,m>0)與橢圓C交于A、B兩點，且與圓x2+y2=1相切.試探究△ABF的周長是否為定值，若是，求出定值；若不是，請說明理由.

從答卷上來看，有的同學只做了兩問中的第一小問；有的對第二小問也只是寫了一點點，如聯(lián)立一個方程組，搭了個簡單的框架就不了了之，能做完的同學為數(shù)極少.

2 原因探究

解析幾何作為高中數(shù)學的重要板塊，承擔著培育學生數(shù)學的兩大核心素養(yǎng)，即邏輯思維和計算能力的重任，作為數(shù)學老師在學科教育上應抓住高三全面復習的契機著力落實，這不僅僅是為了高考的得分，更重要的是為學生的后續(xù)學習.為此，高三年級組對不同層次的學生就這種現(xiàn)象進行了座談.根據(jù)座談的結(jié)果，我們將學生分成以下三類：第一類學生只會做第一問，對第二問由于缺少邏輯推理能力而不知如何下筆，建構(gòu)不了知識框架；第二類學生明確解題方向，能搭建解題框架，但因為計算方法選擇不當，計算過程過于繁瑣，導致無法將計算堅持到底；第三類學生有較好的計算能力，但由于缺少必要的訓練，在解題中缺少必勝的信念，從而框架搭好了就此擱淺.

針對學生解題中出現(xiàn)的這些問題，教師如何教學才能改變解析幾何解答中出現(xiàn)的荒蕪局面呢？

3 改進措施

現(xiàn)將年級組老師們的建議總結(jié)提煉后，提出要從信念、框架、計算這三個方面著手來改進解析幾何復習教學，改變以前為趕復習進度而忽視學情的講授式模式.為此，在后期的復習中，我們采用了以下流程來幫助學生攻克解析幾何：首先通過簡單題來夯實雙基，幫助學生堅定信念增強信心；再用分層框架來破解典例；掌握常用技能簡化和優(yōu)化計算；最后進行對點強化訓練.下面用實例來闡述具體的做法，以與同仁共享.

3.1 堅定信念 增強嘗試信心

解析幾何因計算難而讓不少師生制定了這樣的備考策略：第一問必做，對第二問如果難就選擇放棄.在這樣的指導思想下，即使看似難題，但稍加努力就能解決的問題也會因此而空缺.

波利亞曾說：“認為解題純粹是一種智力活動是錯誤的，決心和情緒所起的作用很重要，教學生解題是意志的教育”.同時越來越多的研究表明：動機和信念在問題解決過程中同樣有重要的意義.筆者贊同以上觀點，認為解析幾何復習中幫助學生樹立戰(zhàn)勝困難的信心比框架、計算顯得更為重要.如對于問題背景中的第(2)問，教師可以在學生已做出(1)問的基礎上，鼓勵學生用數(shù)學語言去翻譯：①直線l與C相交和②直線l與圓x2+y2=1相切這兩個條件.至于這兩步得出的結(jié)論怎么用，教師可以先不說.再引導學生嘗試去寫△ABF周長的表達式.這時學生會遇到如何表示|AB|、|AF|和|BF|的困難.教師適時點撥，進一步引導他們怎樣利用前兩步，這樣逐步引導他們嘗試去解決.讓他們在實踐中積累解題經(jīng)驗，在問題解決中體驗成功的快樂，在戰(zhàn)勝困難中堅定信念.

愛因斯坦說得好，他認為信念最好能由經(jīng)驗和明確的思想來支持.這說明除了有意識，還要有活動經(jīng)驗，而經(jīng)驗的獲得來自于大量的實踐.信念的培養(yǎng)不是老師幾句鼓勵的話就能樹立的，它需要有扎實的基礎，教師的有效示范，學生的積極內(nèi)化和有素的訓練來支撐.

3.2 搭建框架 明確解題方向

(Ⅰ)求C的方程；

(Ⅱ)設直線l不經(jīng)過P2點且與C相交于A、B兩點.若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1，證明：l過定點.

做法剖析：

(1)根據(jù)邏輯關系，搭建分層框架，對本題的第二問采用分析法執(zhí)果索因.

尋結(jié)論成立的條件，步步為營理清解題思路，消除解題的盲目性，增加解題的信心.通過化整為零，將解題過程分成若干層.根據(jù)層與層之間的邏輯關系建立起框架，然后自下而上進行書寫.具體如下：

(2)理清條件關系，翻譯每層內(nèi)容

為了表達的需要，引導學生大膽設出未知量，將題中的條件關系用數(shù)學符號或式子來表達，在框架的指引下理清k和m的邏輯關系，朝目標方向努力.

