張菊平 郭昊明 荊文君 靳禎?

1)(山西大學復雜系統(tǒng)研究所,太原 030006)

2)(山西大學,疾病防控的數(shù)學技術(shù)與大數(shù)據(jù)分析山西省重點實驗室,太原 030006)

1 引 言

謠言,指的是沒有相應事實基礎,卻被捏造出來并通過一定手段推動傳播的言論.近年來,隨著移動互聯(lián)網(wǎng)+時代的到來,使信息化傳播門檻進一步降低,加之移動通信工具的普遍,謠言傳播變得速度更快,作用力更強.網(wǎng)絡謠言滋生蔓延,不僅敗壞個人名譽,給受害人造成極大的精神困擾,更損害國家形象,影響社會穩(wěn)定.因此,對于謠言傳播規(guī)律的研究十分必要.謠言傳播模型的研究始于20世紀60年代,Daley和Kendall[1]提出的DK模型,按照謠言傳播把受眾分為三類,未曾聽過謠言的人、傳播謠言的人和聽過謠言但不傳播謠言的人,利用隨機過程的方法進行分析.Sudbury[2]認為可以借鑒傳染病SIR(susceptible-infectiveremoved)模型研究謠言的傳播.Zanette[3,4]和Nekovee等[5]分別在小世界網(wǎng)絡和無標度網(wǎng)絡上研究謠言的傳播.Moreno等[6]基于SIR模型在非均勻網(wǎng)絡上建立網(wǎng)絡謠言傳播模型.Zhao等[7,8]研究提出了遺忘機制、記憶機制對謠言傳播的影響.Deng和Li[9]在研究謠言傳播模型時考慮了遺忘率和記憶率.Zan等[10]基于SIR模型提出了具有反擊機制的謠言傳播模型.Wang等[11]基于SIR模型提出了帶有信任機制的謠言傳播模型.Yang等[12]和He等[13]研究了真理傳播和辟謠策略對于謠言傳播的影響.Huo等[14]考慮了傳播節(jié)點的活躍度,將謠言傳播者分為高活躍狀態(tài)下的傳播者和低活躍狀態(tài)下的傳播者,最后得出謠言傳播者的活躍程度對于謠言傳播有著非常大的影響.Zhang和Zhu[15]建立了 I2S2R(ignorants-spreaders-stifler)的謠言傳播動態(tài)模型.Xiao等[16]提出了一種基于進化博弈和反謠言信息的謠言傳播動力學模型,證明謠言不僅受到反謠言信息的影響,而且還受到用戶行為和心理因素的影響.顧亦然和夏玲玲[17]基于在線社交網(wǎng)絡建立SEIR(susceptible-exposedinfective-removed)謠言傳播模型,并提出重要熟人免疫策略.王輝等[18]研究了社會加強效應對謠言傳播的影響.張亞明等[19]研究了雙重社會強化對謠言傳播的影響.萬貽平等[20]在謠言傳播模型的基礎上增加謠言清除者,研究了謠言清除過程的網(wǎng)絡謠言傳播與抑制.冉茂潔等[21]同時考慮個體興趣度差異和辟謠機制問題,提出建立了IWSR(ignorant-weak spreader-strong spreader-removal)謠言傳播模型.趙敏等[22]考慮媒體正面宣傳報道和負面報道對謠言傳播的影響,基于社交網(wǎng)絡建立了新的謠言傳播模型.

在謠言傳播過程中,一些人已知事實真相或經(jīng)過判斷知道真相,并傳播有關謠言的真實信息,但是已有的研究未考慮真實信息傳播對于謠言傳播的動力學影響.因此加入真實信息的傳播者會使得謠言傳播更加符合實際,而且現(xiàn)有的謠言模型對其進行數(shù)學分析的較少.本文考慮真實信息傳播的影響,建立謠言傳播模型并對其進行動力學分析,第2節(jié)根據(jù)謠言傳播的機理建立了含有真實信息傳播者的謠言傳播SITR模型;第3節(jié)給出了謠言傳播的閾值條件;第4節(jié)討論了謠言傳播者存在真實信息傳播者不存在平衡點的條件,及謠言傳播者不存在真實信息傳播者存在平衡點的條件,并分析了它們的動力學性態(tài);第5節(jié)分析了謠言傳播者與真實信息傳播者共同存在的平衡點存在性及其動力學性態(tài);第6節(jié)數(shù)值模擬驗證理論結(jié)果;第7節(jié)為總結(jié).

