楚碩 郭春文 王志軍 李俊杰 王錦程

1)(西北工業(yè)大學(xué),凝固技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,西安 710072)

2)(Faculty of Mechanical Engineering,Kyoto Institute of Technology,Kyoto 606-8585,Japan)

3)(西北工業(yè)大學(xué),國防科技工業(yè)精密鍛造與環(huán)軋技術(shù)創(chuàng)新中心,西安 710072)

1 引 言

單相合金凝固過程中,枝晶是最典型的微觀結(jié)構(gòu)特征,直接影響著材料的加工過程及使用性能.定向凝固是定量研究枝晶生長行為的重要手段,也是獲得具有特殊取向和優(yōu)異性能的材料的重要方式.因此,揭示定向凝固過程中枝晶生長形貌的演化規(guī)律,對(duì)揭示材料組織演化和凝固技術(shù)的發(fā)展具有重要意義.

有很多學(xué)者對(duì)定向凝固枝晶生長進(jìn)行了深入的研究,提出了相關(guān)的理論模型,如Bower-Brody-Fleming模型[1]、Burden-Hunt模型[2]、Burden-Hunt-Laxmanan(BHL)模型[3]、Kurz-Fisher模型[4]、Trivedi模型[5].這些模型促進(jìn)了人們對(duì)定向凝固的認(rèn)識(shí)并有效地指導(dǎo)了實(shí)驗(yàn)研究.

合金凝固過程中,溶質(zhì)擴(kuò)散是決定枝晶生長的重要物理過程.理論模型一般將液相中溶質(zhì)擴(kuò)散系數(shù)簡化為一個(gè)常數(shù).但是,當(dāng)溶質(zhì)分配系數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)偏離1時(shí),界面前沿溶質(zhì)邊界層的成分從界面處的c∞/k到初始的c∞存在較大的變化.實(shí)際情況中,擴(kuò)散系數(shù)對(duì)濃度具有一定的依賴性.Shampine[6]提出局部的擴(kuò)散系數(shù)可以表示為與濃度相關(guān)的函數(shù).Lee等[7]通過對(duì)Al-Cu合金定向凝固的實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn),凝固過程中局部的擴(kuò)散系數(shù)與濃度相關(guān).Dahlbrog等[8]通過對(duì)Al-Cu合金的實(shí)驗(yàn)研究也發(fā)現(xiàn),合金成分不同時(shí)Al和Cu具有不同的擴(kuò)散系數(shù).因此,枝晶生長過程中,存在較大濃度變化的濃度擴(kuò)散邊界層內(nèi),擴(kuò)散系數(shù)將成為依賴濃度的變量.

液相中溶質(zhì)擴(kuò)散系數(shù)是影響枝晶生長動(dòng)力學(xué)的重要參數(shù).枝晶生長的尖端過冷度、尖端半徑、一次臂主干、側(cè)向分枝等都與擴(kuò)散系數(shù)密切相關(guān).然而濃度相關(guān)的擴(kuò)散系數(shù)對(duì)枝晶生長的影響至今沒有得到有效評(píng)估.一方面,可變系數(shù)的擴(kuò)散方程的理論分析相對(duì)復(fù)雜,幾乎不可能得到解析解;另一方面,擴(kuò)散系數(shù)隨濃度變化在實(shí)驗(yàn)過程中很難定量測(cè)量,對(duì)枝晶生長的影響無法直接建立聯(lián)系.定量相場(chǎng)模型已經(jīng)被證實(shí)可以定量地描述枝晶生長,是研究這一問題的理想工具.

通過采用相場(chǎng)法對(duì)定向凝固微觀組織演化過程已經(jīng)做了大量的模擬研究[9-12].基于此,通過溶質(zhì)擴(kuò)散系數(shù)與溶質(zhì)濃度之間的耦合關(guān)系,本文采用定量相場(chǎng)模型研究定向凝固過程中枝晶在液相可變擴(kuò)散系數(shù)下的生長行為,發(fā)現(xiàn)可變擴(kuò)散系數(shù)對(duì)定向凝固枝晶尖端過冷度及側(cè)向分枝的生長具有重要影響.

