吳士亮，仲 琴，張慶民

(南京財經(jīng)大學管理科學與工程學院，江蘇 南京 210023)

1 引言

21世紀以來，隨著計算機網(wǎng)絡(luò)提速，一種通過因特網(wǎng)交付計算能力的新型業(yè)務(wù)模式-云服務(wù)得到快速發(fā)展[1-2]。按照該模式，服務(wù)提供商(以下簡稱廠商)將各類計算資源(如：網(wǎng)絡(luò)、服務(wù)器、存儲能力及應(yīng)用軟件等)進行虛擬化處理，形成可動態(tài)配置的共享資源池，進而運用市場機制向客戶銷售，客戶通過向廠商訂閱獲得計算資源使用權(quán)，利用各類客戶端對所訂閱資源進行訪問。云服務(wù)模式采用基于訂閱的訪問許可，許可有效期通常較短(如按月、季度、年)，客戶需要向廠商按期訂閱并支付訂閱費，這與傳統(tǒng)的購買軟件產(chǎn)品取得永久使用權(quán)的模式有顯著區(qū)別[3-4]?，F(xiàn)實中，廠商出于對市場戰(zhàn)略及盈利需要，常常對訂閱價格進行調(diào)整。顯然，如何確定訂閱價格是廠商面臨的一項重要決策。隨著云計算應(yīng)用深化，云服務(wù)定價作為一項重要課題，已引起廠商與學界關(guān)注[5-7]。

云服務(wù)具有2項突出特性：(1)云服務(wù)是訪問服務(wù)?？蛻糁挥性L問計算資源才能實現(xiàn)價值，客戶價值與客戶的個性化訪問需求及價值轉(zhuǎn)化能力密切相關(guān)[8]。(2)計算資源虛擬化及托管性。虛擬化意味著計算資源可被變換、共享及傳遞，顯然云服務(wù)具有信息產(chǎn)品的典型特性，如：高研發(fā)成本、低邊際成本[9]。托管性指云基礎(chǔ)設(shè)施構(gòu)建、應(yīng)用運行與維護工作轉(zhuǎn)移到廠商一方，通常由廠商全權(quán)負責，而傳統(tǒng)的信息產(chǎn)品(如音樂CD、計算機軟件)交付模式中廠商在產(chǎn)品售出后通常只提供有限的有償服務(wù)。我們基于對廠商定價實踐的觀察發(fā)現(xiàn)，按用量定價和按固定價格定價(以下簡稱固定定價)是目前最常用的兩種定價方式。按用量定價時幾乎都采用階梯計價，用量越高，單位用量價格越低。這兩種定價方式在3種云服務(wù)模式中都存在。特別地，對于基礎(chǔ)設(shè)施即服務(wù)(infrastructure as a service，IaaS)及平臺即服務(wù)(platform as a service，PaaS)情形，云服務(wù)訪問特性突出，訪問需求個性化、客戶價值與資源用量關(guān)系明顯，多采用按用量定價；對于軟件即服務(wù)(software as a service，SaaS)情形，云服務(wù)的信息產(chǎn)品屬性及托管性突出，計算資源需求相對穩(wěn)定，多采用固定定價。綜合看，云服務(wù)定價是一個針對虛擬資源的訪問定價問題，決策中須兼顧客戶價值差異與資源能力約束。