2 模型的建立

在謠言傳播過程中加入真實信息的傳播者,將人群分為四類:未知者 S(susceptible),謠言的傳播者 I(infective),真實信息的傳播者 T(true),免疫者R(removed).未知者與謠言傳播者接觸率為β,接觸后未知者以概率α1成為謠言傳播者,以概率 1?α1成為免疫者;未知者和謠言傳播者與真實信息傳播者接觸,未知者和謠言傳播者以概率δ成為真實信息傳播者;謠言傳播者與謠言傳播者接觸后,謠言傳播者對謠言失去興趣變?yōu)槊庖哒叩母怕蕿?;謠言傳播者的遺忘率為θ.

用S(t),I(t),T(t)和R(t)分別表示在t時刻的未知者、謠言的傳播者、真實信息的傳播者和免疫者的數(shù)量,N(t)表示在t時刻四類人群的總數(shù),則有N(t)=I(t)+S(t)+T(t)+R(t).假設個體以恒定速率A進入人群且全部為未知者,四類人群以速率μ移出群體,他們之間的關系如圖1所示.

圖1 真實信息影響下謠言傳播流程圖Fig.1.Flow chart of rumor propagation under the influence of true information.

根據(jù)圖1,建立SITR謠言傳播模型如下:

因為系統(tǒng)(1)的前三個方程不含R,因此只考慮系統(tǒng)(1)的前三個方程,得

容易驗證系統(tǒng)(2)的正向不變集是

3 無謠言傳播者無真實信息傳播者平衡點與閾值

系統(tǒng)(2)有一個無謠言傳播者無真實信息傳播者平衡點E0(A/μ,0,0),下面用下一代矩陣法[23]求系統(tǒng)(2)的閾值.

記X=(I,T)?,?表示向量(I,T)的轉(zhuǎn)置,則

在無謠言傳播者無真實信息傳播者平衡點E0處有

定理 1當K0<1 時,系統(tǒng)(2)的無謠言傳播者無真實信息傳播者平衡點E0是局部漸近穩(wěn)定的.

4 邊界平衡點的存在性及局部漸近穩(wěn)定性

4.1 無謠言傳播者但真實信息傳播者存在的平衡點

在謠言傳播的過程中,由于真實信息傳播者的存在,人群中最終沒有了謠言傳播者,即無謠言傳播者但有真實信息傳播者平衡點存在性的問題.通過對系統(tǒng)(2)求平衡點得,如果K1>1,那么系統(tǒng)(2)存在無謠言傳播者但有真實信息傳播者平衡點簡稱為系統(tǒng)(2)的邊界平衡點E1.

證明系統(tǒng)(2)在E1處的雅可比矩陣為

當K1>1 時,方程(3)的兩個根都具有負實部.又當時,因此,當且時,是局部漸近穩(wěn)定的.

4.2 謠言傳播者存在但無真實信息傳播者的平衡點

在謠言傳播的過程中,可能會出現(xiàn)謠言傳播者存在但沒有真實信息傳播者,即I=0,T=0.令系統(tǒng)(2)右端為零,當I=0,T=0 時,得到方程

其中a=?β>0,b=?μ+β(θ+μ)>0,c=μ(θ+μ)×(1?K2).

當K2<1 時,方程(4)無正實根.當K2>1 時,方程(4)存在唯一正根其中,?=[?μ+β(θ+μ)]2?4?βμ(θ+μ)(1?K2).故當K2>1 時,系統(tǒng)(2)存在有謠言傳播者但無真實信息傳播者的平衡點我們稱為邊界平衡點E.2

定理 3當K2>1,且時,系統(tǒng)(2)的邊界平衡點E2是局部漸近穩(wěn)定的.

證明系統(tǒng)(2)在E2處的雅可比矩陣為

由2位具有多年影像診斷經(jīng)驗的核醫(yī)學醫(yī)師對所有患者的影像學資料進行背對背閱片，對受試者病灶感興趣區(qū)（region of interest，ROI）進行勾畫，并計算其最大標準攝取值（maximum standard uptake value，SUVmax）。18F-FDG PET/CT陽性的診斷標準為18F-FDG攝取的SUVmax高于周圍本底水平（一般SUVmax≥2.5）或病灶同機平掃CT具有典型惡性形態(tài)學征象。

相應的特征方程為

其中,

q0=特征方程有一個特征根為

另外兩個特征根滿足方程

時,即

系統(tǒng)(2)的邊界平衡點E2是局部漸近穩(wěn)定的.令直線的斜率為

綜上所述,當K1>1,且時,系統(tǒng)(2)存在邊界平衡點E1,且E1是局部漸近穩(wěn)定的(見圖2).當K2>1,且K1

圖2 K 1 與 K 2的關系圖,參數(shù)取值為 α1=0.6,β=0.6,A=0.2,μ=0.2,θ=0.01,?=0.01Fig.2.Diagram of K 1 and K 2.The parameter values are α1=0.6,β=0.6,A=0.2,μ=0.2,θ=0.01,?=0.01.

