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        在反芻、聯(lián)系中培養(yǎng)函數(shù)模型思想
        ——以“研究一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系”為例

        2019-09-03 07:03:26王憲成
        初中生世界 2019年32期
        關(guān)鍵詞:解決問題思想數(shù)學

        ■王憲成

        筆者于2017年參加了蘇州市初中數(shù)學青年教師基本功大賽,獲得了一等獎第一名,課題是“研究一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系”。下面,筆者以本節(jié)課的教學設(shè)計為例,談一談在反芻、聯(lián)系中培養(yǎng)學生函數(shù)模型思想的感悟及認識。

        一、教材、學情分析

        本節(jié)課內(nèi)容是一次函數(shù)的概念、圖像與性質(zhì),以及一次函數(shù)與二元一次方程(組)的后續(xù)學習內(nèi)容,旨在進一步研究一次函數(shù)、一元一次方程、一元一次不等式之間的關(guān)聯(lián)性,感悟數(shù)形結(jié)合思想、模型思想,既是對前面所學知識的豐富,也是為學習反比例函數(shù)、二次函數(shù)與方程、不等式的知識做鋪墊。

        八年級學生在“數(shù)與式”板塊已掌握實數(shù)、代數(shù)式、一元一次方程、二元一次方程組、一元一次不等式(組)、一次函數(shù)等知識。對于不等式2x+4>0,學生都能正確解答。有的從不等式的解法出發(fā);有的基于一次函數(shù)圖像,運用數(shù)形結(jié)合思想,從“形”的角度解決“數(shù)”的問題。但對于不等式2x+4>2.56呢?還能直接利用圖像分析嗎?這就得從“數(shù)”的角度補助“形”的認識。數(shù)學家華羅庚先生講的“數(shù)缺形時少直觀,形少數(shù)時難入微”,就是這個道理?!皵?shù)”“形”之間的關(guān)系是相互的,不是單一的,同時,這也遵循了八年級學生的認知規(guī)律和年齡心理特征。

        二、教學目標

        經(jīng)歷一次函數(shù)、一元一次方程和一元一次不等式三者關(guān)系的探究,進一步豐富對方程、不等式與一次函數(shù)的認識,感悟“數(shù)形結(jié)合”思想、模型思想;用一次函數(shù)圖像解一元一次方程、一元一次不等式;反過來,用一元一次方程、一元一次不等式的解與解集解決與一次函數(shù)相關(guān)的實際問題;通過觀察、思考、交流、驗證等培養(yǎng)學生的學習方式和思維習慣。

        三、教學重、難點

        重點:用一次函數(shù)圖像解一元一次方程、一元一次不等式;反過來,用一元一次方程、一元一次不等式的解與解集解決與一次函數(shù)相關(guān)的實際問題。

        難點:根據(jù)一次函數(shù)的圖像直接解決一元一次方程、一元一次不等式相關(guān)問題。

        四、教學過程

        1.情境創(chuàng)設(shè),“數(shù)學”思考。

        背景材料:一根長25cm的彈簧,一端固定,另一端掛物體。在彈簧伸長后的長度不超過35cm的限度內(nèi),每掛1 kg質(zhì)量的物體,彈簧伸長0.5cm。

        請你設(shè)計一個問題,讓同學們嘗試解決,并說說為什么這樣設(shè)計。

        設(shè)計意圖:以一個開放性的材料為背景導(dǎo)入,培養(yǎng)學生問題意識,引導(dǎo)學生自主建立起一次函數(shù)、一元一次方程和一元一次不等式的三者關(guān)系框架,嘗試用多種方式解決問題,并有意識地用數(shù)學概念、原理、方法去理解、描述以及解決現(xiàn)實問題。該思想就是模型思想。

        在課堂教學實施環(huán)節(jié),筆者捕捉了下列“生成性”教學資源來組織課堂教學。

        生1:掛10kg重物時,彈簧長度為多少?

        生2:掛多重的物體時,彈簧長30cm?