本文理論基礎(chǔ)是微觀經(jīng)濟學的非線性定價理論，這方面成果已很豐富[10]，這里僅梳理與本文緊密相關(guān)的信息產(chǎn)品及信息服務(wù)定價成果?；诋a(chǎn)品角度的成果主要有：Sundararajan[11]研究了信息產(chǎn)品的兩種定價方式，在固定定價中不考慮交易成本，按用量定價時考慮與用量相關(guān)的交易成本，得出廠商最優(yōu)方案是組合使用這兩種定價方式，該研究是對Maskin和Riley[12]理論成果在信息產(chǎn)品定價中的拓展。Huang和Sundararajan[13]研究了數(shù)字產(chǎn)品的最優(yōu)定價方法，其中廠商可按階段對計算基礎(chǔ)設(shè)施能力擴容并考慮擴容成本，以最大化廠商利潤為目標給出兩階段擴容數(shù)量的決策方法，該研究通過引入能力約束拓展了Sundararajan[11]研究。區(qū)別于假設(shè)客戶需求是連續(xù)的相關(guān)研究[11,13]，Spulber[14]針對離散型的客戶需求，就三種定價方式(參考點定價、拍賣定價、優(yōu)先級服務(wù)定價)分別給出實現(xiàn)廠商利潤最大化的方法，研究中考慮廠商可用能力約束，且不限于信息產(chǎn)品定價情形。周木生和張玉林[15]在信息產(chǎn)品定價策略研究中基于非線性邊際支付意愿假設(shè)，證明了每位消費者都存在理想消費量且理想消費量是偏好參數(shù)的嚴格遞增函數(shù)，建立了消費者和廠商行為的動態(tài)博弈模型，得出了廠商最優(yōu)定價策略，該研究考慮產(chǎn)品版本質(zhì)量，適于傳統(tǒng)軟件產(chǎn)品，不涉及使用量及用量約束。竇一凡和肖勇波[16]對比了傳統(tǒng)的按版權(quán)定價和云計算中按用量定價這兩種模式的最優(yōu)定價策略的市場份額并分析產(chǎn)品質(zhì)量的影響，研究中未考慮用量約束。如上研究[11-16]針對壟斷市場。Bala和Carr[17]面向競爭市場探討傳統(tǒng)軟件廠商選擇按用量定價及固定定價的策略，研究中考慮了客戶價值轉(zhuǎn)化能力及服務(wù)用量因素，客戶價值能力與服務(wù)用量均服從均勻分布，按用量定價中價格為用量的線性函數(shù)，但沒考慮服務(wù)能力約束?；诜?wù)角度的成果主要有：Essegaier等[8]研究了一般訪問服務(wù)的三種定價方式(包括固定價格、按用量定價以及兩部制定價)，研究中區(qū)分重度及輕度使用者并考慮廠商服務(wù)能力約束。Wu和Banker[18]針對信息服務(wù)研究了這三種定價方式，考慮客戶使用服務(wù)的峰谷時間需求差異，但沒考慮廠商服務(wù)能力約束。Altmann和Chu[19]結(jié)合案例研究了網(wǎng)絡(luò)服務(wù)提供商的定價方案，廠商通過向市場提供固定定價及按用量定價的方案，有助于廠商聚焦細分市場以及降低網(wǎng)絡(luò)服務(wù)訪問的高峰期負載，該研究沒有給出具體定價方法。Zhang和Seidmann[20]基于固定定價策略，考慮客戶質(zhì)量偏好及外部性因素但不考慮使用量因素，分析了質(zhì)量不確定性與網(wǎng)絡(luò)外部性對壟斷廠商定價決策的影響，得出當網(wǎng)絡(luò)效應(yīng)顯著時廠商采用混合模式(即產(chǎn)品+服務(wù))獲益最大。Basu等[21]研究了網(wǎng)絡(luò)帶寬質(zhì)量對云廠商按固定定價及按用量定價決策的影響，分析了影響客戶選擇不同定價方式的條件。

綜上，雖然針對信息產(chǎn)品非線性定價問題已取得較豐富成果，然而對云服務(wù)定價尤其是針對云服務(wù)特性深入探討按用量定價的成果尚很缺乏?；谖覀兡壳八莆盏馁Y料，尚未見到針對云服務(wù)模式較全面地探討按固定定價與按用量定價方法的研究；另外，雖然這兩種定價方式已被云服務(wù)廠商廣泛采用，但由于缺乏系統(tǒng)化總結(jié)，已有定價實踐復制到其他廠商時其適用性和可操作性難以把握。