5 正平衡點的存在性及局部穩(wěn)定性

下面求在謠言傳播中,謠言傳播者和真實信息傳播者共存的平衡點,為了簡便起見稱其為正平衡點.

令系統(tǒng)(2)右端為零,當I=0,T=0 時,解得

其中,I?滿足方程

a0=方程(6)的判別式為

若正平衡點E?(S?,I?,T?)存在,則要求S?>0,I?>0,T?>0.可得到0K1.又因為故

下面分情況討論方程(6)正根的存在性.

情形 1當時,有c0<0,所以

情形 2當時,有c0=0,?1=b02>0.

(i)當a0>0,b0<0,即時,方程(6)有唯一正實根因此,系統(tǒng)(2)存在唯一正平衡點

(ii)當a0<0,即?>(1? α1)β時,有b0>0,此時方程(6)有唯一正實根

情形 3當時,有c0>0.

(ii)當a0<0,即?>(1? α1)β時,有b0>0,?1>0.此時方程(6)有唯一正實根I8?=(舍去).因此,系統(tǒng)(2)的正平衡點存在性僅在K2>K1范圍內(nèi)考慮.

綜上所述,系統(tǒng)(2)平衡點的存在性分下面兩種情形:

圖3 K 1 與 K 2 關系圖(α1=0.7,β=0.9,A=0.2,μ=0.2,θ=0.01)(a)?=0.01,? <(1? α1)β ;(b)?=0.3,?>(1?α1)βFig.3.Diagram of K 1 and K 2(α1=0.7,β=0.9,A=0.2,μ=0.2,θ=0.01 ):(a)?=0.01,? <(1? α1)β ;(b)?=0.3,?>(1?α1)β.

2)?>(1? α1)β:具體見圖3(b).

因此,我們進一步表示系統(tǒng)(2)平衡點之間的關系見表1.

定理4當且?<(1?α1)β時,如果

那么系統(tǒng)(2)的正平衡點E1?是局部漸近穩(wěn)定的.

證明系統(tǒng)(2)在正平衡點E?(S?,I?,T?)處的雅可比矩陣為

相應的特征方程為

表1 系統(tǒng)(2)平衡點之間的關系Table 1. Relationship table between the equilibria of system(2).

和

把I1?代入得從而知W3與W2同號.進一步把I1?代入W2,由 Hurwitz 判據(jù)[24]可知,當W2>0,即

時,E1?是局部漸近穩(wěn)定的.

注:1)可類似證明其他正平衡點的穩(wěn)定性.

2)當?=0 時,閾值K0,無謠言傳播者無真實信息傳播者平衡點E0,及無謠言傳播者但真實信息傳播者存在的平衡點E1沒有變化;謠言傳播者存在但無真實信息傳播者的平衡點E2的大小發(fā)生變化,影響著雙穩(wěn)區(qū)域;謠言傳播者真實信息傳播者共存的平衡點(即正平衡點)存在的條件及個數(shù)發(fā)生變化,影響著其動力學性態(tài).

6 數(shù)值模擬

為了驗證理論結(jié)果,下面對系統(tǒng)(2)進行數(shù)值模擬.

參數(shù)取值為α1=0.3,β=0.6,A=0.2,μ=0.2,θ=0.01,?=0.01,δ=0.15時,K1=0.75<1,K2=0.857<1,則E0漸近穩(wěn)定(見圖4).

參數(shù)取值為α1=0.7,β=0.9,A=0.2,μ=0.2,θ=0.01,?=0.01.當取δ=0.36時,K1=則E1漸近穩(wěn)定(見圖5).當取δ=0.22時,K2=3>1,K1=1.1

從圖5可以看出,隨著謠言的傳播,謠言傳播者的數(shù)量會達到一個峰值,之后不斷下降,真實信息傳播者數(shù)量隨著時間逐漸增大,最后達到穩(wěn)定狀態(tài).即系統(tǒng)(2)達到?jīng)]有謠言傳播者,只有真實信息傳播者和易感者的穩(wěn)定狀態(tài).從圖6可以看出,隨著謠言的傳播,謠言傳播者的數(shù)量逐漸增加,真實信息傳播者數(shù)量會逐漸減少變?yōu)榱?最后達到穩(wěn)定狀態(tài).即系統(tǒng)(2)達到?jīng)]有真實信息傳播者,只有謠言傳播者和易感者的穩(wěn)定狀態(tài).

