孫輝輝，張玉潔，錢 森，張偉杰

(1.華北科技學(xué)院 機電工程學(xué)院，河北 廊坊 065201； 2.合肥工業(yè)大學(xué) 機械學(xué)院，合肥 230009)

0 引言

增材制造技術(shù)是“工業(yè)4.0”時代最具發(fā)展前景的先進制造技術(shù)之一，已被廣泛應(yīng)用于航空、航天、汽車、醫(yī)療、電子等領(lǐng)域[1]。

相比傳統(tǒng)制造技術(shù)，增材制造產(chǎn)品開發(fā)周期更短，制造用料更省，在小批量、個性化定制等方面優(yōu)勢明顯[2-4]。但是，在大規(guī)模生產(chǎn)方面，還有著精度強度和表面質(zhì)量不足等諸多方面的缺陷，制約著增材制造技術(shù)的快速發(fā)展。增材制造成型過程是由增材制造機器人驅(qū)動打印頭，通過層層堆積的方式而快速成型的一種技術(shù)[5-6]，所以影響制件的表面質(zhì)量和制造誤差最重要的原因之一就是機器人的運動控制精度[7-8]。因此，優(yōu)化增材制造機器人運動控制的性能，減小打印頭運動輸出誤差，是增材制造業(yè)未來發(fā)展亟待解決的問題。

目前，增材制造機器人分為串聯(lián)和并聯(lián)臂兩種形式[9]。串連機器人結(jié)構(gòu)簡單，易于控制，但誤差會出現(xiàn)累計，制造精度不高[10-12]；并聯(lián)臂機器人采用并聯(lián)閉環(huán)桿系結(jié)構(gòu)，運動精度高，但其控制系統(tǒng)是一個非線性、強耦合、參數(shù)時變的不確定性系統(tǒng)[13-14]，這特點將造成機器人系統(tǒng)精確建模困難，易受外界干擾，運動控制復(fù)雜的問題。

為了解決此問題, 提高并聯(lián)臂機器人的控制系統(tǒng)的軌跡跟蹤性能，目前常用的控制算法有PID控制、模糊控制、反演控制法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制等[15-16]。Angel L 等[17]提出一種基于分數(shù)階的機器人機械臂PID控制算法，該系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡單具有較好的魯棒性，但其控制依賴于精確的數(shù)學(xué)模型，對于強耦合多不確定性因素的并聯(lián)臂機器人系統(tǒng)適用性較差。SD Stan等[18]提出了針對并聯(lián)機器人的運動學(xué)模糊控制系統(tǒng)，系統(tǒng)不依賴控制對象的模型，但對信息進行簡單的模糊處理，會導(dǎo)致被控制系統(tǒng)的精度降低和動態(tài)品質(zhì)變差；李帥等[19]提出了基于冗余機械臂的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)，此方法能夠適應(yīng)機器人不確定系統(tǒng)的動態(tài)特性，但是控制需要大量的訓(xùn)練數(shù)據(jù)，當學(xué)習達到一定精度后，收斂速度變慢。

本文基于滑模變結(jié)構(gòu)控制理論，提出一種適用于并聯(lián)臂增材制造機器人的智能控制系統(tǒng)，著重解決常規(guī)智能控制依賴于精確的數(shù)學(xué)模型，系統(tǒng)計算量大，對于參數(shù)攝動和外界干擾適應(yīng)性差的問題。系統(tǒng)基于滑模變結(jié)構(gòu)控制器，通過不斷調(diào)整自身結(jié)構(gòu)，提高自身魯棒性，收斂速度快，運算量小、工程實踐性好。

1 運動學(xué)建模

并聯(lián)臂增材制造機器人的結(jié)構(gòu)是一種三自由度并聯(lián)機構(gòu)。如圖1所示。機器人由正三棱柱形支架，伺服電機，同步帶，連桿，滑塊和末端執(zhí)行器組成。圖2為機器人的機構(gòu)運動簡圖。以機器人支架底部中心為原點建立靜態(tài)坐標系O-XYZ，以在末端執(zhí)行器的中心建立動態(tài)坐標系o-xyz。

圖1 增材制造機器人組成 圖2 機器人機構(gòu)運動簡圖

靜平臺中心到各滑軌之間的距離為R，動平臺中心到各端點的距離為r，驅(qū)動桿長用la來表示。靜平臺的各定點坐標可以表示為：

(1)

式中，R為支架底面外接圓半徑；r為末端執(zhí)行器外接圓半徑；la為連桿的長度；αi=2π(i-1)/3,(i=1,2,3) 。

機器人驅(qū)動桿PiBi的長度la始終不變，由式 (1) 的坐標關(guān)系可以得到:

(2)

式中，pi為滑塊的位移。

對滑塊的位移pi進行求解，即可得到：

(3)