本文選取云服務(wù)模式中固定定價以及按用量定價這兩種最常見的定價方式，在綜合考慮客戶價值差異與資源能力基礎(chǔ)上，以廠商利潤最大為目標建立優(yōu)化模型，通過模型求解并進一步結(jié)合數(shù)值算例獲得對這兩種定價方式的較全面認識。模型中關(guān)于客戶效用、風險態(tài)度及客戶能力的假設(shè)具有一般性，算例部分通過具體化模型假設(shè)并針對資源能力不同情形進一步揭示這兩種定價方式的管理意義。本文貢獻在于：在分析云服務(wù)定價關(guān)鍵特性基礎(chǔ)上，基于一般性假設(shè)建立了非線性的、以最大化壟斷廠商利潤為優(yōu)化目標的按用量定價模型，給出模型解并對模型解的含義進行揭示，數(shù)值算例表明模型具有可操作性，本研究有助于深化云服務(wù)定價理論研究并有應(yīng)用指導意義。相較于如上相關(guān)成果，如：Maskin和Riley[12]以及Spulber[14]針對傳統(tǒng)一般產(chǎn)品或共享產(chǎn)品和設(shè)施研究按用量定價，Sundararajan[11]雖研究固定定價與按用量定價兩種方式，但沒考慮資源量約束，Huang和Sundararajan[13]在研究計算基礎(chǔ)設(shè)施分階段投資決策中雖考慮資源約束，但基本上不考慮固定定價。另外，針對訪問服務(wù)某一特性(如文獻[17,19])或其他模式(如文獻[18])的定價研究中，通常采用線性效用或只考慮一種定價方式。本文考慮云服務(wù)關(guān)鍵特性針對兩種常見定價方式開展研究，在研究對象設(shè)定及方法整合方面具有創(chuàng)新性。

本文其他部分安排：第2部分給出模型描述；第3部分針對兩種情形(考慮資源約束、不考慮資源約束)的兩種定價方式(固定定價、按用量定價)分別建立模型、模型求解及分析；第4部分為數(shù)值實驗及實驗結(jié)果分析；第5部分為結(jié)束語；附錄部分給出命題1及命題2證明。

2 模型描述

考慮由1個壟斷廠商和多個客戶組成的市場。廠商正式向市場提供服務(wù)前，需投資建設(shè)IT基礎(chǔ)設(shè)施及研發(fā)應(yīng)用軟件，假設(shè)這部分投入為沉沒成本。廠商前期投入情況決定了提供云服務(wù)的計算資源量，用K表示計算資源量并假設(shè)K短期內(nèi)無法改變。廠商通過充分利用IT來降低服務(wù)支持成本，假設(shè)當K足夠滿足客戶需求時廠商為客戶提供云服務(wù)的邊際成本為零。

廠商向市場公開價格方案，客戶依據(jù)價格方案決定是否向廠商訂閱云服務(wù)。考慮兩種定價方式：一是固定定價，即面向所有客戶實施統(tǒng)一價格，客戶訂閱付費后可無限量使用計算資源；二是按用量定價，即根據(jù)客戶預期使用計算資源的數(shù)量情況制定差異化價格，客戶從廠商公布的價格表中選擇使用量與價格組合。用L表示廠商價格表，客戶選擇為(q,p)∈L，q表示該客戶選擇的預期資源用量，q≥0，支付價格為p?？蛻粜в煤瘮?shù)為U(q,θ)，θ為客戶類型，θ∈[0,1]且連續(xù)。

在Maskin和Riley[12]和Spulber[14]工作基礎(chǔ)上，給出如下假設(shè)：

假設(shè)1：U(q,θ)連續(xù)且在q及θ上滿足非減性、凹性，即：

?θ,?q有：

U1(q,θ)≥0,U11(q,θ)<0；

U2(q,θ)≥0,U22(q,θ)≤0。

特別地，

q=0時，U(q,θ)=0，U2(q,θ)=0；

q>0時，U2(q,θ)>0。

U(q,θ)取值有限性，即：

v(θ)≡maxq{U(q,θ)}<∞

這里用下標指示對函數(shù)中相應(yīng)次序的參數(shù)求導，下同。

假設(shè)2：相對于低類型訂閱客戶，高類型訂閱客戶從資源使用中獲得效用的能力更強，即：

對于?q，U12(q,θ)>0

即滿足斯賓塞-莫里斯條件。

并且，這種效用增加量關(guān)于客戶類型具有非增性，即：

U122(q,θ)≤0

假設(shè)3：客戶風險厭惡關(guān)于θ遞減，即：

即θ值越大的用戶越傾向于接受風險。

假設(shè)廠商在客戶訂閱云服務(wù)之前無法得知客戶個體的需求q，也無法得知客戶個體的θ值。但廠商可通過市場研究估算出市場總需求Q。

假設(shè)4：廠商可通過市場研究等手段掌握客戶類型分布。用F(θ)表示客戶類型θ的分布函數(shù)，f(θ)為其密度函數(shù)，f(θ)>0且連續(xù)，逆風險率H(θ):