參數(shù)取值為α=0.4,β=0.7,A=0.2,μ=0.2,?=0.01,θ=0.01,δ=0.234,且滿足值不相同時,系統(tǒng)(2)的解會趨于不同的邊界平衡點(見圖7).

參數(shù)取值為α1=0.7,β=0.9,δ=0.3,A=0.2,μ=0.2,θ=0.01,則2.21429.當取?=0.01時,?=0.01<(1?α1)β=是漸近穩(wěn)定的(見圖8).當取?=0.3時,?=0.3>(1?α1)β=0.27,E2?是漸近穩(wěn)定的(見圖9).

取α1=0.5,β=0.6,δ=0.24,A=0.2,μ=0.2,θ=0.01,則當取是漸近穩(wěn)定的(見圖10).

圖4 α1=0.3,β=0.6,A=0.2,μ=0.2,θ=0.01,?=0.01,δ=0.15時,(a)S,I,T的時間序列圖和(b)I-T相平面圖Fig.4.When α1=0.3,β=0.6,A=0.2,μ=0.2,θ=0.01,?=0.01,δ=0.15,(a)time series graph of S,I,and T;(b)phase plan of I-T.

圖5 α1=0.7,β=0.9,A=0.2,μ=0.2,θ=0.01,?=0.01,δ=0.36時,(a)S,I, T 的時間序列圖和(b)I-T 相平面圖Fig.5.When α1=0.7,β=0.9,A=0.2,μ=0.2,θ=0.01,?=0.01,δ=0.36,(a)time series graph of S,I,and T;(b)phase plan of I-T.

圖6 α1=0.7,β=0.9,A=0.2,μ=0.2,θ=0.01,?=0.01,δ=0.22時,(a)S,I, T 的時間序列圖和(b)I-T 相平面圖Fig.6.When α1=0.7,β=0.9,A=0.2,μ=0.2,θ=0.01,?=0.01,δ=0.22,(a)time series graph of S,I,and T;(b)phase plan of I-T.

圖7 當 T(0)不相同時,系統(tǒng)(2)的解趨于不同的邊界平衡點(a)I 的時間序列圖;(b)時間增加后 I 的時間序列圖Fig.7.When T(0)is different,the solution of system(2)tends to the different boundary equilibrium:(a)Time series graph of I;(b)time series graph of I after time increment.

從圖8—圖10可看出,隨著謠言的傳播,易感者數(shù)量先減小后增大,謠言傳播者的數(shù)量會先增大后減小,真實信息傳播者數(shù)量逐漸增大,最后達到穩(wěn)定狀態(tài).即系統(tǒng)(2)達到同時存在易感者、言傳播者和真實信息傳播者的穩(wěn)定狀態(tài).

從圖11(a)可以看出,真實信息傳播者的初始值影響著謠言傳播者的峰值以及謠言傳播的時間,真實信息傳播者的初始值越大謠言傳播者的峰值越小,峰值到達的時間越早,謠言滅絕得越快.從圖11(b)可以看出,謠言傳播者的初始值影響著謠言傳播者的峰值以及謠言傳播者峰值到達的時間,謠言傳播者的初始值越大謠言傳播者的峰值越大,峰值到達的時間越早,但不影響謠言持續(xù)的時間.

圖8 α1=0.7,β=0.9,A=0.2,μ=0.2,θ=0.01,?=0.01,δ=0.3時,(a)S,I,T 的時間序列圖和(b)I-T 相平面圖Fig.8.When α1=0.7,β=0.9,A=0.2,μ=0.2,θ=0.01,?=0.01,δ=0.3,(a)time series graph of S,I,and T;(b)phase plan of I-T.

圖9 α1=0.7,β=0.9,A=0.2,μ=0.2,θ=0.01,?=0.3,δ=0.3時,(a)S,I,T 的時間序列圖和(b)I-T 相平面圖Fig.9.When α1=0.7,β=0.9,A=0.2,μ=0.2,θ=0.01,?=0.3,δ=0.3,(a)time series graph of S,I,and T;(b)phase plan of I-T.

