田聰 鹿翔 張英杰2)? 夏云杰2)

1)(曲阜師范大學物理工程學院,曲阜 273165)

2)(山東省激光偏光與信息技術重點實驗室,曲阜師范大學物理系,曲阜 273165)

1 引 言

基于量子態(tài)間最短演化時間定義的量子速率極限時間引起了國內(nèi)外研究者的廣泛關注,并用來估量由給定量子態(tài)演化到期望目標態(tài)的最大速率.對量子系統(tǒng)速率極限時間概念的研究主要針對閉合量子系統(tǒng)和開放量子系統(tǒng).到現(xiàn)在,對閉合系統(tǒng)幺正動力學過程中量子速率極限的概念以及推廣應用進行了較為深入的研究[1?6],將Mandelstam-Tamm(M-T)型界[1]和 Margolus-Levitin(M-L)型界[3]結(jié)合在一起,給出了量子速率極限時間的定義表達式[4],用來描述在不顯含時間的系統(tǒng)哈密頓量幺正動力學過程中兩正交態(tài)間演化速率.近年來,國內(nèi)外研究者將量子速率極限時間的研究從閉合系統(tǒng)轉(zhuǎn)移到開放系統(tǒng)動力學上來.2013年,Deffner和Lutz[7]利用幾何辦法由布魯斯角出發(fā)分別推導出了開放系統(tǒng)量子速率極限的M-T型界和M-L型界,并將這兩種類型的界統(tǒng)一起來定義了量子速率極限時間.2018年,Campaioli等[8,9]用依賴于測量距離角度在廣義布洛赫球中狀態(tài)的方法推導了描述任意量子態(tài)在幺正或者非幺正動力學過程中的量子速率極限時間.

一個快速演化的系統(tǒng)動力學能夠起到保護量子關聯(lián)態(tài)的魯棒性,有利于量子態(tài)在量子模擬和量子計算中的應用[10].在實際系統(tǒng)動力學過程中怎樣加快量子態(tài)演化的研究是一個重要方向,這不僅對理解量子速率極限的基本概念具有重要的理論意義,而且對基于實際系統(tǒng)的量子通信[11]、量子計算[12]、量子計量學[13]以及量子最優(yōu)調(diào)控[14]的發(fā)展很有裨益,近年來也引起了廣泛關注并報道了一些操控量子態(tài)演化速率的工作[15?20],利用文獻[7]中的量子速率極限時間,我們通過對量子比特實施一個連續(xù)的經(jīng)典場驅(qū)動,調(diào)節(jié)經(jīng)典場驅(qū)動強度給出了一個加快量子系統(tǒng)演化速率的理論方案[21].美國的一個研究組基于腔量子電動力學系統(tǒng),通過可控的原子系綜環(huán)境,實驗上實現(xiàn)了開放量子系統(tǒng)動力學過程中量子態(tài)的加速演化[22].鑒于糾纏相干光場便于制備和操控[23,24],本文以雙模糾纏相干光場作為調(diào)節(jié)對象[25,26],利用一個二能級原子與其中一模式光場發(fā)生共振相互作用,探究如何通過雙模糾纏相干光場來操控二能級原子系統(tǒng)量子態(tài)的最大演化速率問題.但迄今為止,哪一種量子速率極限時間能更好地、普適地、嚴格地適用于任意系統(tǒng)量子態(tài)動力學過程,還是值得繼續(xù)深入研究的重要問題.Deffner和Lutz[7]所給出的量子速率極限時間和Campaioli等[9]推導的量子速率極限時間得到了人們的廣泛關注.我們首先針對本文的二能級原子系統(tǒng)量子態(tài)的動力學過程,比較上面兩種量子速率極限時間哪個能更好地表征量子態(tài)最大演化速率;基于較好的量子速率極限時間來分析雙模糾纏相干光場參數(shù)對原子系統(tǒng)量子態(tài)最大演化速率的操控.研究發(fā)現(xiàn):2018年Campaioli等[9]給出的量子速率極限時間能更好地分析二能級原子系統(tǒng)量子態(tài)最大演化速率的調(diào)控問題.與原子發(fā)生相互作用光場的相干參數(shù)在一定范圍內(nèi)能調(diào)控原子系統(tǒng)量子態(tài)動力學過程中的最大演化速率.當與原子發(fā)生相互作用光場的相干參數(shù)不能很好地利用該參數(shù)來操控量子態(tài)的最大演化速率時,鑒于雙模糾纏相干光場的糾纏性,可以通過調(diào)節(jié)未與原子發(fā)生相互作用的另一光場的相干參數(shù)來遠程操控原子系統(tǒng)量子態(tài)動力學過程中所能達到的最大演化速率.