H(θ)≡[1-F(θ)]/f(θ)，H1(θ)≤0。

該假設(shè)在價格歧視研究中常見[11]，易驗證當服從一般均勻分布或指數(shù)分布時符合該假設(shè)。

本文探討廠商的短期定價決策?？蛻翎槍S商公布的價格方案，結(jié)合自身類型、需求量及預期效用等相關(guān)信息，選擇是否訂閱云服務(wù)，根據(jù)選擇情況向廠商支付相應(yīng)訂閱費。從廠商角度，可選擇固定定價或按用量定價方式，目標是最大化預期利潤。

3 模型分析

本節(jié)針對兩種情形對模型進行求解：(1)不考慮計算資源約束；(2)考慮計算資源約束。區(qū)分這兩種情形有其現(xiàn)實意義：當廠商在進入云服務(wù)市場的早期階段，或者在對已有計算資源進行大規(guī)模擴容后，廠商的計算資源相對現(xiàn)有客戶需求來說通常存在明顯富裕，此時廠商通常重點關(guān)注客戶增長，價格制定中可暫不考慮計算資源容量約束，這符合情形一。隨著市場逐步成熟、訂閱客戶增多及客戶需求提升，已有計算資源可能會成為影響定價決策的重要因素，此時廠商需要甄選客戶以充分利用有限資源從市場獲最大收益，這符合情形二。另外，現(xiàn)實中廠商會權(quán)衡多項因素(如：IT市場規(guī)律、自身發(fā)展戰(zhàn)略、現(xiàn)有技術(shù)及資金條件等)分階段擴展計算資源，每次擴展計算資源的結(jié)果，會帶來一定時期內(nèi)的資源相對剩余。

3.1 不考慮計算資源約束情形

3.1.1 固定定價

用P表示廠商選擇的固定價格，類型為θ的客戶的剩余為r(θ)。對訂閱客戶有：

r(θ)=v(θ)-P≥0。

θp表示無差異客戶類型，無差異客戶可獲得的最大效用P=v(θp)。由假設(shè)1，?θ∈[θp,1]的客戶會選擇訂閱。用ΠP表示廠商預期利潤，廠商價格決策目標為：

maxθpΠP=v(θp)(1-F(θp))

(1)

式(1)為無約束優(yōu)化問題，相應(yīng)一階條件為：

v1(θp)(1-F(θp))-v(θp)f(θp)=0

由上式解得θp，進而可得廠商最大利潤ΠP。

3.1.2 按用量定價

按用量定價時，廠商可利用直接機制設(shè)計價格表。基本思路：?θi∈[0,1]，相應(yīng)價格項記為：(q(θi),p(θi))，且對于?θi,θj∈[0,1]滿足：

[IC]U(q(θi),θi)-p(θi)≥U(q(θj),θi)-p(θj)

[IR]U(q(θi),θi)-p(θi)≥0

如上條件分別稱激勵相容條件(IC)和個體理性條件(IR)。價格表L為價格項的合集。若價格表中任一價格項都滿足IC及IR條件，稱該價格表是可實施的，這意味著客戶一旦從中作出選擇，即向廠商顯示了該客戶的類型信息。

給出如下引理。

引理1：若(q(θ),p(θ))為相應(yīng)于θ的價格項，r(θ)≡U(q(θ),θ)-p(θ)為客戶剩余，則：

q1(θ)≥0,p1(θ)≥0,r1(θ)≥0。

證明：

價格項(q(θ),p(θ))滿足IC條件，也即：?θ∈[0,1]，θ是maxt∈[0,1]U(q(t),θ)-p(t)的解。相應(yīng)一階及二階條件如下：

U1(q(θ),θ)q1(θ)-p1(θ)=0，

U11(q(θ),θ)(q1(θ))2+U1(q(θ),θ)q11(θ)-p11(θ)≤0

對一階條件求θ的全導，得：

U11(q(θ),θ)(q1(θ))2+U12(q(θ),θ)q1(θ)+U1(q(θ),θ)q11(θ)-p11(θ)=0,

結(jié)合二階條件得：U12(q(θ),θ)q1(θ)≥0，

結(jié)合假設(shè)2得：q1(θ)≥0。

由一階條件得：

p1(θ)=U1(q(θ),θ)q1(θ)，

又：U1(q,θ)≥0(見假設(shè)1)，得：p1(θ)≥0。

對客戶剩余r(θ)求導得：

r1(θ)=U1(q(θ),θ)q1(θ)+U2(q(θ),θ)-p1(θ)