圖10 α1=0.5,β=0.6,A=0.2,μ=0.2,θ=0.01,?=0.01,δ=0.24時,(a)S,I,T 的時間序列圖和(b)I-T 相平面圖Fig.10.When α1=0.5,β=0.6,A=0.2,μ=0.2,θ=0.01,?=0.01,δ=0.24,(a)time series graph of S,I,and T;(b)phase plan of I-T.

從圖11(a)得到謠言傳播者峰值Imax的散點圖(見圖12(a)),通過MATLAB擬合得到函數(shù)表達式:其中,x1=0.2881,x2=?20.11,y1=0.1296,y2=?6.828(結(jié) 果 見圖12(b)),故T(0)與Imax之間的函數(shù)關系為Imax=0.2881e?20.11T(0)+0.1296e?6.828T(0),可以看出謠言傳播者峰值Imax隨著T(0)的增加按上述函數(shù)關系衰減.

圖11 (a)不同真實信息傳播者的初始值對謠言傳播的影響;(b)不同謠言傳播者的初始值對謠言傳播的影響;參數(shù)取值α1=0.7,β=0.9,δ=0.36,A=0.2,μ=0.2,θ=0.01,?=0.01Fig.11.(a)Influence of different initial values of true information spreaders;(b)influence of different initial values of rumor spreaders on the rumor propagation.The parameter values are α 1=0.7,β=0.9,δ=0.36,A=0.2,μ=0.2,θ=0.01,?=0.01.

圖12 (a)T(0)與謠言傳播者峰值 I max 的散點圖;(b)根據(jù)數(shù)據(jù)點擬合得到的曲線圖Fig.12.(a)Scatter plot of T(0)and the peak value I max of rumor spreaders;(b)the curve graph of fitting data points.

7 結(jié) 論

本文在謠言傳播模型中加入真實信息的傳播者T,構(gòu)建了SITR謠言傳播模型,利用下一代矩陣得到了謠言傳播的閾值K0,當K0<1 時,無謠言傳播者無真實信息傳播者平衡點存在,且是局部漸近穩(wěn)定的.當K1>1 時,邊界平衡點E1存在,若成立,則邊界平衡點E1是局部漸近穩(wěn)定的.當K2>1 時,邊界平衡點E2存在,若K1m,且兩個邊界平衡點同時穩(wěn)定,即系統(tǒng)出現(xiàn)雙穩(wěn).進一步得到了不同情形下正平衡點的存在性及其條件(見表1),分析了正平衡點的穩(wěn)定性.最后通過數(shù)值模擬驗證了理論結(jié)果,且發(fā)現(xiàn)當真實信息傳播者的初始值不同時,謠言傳播者的峰值是不相同的,真實信息傳播者的初始值越大謠言傳播者的峰值越小,謠言滅絕時間越短等.因此,在謠言傳播過程中,通過對謠言傳播模型的數(shù)學分析,可以為有效降低謠言負面效應提供理論依據(jù).在謠言出現(xiàn)時,當傳播真實信息的人越多,謠言的危害性會越低.我們國家和政府要通過各種途徑傳播謠言的危害性,加大宣傳力度,加強對民眾的教育.政府和相關部門要隨時做好應急預案,確保當謠言出現(xiàn)時,以“最真信息、最快速度、最佳效果”為目標做好工作,減少謠言傳播給社會帶來的危害.

系統(tǒng)(2)中考慮了人口的移入和移出,所以人群構(gòu)成的網(wǎng)絡是一個動態(tài)網(wǎng)絡,即網(wǎng)絡中的節(jié)點和連邊都是實時變化的,在動態(tài)網(wǎng)絡中,新進入網(wǎng)絡的個體的連邊數(shù)目的分布(新個體的度分布)以及新節(jié)點與網(wǎng)絡中已有節(jié)點的連邊機制(隨機連接、度優(yōu)先連接、自適應連接等)等都影響著網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)的變化,而網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)又影響著網(wǎng)絡上的傳播過程,目前,網(wǎng)絡動態(tài)的演化對網(wǎng)絡上傳染病的傳播影響已有一些研究[25?27].如果考慮網(wǎng)絡結(jié)構(gòu),需要考慮不同的新節(jié)點度分布,和新節(jié)點與舊節(jié)點的連邊機制對網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)的影響,然后再考慮不同情況下謠言傳播的動力學行為,這是值得深入研究的內(nèi)容,下一步我們將做這些方面的研究.