已知末端執(zhí)行器的確定位置或者軌跡，即可通過式(3)以計算各個驅(qū)動電機的角位移。

在式(2)中，令Rcosαi-rcosαi=M，Rsinαi-rsinαi=Ni，將式(2)展開，并且對各參數(shù)進行時間t求導(dǎo)并且寫成矩陣形式：

(4)

式中，vx,vy,vz——XYZ方向的速度和；vpi——第i個滑塊的移動速度。

式(4)可以整理為：

(5)

式(5)反映了滑塊輸入速度和末端執(zhí)行器運行速度的映射關(guān)系。矩陣J就是并聯(lián)臂增材制造機器人的運動學(xué)雅克比矩陣。

2 動力學(xué)建模

動力學(xué)建模是機器人控制的基礎(chǔ)，在對機器人的末端執(zhí)行器位置姿態(tài)和運動速度進行了分析后，本部分利用拉格朗日方程進行動力學(xué)建模，研究機器人驅(qū)動力狀態(tài)。定義拉格朗日函數(shù)為：

L=K-P

(6)

式中，L為拉格朗日函數(shù)；K為系統(tǒng)的動能；P為系統(tǒng)的勢能。

并聯(lián)臂機器人的能量模塊主要分為三部分，滑塊P，連桿L，和動平臺及其所屬部件。首先計算機器人系統(tǒng)動能：

(7)

式中，mp為滑塊的質(zhì)量；ml為單個連桿的質(zhì)量；md為動平臺質(zhì)量。

然后計算機器人的勢能，取支架底座在平面為零勢能面。則機器人的勢能：

(8)

以滑塊的位移pi為廣義坐標，對拉格朗日L求偏導(dǎo)數(shù)，可以得到：

(9)

式中，Ti為滑塊的驅(qū)動力矩。

3 滑模變結(jié)構(gòu)控制

在建立機器人動力學(xué)模型過程中，很難確定機器人精確的數(shù)學(xué)模型，必須忽略一些不確定因素。式(9)初步給出了機器人系統(tǒng)的動力學(xué)模型。本部分以此為基礎(chǔ)，利用滑模變結(jié)構(gòu)控制理論，建立機器人智能控制系統(tǒng)，達到不確定系統(tǒng)的精確控制。帶有干擾項的并聯(lián)臂增材制造機器人的動力學(xué)模型可以表示為[20]：

(10)

式中，q為驅(qū)動電機的角位移向量；τ為動電機的驅(qū)動扭矩向量；I為系統(tǒng)的干擾項和建模誤差項。

定義驅(qū)動器輸入向量:

(11)

式中，qd(t)為期望輸入向量；qr(t)為實際輸入向量；e(t)為輸入誤差Δ=diag(λ1,λ2,λ3)。

定義滑模函數(shù)為：

(12)

設(shè)計滑模變結(jié)構(gòu)控制器為：

(13)

式中，K=diag(k1,k2,k3),ki>0；η>0

D(q)為正定矩陣，設(shè)計Lyapunov函數(shù)為：

(14)

對Lyapunov函數(shù)求導(dǎo)并且整理可得：

(15)

由式(15)可以得到V·的取值范圍：

V·≤-sTKs≤-μV

(16)

以V不等式為參數(shù)，不等式(16)的解為：

V(t)≤e-μ(t-t0)V(t0)

(17)

由式(17)可知，當t→∞時，滑模函數(shù)s趨向于0，控制器是收斂的。

4 運動控制仿真

為了驗證并聯(lián)臂增材制造機器人建模的正確性和的滑模變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)的可行性，對并聯(lián)臂機器人的運動學(xué)和控制器進行數(shù)值仿真。

4.1 運動學(xué)仿真

定義機器人主要結(jié)構(gòu)參數(shù)：立柱高h=600mm，驅(qū)動桿長la=250mm，靜平臺外接圓半徑R=125mm，動平臺外接圓半徑r=25mm。末端執(zhí)行器的運動軌跡定義為：

(18)

利用Matlab軟件，進行數(shù)值仿真。結(jié)果如圖3、圖4所示。

圖3代表了3個驅(qū)動滑塊的位移，每個滑塊的位移圖線呈正弦變化形式，并且具有周期性上升的趨勢，和末端執(zhí)行器的運動軌跡相匹配；圖4代表滑塊的速度曲線，速度呈正弦形式穩(wěn)定變化，沒有突變，代表機器人運動狀態(tài)良好，驗證了運動學(xué)模型的正確性。

圖3 滑塊的位移曲線

4.2 控制系統(tǒng)仿真

采用滑模變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)，對機器人的運動進行軌跡跟蹤仿真。取滑?？刂茀?shù)：Δ=diag(20,20,20),K=diag(15,15,15),然后利用Matlab進行計算，結(jié)果如圖5～圖8所示。