結(jié)合一階條件得：r1(θ)=U2(q(θ),θ)

結(jié)合假設(shè)1得：r1(θ)≥0。

以上表明：(q(θ),p(θ))滿足IC條件等同于：

p1(θ)=U1(q(θ),θ)q1(θ)，q1(θ)≥0。

結(jié)合引理1，廠商定價決策問題可表示為：

(2)

s.t[IC],[IR],p(θ)≥0,q(θ)≥0,?θ∈[0,1]

對該約束優(yōu)化問題求解，得命題1。

命題1：廠商不考慮計算資源約束、按用量定價時，可利用直接機制設(shè)計可實施的、預期利潤最大化的價格表Lo,其中價格項(q*(θ),p*(θ))按如下方法確定：

(q*(θ),p*(θ))=(q(θ),p(θ))。

其中：

q(θ)由下式確定：

U1(q(θ),θ)=U12(q(θ),θ)H(θ)

進而，可確定p(θ)：

基于命題1，得如下推論。

推論1： 當廠商不考慮計算資源約束、按用量定價時，針對高類型訂閱客戶的計算資源單位價格不高于針對低類型訂閱客戶的計算資源單位價格。

證明:

等同于論證p(θ)/q(θ)關(guān)于θ非增。

方便起見，分別記U(q(θ),θ),H(θ),p(θ)和q(θ)為U,H,p,q。有：

前已得出，對訂閱用戶，q>0，p1≥0(見引理1)。另根據(jù)Lo中：

可得：

dp/dq=p1/q1=U1≥0

顯然只需證明符合dp/dq-p/q≤0，即轉(zhuǎn)化為證明p為q的凹函數(shù)。不難得：

d2p/dq2=U11+U12/q1

又命題1論證中已得：

q1={U12(1-H1)-U122H}/{U112H-U11}

進一步得：

結(jié)合式(A.6)，得：U11=U112H，進而得：d2p/dq2≤0，即p為q的凹函數(shù)。

3.2 考慮計算資源約束情形

3.2.1 固定定價

由假設(shè)1，U(q,θ)關(guān)于q滿足凹性，意味著?θ，相應(yīng)客戶價值v(θ)存在最佳用量q(θ)。因而，當計算資源量受限時，廠商可通過價格手段把一部分利潤貢獻較低的客戶逐出市場，所節(jié)約的資源可用來服務(wù)高價值客戶?？梢姡瑥S商通過價格手段將能夠在滿足計算資源總量約束前提下，實現(xiàn)利潤最大化。

使用固定定價方式，考慮計算資源約束，此時價格決策可表示為如下問題：

maxθpv(θp)(1-F(θp))

(3)

這里，θp為無差異客戶類型，K為廠商擁有的計算資源總量，q(θ)為相應(yīng)于類型θ的客戶最佳用量。不難得出：q(θ)是由U1(q,θ)=0確定的隱函數(shù)，廠商選擇的價格P=v(θp)，有效市場為[θp,1]。利用拉格朗日定理進行求解。

L(θp,λ)=v(θp)(1-F(θp))

(4)

由庫恩-塔克定理，如果θp在滿足約束下最大化目標函數(shù)，且約束規(guī)格成立(即?θ使得q(θ)f(θ)≠0)，則存在一個值λ，滿足：

(5)

利用式(5)及互補松弛定理，可得廠商價格。

3.2.2 按用量定價

借鑒不考慮計算資源約束情形的思路，把考慮計算資源約束、按用量定價的價格決策問題轉(zhuǎn)化為在θ∈[0,1]上尋找滿足IC,IR以及計算資源約束的價格項(q(θ),p(θ))確定問題，即：

(6)

s.t. [IC],[IR],p(θ)≥0,q(θ)≥0

對如上約束優(yōu)化問題求解，得命題2。

命題2：廠商按用量定價，目標為利潤最大化，考慮計算資源總量約束。廠商利用直接機制設(shè)計可實施的價格表Lc，其中價格項(q*(θ),p*(θ))按如下方法確定：