        生3:彈簧所掛物體的最大質(zhì)量是多少?附解答:設(shè)掛xkg的重物,(25+0.5x)≤35。這樣設(shè)計的原因是可以知道彈簧所掛重物的最大質(zhì)量是多少。

        生4:現(xiàn)在彈簧長度為xcm,假設(shè)掛了nkg物體(n≤20),則彈簧伸長ycm,求此一次函數(shù)的表達式和x的范圍。

        生5:(1)請畫出其圖像;(2)當彈簧長30cm時,掛了多少kg重物?在圖像上找出這個點;(3)當掛6-13kg的重物時,求彈簧的長度范圍。

        教師追問:(1)回顧反思上述生1至生3的問題,你能用另一種表達方式解決這些問題嗎?(引出生4、生5的問題。)

        (2)當x=10時,就能得到一個一元一次方程y=0.5×10+25;當y=30時,也能得到一個方程30=0.5x+25。從圖像“形”角度上看,每一對解都有什么樣的解釋呢?

        (3)當y≤35時,能得到一元一次不等式0.5x+25≤35,解不等式便能解決問題,從圖像上看,哪一部分圖像能對應(yīng)該不等式?你有什么新的想法?

        (4)若彈簧長度是33.8 cm,求所掛物體的質(zhì)量。若彈簧長度不超過33.8 cm,求所掛物體的質(zhì)量的取值范圍。你是如何解決的?

        教學活動組織:學生獨立思考、師生對話、生生對話交流解決上述問題。

        設(shè)計意圖:引導(dǎo)學生從算式解法過渡到方程、不等式、函數(shù)的視角,自主建立一次函數(shù)、一元一次方程、不等式之間的聯(lián)系,深刻體會“數(shù)缺形時少直觀,形少數(shù)時難入微”的內(nèi)涵,尤其體會每個數(shù)學模型各自的優(yōu)越性以及之間的聯(lián)系,實現(xiàn)模型思想、數(shù)形結(jié)合思想的滲透,潤物細無聲。

        2.學以致用,解決問題。

        問題1:試根據(jù)一次函數(shù)y=2x+4的圖像,說出2x+4=0、2x+4>0、2x+4<0的解或解集。

        圖1

        變式1:(1)試根據(jù)一次函數(shù)y=2x+4的圖像,直接說出2x+4=4、2x+4>4、2x+4<4的解或解集。你是如何看出的?

        (2)能否根據(jù)一次函數(shù)y=2x+4的圖像,直接說出2x+4=2.56、2x+4>2.56、2x+4<2.56的解或解集?應(yīng)該如何解決?

        (3)一般性思考:通過上述問題的解決,思考如何由一次函數(shù)產(chǎn)生一元一次方程、一元一次不等式問題,又是如何解決的呢?

        問題2:在同一個坐標系中畫出一次函數(shù)y=2x+4和y=-2x的圖像,求不等式2x+4>-2x的解集。你是如何思考的?

        變式2:如圖2,一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)和y=mx(m≠0)的圖像交于點A,點A的橫坐標為-1,直接寫出下列關(guān)于x的方程的解或不等式的解集:

        (1)kx+b=mx;

        (2)(k-m)x+b>0。

        問題3:嘗試獨立思考教材中“嘗試”板塊問題,并與大家交流分享。

        圖2

        設(shè)計意圖:課始,由實際問題出發(fā),激發(fā)學生用已掌握的數(shù)學知識、技能方法解決問題。在這個過程中,學生厘清了一次函數(shù)、一元一次方程、一元一次不等式三者之間的關(guān)系,使得學習回到了數(shù)學內(nèi)部。而以上問題串以及變式,幫助學生進一步強化理解。

        3.回顧反思,鞏固練習。

        回顧如何由一次函數(shù)產(chǎn)生一元一次方程、一元一次不等式問題的,又是如何解決的,再次體會它們之間的相互關(guān)系。

        課堂練習:教材中的練習。

        4.作業(yè)布置。

        必做題:6.6習題1-4。

        選做題:如圖3,一次函數(shù)y=mx+n和y=kx+b的圖像交于點P(1,2),y=mx+n的圖像交y軸于點A(0,1)。

        直接寫出下列關(guān)于x的不等式(組)的解集:

        (1)1<mx+n<kx+b;

        (2)(k-2)x+b<0。

        五、教學反思

        1.反芻“方程”的重要地位及意義。

        本節(jié)課的課題是“研究一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系”,為什么沒有“方程”呢?方程在這“三個一次”數(shù)學模型中“功不可沒”。不等式的學習過程就是類比的過程,而方程的解往往又能表現(xiàn)在不等式解集的“臨界值”上,方程與一次函數(shù)的關(guān)系更緊密。

        圖3

        例如,問題情境中的(20,35)這個點是如何找到的?先固定y=35,則35=0.5x+25,得到一元一次方程,解得x=20,于是找到點(20,35)。而如何從圖像“形”的角度看待0.5x+25≤35?0.5x+25≤35即y≤35,找臨界值y=35(假如原式是y<35,也是引導(dǎo)學生抓住臨界值y=35),此時,x=25。從“形”的角度看,找到一個“臨界點”(20,35)。對于不等式0.5x+25≤35,即y≤35,從“形”上看,就是圖像上該“臨界點”下方的部分,于是直觀感知x≤20。

        2.聯(lián)系地、發(fā)展地、整體地教與學,指向“深度學習”。

        一次函數(shù)、一元一次方程、一元一次不等式這三者內(nèi)在的聯(lián)系到底如何認知?我們不能單向、片面化地理解。本節(jié)課的定位是以“函數(shù)”為核心回看方程、不等式,并從“數(shù)、式”和“形”的雙重角度闡釋函數(shù)與它們之間的內(nèi)在聯(lián)系,以體現(xiàn)數(shù)學關(guān)聯(lián)性、整體性、發(fā)展性,也是前面所學知識的自然延伸。而方程的解往往又是不等式的臨界值,反映在函數(shù)圖像上就是臨界點。本節(jié)課的重點應(yīng)該是以前面的兩個角度“回看”方程和不等式,反之,當在圖像上不能直接看出時,就體現(xiàn)出方程和不等式這兩個重要的數(shù)學模型也能研究函數(shù)問題。

        如背景材料中的問題設(shè)計,從課堂的生成性資源來看,學生能自覺用不同的數(shù)學模型來設(shè)計、解決問題。但筆者并不止步于此,而是進行追問:回顧反思上述生1至生3的問題,你能用另一種表達方式解決這些問題嗎?目的是引發(fā)學生思考,除了算式、一元一次方程、一元一次不等式數(shù)學模型,還有函數(shù)這一重要模型。這樣,學生既能感受知識之間的聯(lián)系和區(qū)別,又能認識到代數(shù)領(lǐng)域內(nèi)知識的發(fā)展性、整體性。這樣的學習才能讓學生對知識有更深刻的認識,即“深度學習”。

        3.在自然生成中感悟數(shù)學模型思想,發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)。

        《義務(wù)教育數(shù)學課程標準》(2011年版)提出:有效的教學活動是學生學與教師教的統(tǒng)一,學生是學習的主體,教師是學習的組織者、引導(dǎo)者與合作者。教師教學應(yīng)該以學生的認知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗為基礎(chǔ),面向全體學生,注重啟發(fā)和因材施教。

        基于此,筆者設(shè)計的開放性問題既培養(yǎng)了學生的問題意識,又重視學生已有的經(jīng)驗,使學生在體驗從實際背景中抽象出數(shù)學問題、建構(gòu)數(shù)學模型、尋求結(jié)果、解決問題的過程中,提升解決問題能力,提升數(shù)學素養(yǎng),引導(dǎo)學生用數(shù)學眼光觀察世界、用數(shù)學思維思考世界、用數(shù)學語言表達世界,有效發(fā)展了學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。從課堂教學實施環(huán)節(jié)捕捉的“生成性資源”來看,學生在提出問題過程中,是能夠有意識地用數(shù)學模型解決問題的,從而進一步感悟數(shù)學模型的功能、價值。

        本文為江蘇省教育科學“十三五”規(guī)劃立項課題“初中數(shù)學生成性教學實踐研究”(課題編號:C—b/2018/02/38)階段性研究成果。

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