圖5 三個關(guān)節(jié)的位置跟蹤

圖6 末端執(zhí)行器的軌跡誤差

由圖5、圖6以看出基于滑模變結(jié)構(gòu)的控制算法的軌跡跟蹤情況。3個關(guān)節(jié)的角位移可以按照期望軌跡穩(wěn)定運行。在初始階段誤差相對較大，經(jīng)過控制系統(tǒng)的自動調(diào)整，能很快將軌跡誤差降低，達到和期望角位移曲線重合。

圖7 三關(guān)節(jié)的控制輸入

圖8 系統(tǒng)干擾與補償

從圖7可以看出，增材制造機器人3個驅(qū)動關(guān)節(jié)的輸入力曲線均較為平滑，沒有大的波動和突變，輸入力變化趨勢與運動狀態(tài)相符，動力學(xué)性能良好；圖8表示機器人控制系統(tǒng)的動態(tài)補償效果；在出現(xiàn)系統(tǒng)以外的干擾或者摩擦時，控制系統(tǒng)可以及時調(diào)整輸出參數(shù)，對干擾進行力學(xué)補償，可以看出誤差曲線和補償曲線的變化趨勢基本相同，補償效果良好。

5 試驗

本部分以并聯(lián)臂機器人實驗平臺為基礎(chǔ)，將傳統(tǒng)PID控制算法和滑模變結(jié)構(gòu)控制算法的實際應(yīng)用效果進行對比驗證。如圖9所示。設(shè)置制造參數(shù)，噴嘴直徑為0.4mm，打印速度為80mm/s，移動速度為160mm/s，打印材料為PLA，利用滑模變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)與常規(guī)PID控制系統(tǒng)，分別打印出一個形狀質(zhì)量相同的軸承座，然后對其表面質(zhì)量和形位誤差進行比較，結(jié)果如表1和表2所示。

圖9 并聯(lián)臂打印機實驗平臺 圖10 形位公差的測量

上表面?zhèn)惹鍾aRzRaRzPID算法14.32283.7620.36301.46滑模算法8.56158.4211.97178.38

通過分析表2數(shù)據(jù)，常規(guī)PID控制系統(tǒng)打印的制件上表面和側(cè)面表面粗糙度算術(shù)平均值Ra分別為14.32μm，和20.36μm，而常規(guī)算法的表面粗糙度算數(shù)平均值Ra分別為8.56μm和11.97μm；表面粗糙度輪廓最大高度Rz在數(shù)值上也出現(xiàn)了大幅度減小的情況。所以，使用了滑模變結(jié)構(gòu)控制的控制系統(tǒng)打印出來的制件表面質(zhì)量有了很大程度的提高。

如圖10所示，利用三坐標測量儀，分別測量兩個零件的形位誤差。對比兩個零件的上下表面平行度、平面度和沉孔的圓度和同軸度，結(jié)果如表2所示。

表2 軸承座形位誤差對比(μm)

常規(guī)PID控制系統(tǒng)打印的制件上下表面的平行度誤差為82μm，平面度誤差為79μm, 而利用采用了滑模變結(jié)構(gòu)控制的系統(tǒng)平行度和平面度誤差分別為55μm和61μm；另外，對制件上的兩個同心孔進行測量，PID控制系統(tǒng)打印的圓度和同軸度分別為52μm和34μm，滑模變結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的圓度和同軸度的公差值分別為46μm和29μm。成型零件的形位誤差值有了顯著降低。

6 結(jié)論

針對增材制造成型零件形位精度低，表面質(zhì)量差方面的問題，在搭建并聯(lián)臂增材制造機器人的基礎(chǔ)上，采用滑模變結(jié)構(gòu)控制理論，提出一種適用于不確定性機器人的非線性控制系統(tǒng)。通過系統(tǒng)運動學(xué)和動力學(xué)建模，得到機器人運動學(xué)雅克比矩陣以及驅(qū)動力矩和機器人運動狀態(tài)的關(guān)系。以此為基礎(chǔ)模型，建立并聯(lián)臂機器人滑動超越平面和滑?？刂破?，系統(tǒng)可根據(jù)運動偏差不斷改變自身結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)不確定模型下的精確控制和對外界干擾的自動補償。

仿真和實驗結(jié)果表明：滑模變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)輸入輸出穩(wěn)定，沒有發(fā)生力矩突變和震蕩現(xiàn)象；和傳統(tǒng)PID控制方法進行比較，成型零件的上表面和側(cè)面的表面粗糙度值分別減少了40.2%和41.2%。上下表面平行度、平面度、孔的圓度和同軸度分別提高了 32.9%、22.8%、34.6%和36.9%?；Ｗ兘Y(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)的運動控制精度有了較大幅度的提高，成型零件的質(zhì)量有了較大增強，系統(tǒng)能夠滿足并聯(lián)臂增材制造機器人的高精度運動控制的需求。