(q*(θ),p*(θ))=(qc(θ),pc(θ))。

其中：

qc(θ)由下式確定；

U1(q(θ),θ)-U12(q(θ),θ)H(θ)-λ=0

進而，可確定pc(θ)：

U(qc(θ),θ)-U2(qc(θ),θ)H(θ)=λqc(θ)

(證明見附錄)

進而，得如下推論。

推論2：當λ>0時，也即計算資源產(chǎn)生約束作用，有：

證明:

該情形下K=Q(λ)。針對式(B.5)，令：

W≡U1-U12H-Q-1(K)

由隱函數(shù)定理得：

參考命題2證明過程，已得：

dQ(λ)/dλ<0，

也即：dQ-1(K)/dK<0。

另已得Λ11<0，因而有dqc/dK>0，表明廠商若增加計算資源供應(yīng)，會使得qc(θ)增加。

進一步得：

檢查上式符號，只需檢查dpc/dqc-pc/qc。借鑒引理1論證思路，易得pc是qc上的凹函數(shù)，即：d(pc/qc)/dK≤0。

另由dqc/dK<0，得：

推論2表明：當廠商計算資源增加使得單位資源價格降低時，會吸引一部分低類型客戶進入市場，因而可提升市場覆蓋；同時，計算資源拓展增加了訂閱客戶的使用量。可見高類型客戶是廠商的戰(zhàn)略客戶。

4 數(shù)值算例

云服務(wù)市場中，通常，低端客戶群體規(guī)模較大，高端客戶群體規(guī)模較小。這里低端客戶指使用云服務(wù)的頻度較低，每次使用所需計算資源量較少，從服務(wù)使用中所得效用往往較低的客戶，這類客戶如：云存儲普通用戶、使用云平臺服務(wù)開發(fā)應(yīng)用的個體開發(fā)者、使用在線ERP/CRM等管理軟件的小微企業(yè)用戶等；高端客戶指使用云服務(wù)的頻度較高，每次使用所需計算資源量較大，從服務(wù)使用中所得效用通常較高的客戶，這類客戶如：云存儲VIP用戶、使用云平臺服務(wù)開發(fā)應(yīng)用的軟件企業(yè)、使用在線ERP/CRM等管理軟件的大中型企業(yè)用戶等。鑒于指數(shù)分布密度函數(shù)形態(tài)上呈右偏且f1(θ;β)<0，適于描述云服務(wù)市場中客戶類型分布，故本算例中取客戶類型服從指數(shù)分布。

假設(shè)客戶效用函數(shù)為：

U(q,θ)=θq-q2/2，

分布函數(shù)及密度函數(shù)分別為：

F(θ;β)=1-e-θ/β，f(θ;β)=e-θ/β/β。

其中：β為外生參數(shù)。按本文模型進行計算，結(jié)果整理至表1。

表1 計算結(jié)果

圖1給出了β取兩種不同值時的客戶類型密度函數(shù)f(θ)。β取值較小時低類型客戶在市場中所占比例更大，相應(yīng)f(θ)曲線更陡。經(jīng)計算，F(xiàn)(1;0.1)=0.99995，F(xiàn)(1;0.2)=0.99326，說明β=0.1及β=0.2都可覆蓋99%以上的客戶，因此，本文選取β=0.1及β=0.2兩個取值來進一步揭示不同定價方式下的廠商利潤、客戶剩余及計算資源量之間的關(guān)系。

圖1 客戶類型分布密度

(1)計算資源(K)與影子價格(λ)

計算資源量K與影子價格λ的關(guān)系見圖2。

圖2 計算資源與影子價格

圖2顯示：1)K值逐增過程中，λ值遞減，直到λ=0，此后繼續(xù)增加K值不再影響λ值；2)β越小，相應(yīng)λ(K)曲線越靠近左下方；3)針對β任一取值情形，固定定價時的λ(K)曲線斜率與按用量定價時的λ(K)曲線斜率不同，前者小于后者。