2 理論模型與體系的波函數(shù)

其中

為了更好地研究二能級原子系統(tǒng)量子態(tài)在動力學過程中的演化速率,我們需要通過對光場a和b的自由度求跡,得到原子體系在動力學過程中的約化密度矩陣,

其中

接下來可以根據(jù)近年來普遍關注的量子速率極限時間來表征二能級原子體系量子態(tài)在動力學過程中的量子演化速率問題.

3 量子速度極限時間

量子體系演化過程中所能達到的最大演化速率通?？梢杂昧孔铀俾蕵O限時間來表征,量子速率極限時間是兩量子態(tài)間演化所需的最短時間的一個緊的界.近年來,人們廣泛關注如何給出表征量子態(tài)最大演化速率的一個普適的、便于計算的、更緊的最短時間的界.基于不同的兩量子態(tài)間距離的度量方法以及不同的動力學演化信道方式,已經(jīng)給出了很多種不同量子速率極限時間的定義.我們主要針對兩種便于計算并且經(jīng)常被用來表征不同體系量子態(tài)最大演化速率的量子速率極限時間來分析.考慮系統(tǒng)初始量子態(tài)和其目標演化態(tài)ρs(τ),t為初始態(tài)到目標態(tài)的實際演化時間,2013年,Deffner 和 Lutz[7]用幾何方法將 MT型界和M-L型界統(tǒng)一,并定義了描述量子系統(tǒng)初始量子態(tài)為純態(tài)情形的量子速率極限時間:

為了更準確地表征二能級原子系統(tǒng)量子態(tài)在相干光場中的動力學演化速率問題,首先需要比較上面兩種量子速率極限時間在本文動力學過程的松緊性.考慮雙模糾纏相干光場的其一模式與二能級原子相互作用,利用(7)和(8)式分別計算出二能級原子初始量子態(tài)到目標演化態(tài)動力學過程的不同量子速率極限時間.兩種量子速率極限時間是初始量子態(tài)參數(shù)q、雙模糾纏相干光場參數(shù)(a,b)、光場與原子間耦合參數(shù)g和實際演化時間t等的復雜函數(shù),數(shù)值分析這些參數(shù)對兩種量子速率極限時間的影響.這里值得我們指出的是糾纏相干光場參數(shù)a和b的取值范圍,由于在時不正交,而在 |α|>2 和時近似正交;本文旨在利用雙模糾纏相干態(tài)的糾纏性來調(diào)控二能級原子量子態(tài)的演化速率,故下文中為方便起見,主要考慮雙模糾纏相干光場的參數(shù)為正實數(shù)且滿足

為了進一步證實Campaioli等[9]的量子速率極限時間為最短演化時間更緊,圖2給出了二能級原子初始處于最大相干性為1的狀態(tài)θ=3π/4 時,給定不同的實際演化時間τ=1 和τ=5,兩種量子速率極限時間與實際演化時間的比值τQSL/τ隨雙模糾纏相干光場參數(shù)a和b的變化規(guī)律.Campaioli等[9]的量子速率極限時間表達式(8)與Deffner和Lutz[7]提出的表達式(7)在糾纏相干光場參數(shù)a和b的變化范圍內(nèi)均為τQSL/τ<1,并且我們同樣可以得到Campaioli等[9]給出的量子速率極限時間表達式(8)更緊.并且通過比較圖2(a)和圖2(c),以及圖2(b)和圖2(d),實際演化時間τ=5 時Campaioli等[9]的量子速率極限的界仍然比Deffner和Lutz[7]提出的要緊,但是兩者量子速率極限時間的差別相對減小(與τ=1 情形相比較).通過進一步數(shù)值模擬分析,發(fā)現(xiàn)在增大實際演化時間t時,在τ>6 之后,兩種量子速率極限時間的圖形基本重合.也就是說,在二能級原子系統(tǒng)的動力學過程中,若考慮從原子初始態(tài)到經(jīng)過較長時間實際演化的目標態(tài),Campaioli等[9]給出表達式(8)和Deffner和Lutz[7]提出的表達式(7)在表征原子體系動力學過程的最大演化速率問題方面是等價的.根據(jù)上面的分析,我們采用2018年Campaioli等[9]給出的量子速率極限時間表達式(8)來分析二能級原子系統(tǒng)量子態(tài)演化速率的調(diào)控問題.