第一層：特殊情況驗證.

一般情況證明：

聯(lián)立方程，得出兩點間坐標的關系，用兩點的坐標表示斜率和.

設l：y=kx+m(m≠1)，A(x1，y1)，B(x2，y2).

第二層：利用韋達定理，根據(jù)斜率和為-1，尋找k與m的關系式.

第三層：消去k，將其方程化為點斜式，從而得出定點.

(3)對點練習，訓練思維 選擇相應的模擬題，讓學生分析，進行解題前邏輯思維訓練.采用獨立思考，暢談解法,優(yōu)化解法這樣的課堂活動來激發(fā)學生的解題熱情，開發(fā)學生解題潛能.

3.3 簡化計算 助推正解得出

解析幾何的特點是計算難，如果計算方向不明確，方法繁雜會導致整個解題全盤崩潰.因而當學生面對問題時，首先要引導學生多想少算，明確計算對象，優(yōu)選解題方法，設計合理的運算途徑.框架構(gòu)建好后，要求學生再想一想，尋找恰當?shù)挠嬎惴椒ǎ员愫喕\算過程而獲得優(yōu)解.常用的簡化計算方法有：追根溯源，回歸定義；平面幾何滲透，數(shù)形結(jié)合；設而不求，整體運算；利用韋達定理化繁為簡等.

圖1

(Ⅰ)當t=4，|AM|=|AN|時，求△AMN的面積；

(Ⅱ)當2|AM|=|AN|時，求k的取值范圍.

做法剖析 (Ⅰ)解略；(Ⅱ)條件中|AM|和|AN|都是弦長，因而需要利用弦長公式，于是聯(lián)立方程求出|AM|.為簡化計算，再利用MA⊥NA，在|AM|已得出的基礎上，直接求出|AN|.

(1)設而不求，整體代入

(2)利用垂直，避免重復

(3)挖掘隱含條件，建立不等關系

(4)對點練習，強化計算

讓學生在練習中逐步掌握運算技能，在計算中磨練意志，消除對解幾的畏懼心理.

(1)求橢圓C的標準方程；

4 改進后的反思

在框架分層式的解題解學中，框架有助于學生按照邏輯關系尋找解題方向，

分層有助于梳理條件，分解難點.而一些簡化計算方法的掌握便于學生優(yōu)化計算，使計算變得更流暢.對點訓練讓學生從解題的模仿開始，逐步訓練思維和提高計算能力.通過一段時間的訓練，取得了一定的成效.從學生的答卷來看，回答解幾大題第二問的同學越來越多，能堅持做完的同學也多了起來，該題年級平均得分在逐步提高.在嘗試的過程中，感觸較多，反思感悟可總結(jié)成以下三點：

反思一不憤不啟，學會忍

不憤不啟是指不到學生們想弄明白而還沒有弄明白時，不去啟發(fā)他.在課堂上我們經(jīng)?？吹綄W生解這類題會跑偏，出現(xiàn)一開始解題方向不對，選擇的計算方法過于繁瑣，跌跌撞撞艱難向前的現(xiàn)象.這時的老師要學會忍，不要馬上就呈現(xiàn)解答.要讓學生在挫折中探索解題方向，以便能更好地磨練他們計算耐力，讓他們更深刻地去體會計算背后的算理.啟發(fā)時先多問問學生是如何想的，為什么這樣想，然后貼近學生的認知去啟發(fā).切不可急于兜售自己的想法，而掐滅學生思維的火花.

反思二不舍不得，學會放

對解析幾何的復習，教師要敢舍，認為多講一些題型，學生就能搞好是老師們的一廂情愿.對學生解題思路和計算能力的訓練，雖然開始訓練時很費時間，但教師也要舍得把寶貴的課堂時間放手給學生去嘗試，即便一堂課只解決一道題,只要學生能真正理解掌握也是值得的.授之以魚不如授之以漁，沒舍就沒有得！

反思三不急不躁，學會聽

一道解析幾何題，它的的解法往往有多種.教師的解法不是權威，我們要放下權威，更多地去關注學生的想法.借學生的口讓各種解法“百花齊放”起來，讓他們在思維碰撞中尋找最優(yōu)解.即使學生的解法很拙劣，教師也要不急不躁，耐心去傾聽，呵護學生參與思考的積極性.

總之，對解析幾何的復習，我們既要從意識層面去落實，調(diào)動學生的一切非智力因素的參與；又要從實踐層面上加以夯實.用信念、框架和計算這樣的三套車齊驅(qū)并駕我們高三解析幾何的復習，相信一定不會辜負“把立德樹人作為教育的根本任務”的歷史使命！