如上揭示的現(xiàn)實意義：1)客戶類型結(jié)構(gòu)影響計算資源供給。若低類型客戶在市場中所占比重越多，此時計算資源需求主要來自低端客戶，市場所需的總計算資源量較小，說明廠商在計算資源建設(shè)方面的投入要求相對較低；反之，若高類型客戶在市場中所占比重增加，則市場所需的總計算資源量較大，說明廠商在計算資源建設(shè)方面的投入要求較高。2)當計算資源起約束作用時，對計算資源擴容會降低影子價格，即計算資源邊際收益下降，表明云服務(wù)仍遵循一般意義上產(chǎn)品生產(chǎn)的經(jīng)濟規(guī)律，這一點區(qū)分于其他信息產(chǎn)品的交付方式，如：傳統(tǒng)的基于永久版權(quán)的軟件產(chǎn)品銷售、數(shù)字音樂下載服務(wù)等，提供這類產(chǎn)品或服務(wù)的成本可忽略故一般不作為價格決策的依據(jù)。本文認為，計算資源的這一經(jīng)濟規(guī)律是由云服務(wù)廠商負責托管、運營、維護計算服務(wù)這一特點決定的。

(2)廠商利潤(Π)與客戶剩余(r)

計算資源量K、客戶類型分布β與廠商利潤Π及客戶剩余r的關(guān)系見圖3、圖4。

圖3 廠商利潤

針對圖3，概括如下：

1)廠商利潤隨計算資源量增加而增加，直到到達某個閾值，之后即使計算資源進一步增加也不會使利潤增加，表明此時計算資源能充分滿足市場需求。

圖4 客戶剩余

針對圖4，概括如下：

1)給定β不同取值，廠商無論采用哪種定價方式，資源受限時客戶總剩余隨資源量增加而增加，當資源充分滿足市場需求時客戶總剩余達到最大，之后即使再增加資源，客戶總剩余不變。

2)資源充足情形，廠商按固定定價時客戶總剩余相對較高。資源受限情形，廠商按用量定價時客戶總剩余相對較高。注意：本算例中客戶剩余是β及K的非線性函數(shù)且具較高復雜性，該結(jié)果僅針對特定情形，對于β其他取值情形需另行計算及分析。

所揭示的現(xiàn)實意義：1)關(guān)于廠商利潤。廠商擁有計算資源情況影響廠商利潤，不同定價方式對應(yīng)不同資源量閾值，超量資源不能增加利潤；計算資源充足時廠商按用量定價可實現(xiàn)利潤最大；資源受限時，客戶類型結(jié)構(gòu)會影響利潤，此時廠商應(yīng)計算后再選擇定價方式。2)關(guān)于客戶剩余及廠商定價策略。資源受限時，廠商增加計算資源會提高市場中客戶總剩余從而增加客戶粘性；資源量充足時客戶總剩余達到最大，此后增加資源不能繼續(xù)增加客戶粘性。在市場培育期(此時廠商資源相對充足)，廠商為搶占市場應(yīng)采用固定定價方式。當市場壯大及市場壟斷地位確立后，廠商應(yīng)綜合資源供需及客戶類型結(jié)構(gòu)情況選擇利潤最大的定價方案。

5 結(jié)語

本文以云服務(wù)壟斷廠商利潤最大化為目標，給

出4項一般性假設(shè)，分別針對不考慮計算資源約束、考慮計算資源約束兩種情形，給出按固定定價及按用量定價的方法，進一步結(jié)合數(shù)值算例并從市場范圍、廠商利潤、客戶剩余、社會福利及計算資源影子價格等多方面對兩種定價方式進行對比。基于算例得到如下管理啟示：1)客戶類型分布差異影響廠商利潤、客戶剩余及計算資源需求，廠商應(yīng)努力掌握客戶類型構(gòu)成信息，這是價格決策的基礎(chǔ)工作；2)計算資源充足時，廠商為實現(xiàn)利潤最大應(yīng)采用按用量定價，計算資源受限且市場中高類型客戶占比較明顯時，需做進一步計算，根據(jù)計算結(jié)果作出選擇；3)兩種定價方式的市場范圍與客戶類型分布及可用計算資源量有關(guān)，按用量定價的市場覆蓋更大；4)增加計算資源有利于提升社會福利，政府通過投資云服務(wù)基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)、鼓勵技術(shù)創(chuàng)新等措施有助于降低廠商計算資源建設(shè)成本。

本文針對單邊壟斷市場，沒有探討其他市場形態(tài)(如寡頭等)，也沒有考慮影響定價決策的其他因素(如網(wǎng)絡(luò)外部性、捆綁服務(wù)、跨期定價等)，另外，本文中廠商決策目標是利潤最大化，現(xiàn)實中也存在其他情形(如針對公共資源的壟斷組織通常追求社會福利最大化)。這些問題有待后續(xù)研究。