4 量子態(tài)最大演化速率的參數(shù)調(diào)控

基于量子速率極限時間概念,為了清晰地分析二能級原子系統(tǒng)與光場相互作用下量子態(tài)動力學過程中所能達到的最大演化速率問題,首先考慮兩束處于糾纏相干光場中未參與相互作用光場b的相干參數(shù)β=0 的情形,這時整個系統(tǒng)描述為處于薛定諤貓態(tài)的光場a與二能級原子相互作用,光場b與原子系統(tǒng)量子態(tài)的動力學行為無任何影響.下面研究光場a的相干參數(shù)a對原子初始態(tài)到目標演化態(tài)ρs(τ)動力學過程的量子速率極限時間的影響.圖3給出了對于不同實際演化目標態(tài)ρs(τ)而言,原子系統(tǒng)量子態(tài)的量子速率極限時間與實際演化時間的比值τQSL/τ隨光場a的相干參數(shù)a的變化規(guī)律曲線.

最后,當目標態(tài)對應的實際演化時間較長時(τ=15 ),在β=0 時,光場a的相干參數(shù)a對量子速率極限時間的影響較小,不能很好地利用參數(shù)a來操控量子態(tài)的演化速率(如圖3中τ=15對應曲線).通過引入雙模糾纏光場中未參與相互作用光場b的相干參數(shù)b來操控經(jīng)過較長演化時間后原子系統(tǒng)量子態(tài)的演化速率.對于雙模糾纏相干光場初態(tài)為的情形,由圖5(a)可知,隨著b的增加τQSL/τ增大;對于雙模糾纏相干光場初態(tài)為時,圖5(b)給出隨著b的增加τQSL/τ同樣也是增大的.可見對于所考慮的目標態(tài)對應的實際演化時間較長時,原子系統(tǒng)量子態(tài)演化過程中所能達到的最大演化速率被減小,減小了量子態(tài)動力學過程中演化速率被加速提升的空間.綜上所述,當原子與單模相干光場a相互作用時,光場參數(shù)不能很好地來操控量子態(tài)的演化速率時,我們可以引入另外一個單模相干光場b形成雙模糾纏相干光場,這時兩光場模式間的糾纏可以實現(xiàn)光場b遠程調(diào)控原子系統(tǒng)量子態(tài)的動力學過程所能達到的最大演化速率.

5 結(jié) 論

基于腔量子電動力學理論,考慮將雙模糾纏相干光場中某一光場模式與一個二能級原子發(fā)生共振相互作用的理論模型,利用量子速率極限時間概念我們主要探究如何操控原子系統(tǒng)量子態(tài)動力學過程中所能達到的最大演化速率問題.鑒于Deffner和Lutz[7]所給出的量子速率極限時間和Campaioli等[9]推導的量子速率極限時間得到了人們的廣泛關注,本文首先比較了兩種量子速率極限時間表征量子態(tài)最大演化速率的優(yōu)越性,得到2018年Campaioli等[9]給出的量子速率極限時間表達式(8)在描述二能級原子系統(tǒng)量子態(tài)演化所需的最短時間的界時更緊.本文主要基于Campaioli等[9]給出的量子速率極限時間分析了雙模糾纏相干光場的參數(shù)對原子系統(tǒng)量子態(tài)最大演化速率的操控,得到了一些有意義的結(jié)論:與原子發(fā)生相互作用光場的相干參數(shù)在一定范圍內(nèi)能調(diào)控原子系統(tǒng)量子態(tài)動力學過程中的最大演化速率;當與原子發(fā)生相互作用光場的相干參數(shù)不能很好地利用該參數(shù)來操控量子態(tài)的最大演化速率時,鑒于雙模糾纏相干光場奇妙的糾纏性,可以通過調(diào)節(jié)未與原子發(fā)生相互作用的另一模式光場的相干參數(shù)來遠程操控原子系統(tǒng)量子態(tài)動力學過程中所能達到的最大演化速率.