附錄1：

(命題1證明)

不考慮計算資源約束、按用量定價的價格決策問題轉(zhuǎn)錄如下：

(A.1)

s.t. [IC],[IR],p(θ)≥0,q(θ)≥0,?θ∈[0,1]

(A.2)

廠商總利潤為：

(A.3)

(A.4)

結(jié)合引理1論證過程，式(A.1)價格決策問題轉(zhuǎn)化為：如何選擇用量函數(shù)q(θ)，在服從相關(guān)約束下，實現(xiàn)廠商預期利潤最大化，即：

(A.5)

令：Λ(q(t),θ)=U(q(t),θ)-U2(q(t),θ)H(θ)，可證明：可確定用量函數(shù)q(t)，t∈[0,1]，符合如下兩個條件：

(a)?θ，Λ(q(t),θ)在t=θ處取得最大值，即：θ是maxt∈[0,1]Λ(q(t),θ)的解；

論證如下：

首先考察條件(a)。

若θ是maxt∈[0,1]Λ(q(t),θ)的解，則如下一階條件成立：?Λ(q(θ),θ)/?q(θ)=0，也即：

U1(q(θ),θ)-U12(q(θ),θ)H(θ)=0

(A.6)

(A.7)

經(jīng)計算得：

(A.8)

綜上知：式(A.6)確定隱函數(shù)q(θ)。顯然：?θ，當選取用量q(θ)時，式(A.6)及式(A.8)皆滿足，表明Λ(q(θ),θ)在q(θ)處取得極大值；同時，式(A.8)表明Λ(q(t),θ)關(guān)于用量q(t)(t∈[0,1])是嚴格(向下)凹的。說明用量取q(θ)時Λ(q(θ),θ)即最大值，θ是下式解：

maxt∈[0,1]Λ(q(t),θ)。

其次，驗證條件(b)。

對式(A.6)求θ的全導，整理后得：

結(jié)合式(A.8)以及模型假設(shè)2和4，顯然有：q1(θ)>0。

附錄2：

(命題2證明)

考慮計算資源約束、按用量定價的價格決策問題轉(zhuǎn)錄如下：

(B.1)

采用命題1式(A.2)-式(A.4)的相同方法，式(B.1)問題轉(zhuǎn)化為：選擇用量q(θ)，遵循相關(guān)約束，實現(xiàn)廠商預期利潤最大化，即：

(B.2)

構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：

(B.3)

存在λ，滿足：

(B.4)

廠商實現(xiàn)利潤最大化需滿足：

(B.5)

(B.6)

由式(B.5)確定用量，記qc(θ)=q(θ,λ)。

由式(A.2)確定價格：

最優(yōu)價格項即：

(1)確定qc(θ)。

方便起見，把q(θ)和H(θ)分別記為q和H。令：

Λ(q,θ)=U(q,θ)-U2(q,θ)H，

相應(yīng)有：Λ11(q,θ)=U11(q,θ)-U112(q,θ)H，結(jié)合式(B.5)有：

Λ11(q,θ)=U11(q,θ)-U112(q,θ)(U1(q,θ)-λ)/U12(q,θ)

結(jié)合模型假設(shè)，可得：λ>0且U1(q,θ)≠0時，Λ11(q,θ)<0，表明Λ(q,θ)關(guān)于q是向下凹的。因而，給定?λ，式(B.5)能唯一確定qc(θ)。

令：Λ(q,θ)=U(q,θ)-U2(q,θ)H，經(jīng)計算得：

(B.7)

U(qc(θ),θ)-U2(qc(θ),θ)H(θ)=λqc(θ)。

(3)確定λ。

前已得出式(B.5)隱式確定q(θ,λ)。在式(B.5)基礎(chǔ)上，令：Γ(q,θ,λ)=U1(q,θ)-U12(q,θ)H-λ。

由Γ(q,θ,λ)=0可得q=q(θ,λ)。

表明q(θ,λ)關(guān)于λ單調(diào)減。

由dq(θ,λ)/dλ<0可得dQ(λ)/dλ<0，說明Q(λ)關(guān)于λ單調(diào)減，資源約束情形λ=Q-1(K)。