2 模擬方法

2.1 相場(chǎng)方程和溶質(zhì)場(chǎng)方程

利用相場(chǎng)計(jì)算定量地再現(xiàn)實(shí)驗(yàn)中觀察到的凝固微觀組織演化過程,是微觀組織演化研究的重要方法之一[13].Karma[14]提出的定量相場(chǎng)模型消除了彌散界面帶來的非平衡效應(yīng).薄界面漸進(jìn)分析表明,Karma定量相場(chǎng)模型與描述單相二元合金凝固過程的尖銳界面模型等價(jià)[15],因此定量相場(chǎng)計(jì)算結(jié)果為數(shù)學(xué)/物理模型的精確數(shù)值解,可以真實(shí)地反映凝固微觀組織的演化過程.本文主要采用文獻(xiàn)[11]中的定量相場(chǎng)模型.相場(chǎng)變量φ=1代表固相,φ=—1代表液相.相場(chǎng)演化方程為

溶質(zhì)場(chǎng)方程為

其中,W(θ)=W0(1+γ4cos4θ),

其中,W0為界面厚度參數(shù),τ0為界面弛豫時(shí)間參數(shù),λ為耦合常數(shù),γ4為界面能各向異性強(qiáng)度系數(shù),θ為界面方向與界面能擇優(yōu)取向間的夾角,rg為在(—1,+1)之間呈高斯分布的隨機(jī)變量,αn為與界面厚度有關(guān)的噪聲強(qiáng)度系數(shù),(1—φ2)保證了噪聲只在固/液界面上存在.模型參數(shù)與實(shí)際物性參數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系為:d0=a1W0/λ,τ0=a2λW02/D,其中d0=Γ/(mc∞(1-k)/k)為溶質(zhì)毛細(xì)長度.

2.2 耦合溶質(zhì)擴(kuò)散方程

Shampine等[6]在經(jīng)典的擴(kuò)散方程?c/?t=?(D?c/?x)/?x中提出了擴(kuò)散系數(shù)與濃度有關(guān)的函數(shù)關(guān)系:

式中,c0為液相中的初始濃度,本文選為0.01at.%;c為溶質(zhì)濃度,且c=cl[1+k-(1-k)φ]/2[15].對(duì)上式進(jìn)行無量綱化處理,得

式中,無量綱化后的擴(kuò)散系數(shù)D0=1,c為液相溶質(zhì)濃度,k為濃質(zhì)平衡分配系數(shù).本文選擇正相關(guān)性,即擴(kuò)散系數(shù)隨溶度的增加而增加.其中,參數(shù)衡量擴(kuò)散系數(shù)對(duì)溶質(zhì)濃度依賴性,為耦合強(qiáng)度因子.當(dāng)φ=—1,即為液相時(shí),將方程(4)耦合到溶質(zhì)場(chǎng)方程可得

體現(xiàn)液相擴(kuò)散系數(shù)對(duì)濃度的依賴性.

2.3 物性參數(shù)

實(shí)驗(yàn)中通常采用類金屬透明系合金來研究凝固過程,而丁二腈-香豆素(SCN-C152)[16]已在凝固微觀組織演化原位觀察實(shí)驗(yàn)中得到了較深入的研究,這里選取以丁二腈為基準(zhǔn)的模型合金作為研究對(duì)象.其物性參數(shù)列于表1.

表1 材料物性參數(shù)Table 1. Material physical parameters.

3 結(jié)果與討論

在定向凝固枝晶生長的模擬過程中,采用線性溫度梯度近似20 K/cm,不考慮潛熱對(duì)枝晶尖端生長的影響,只考慮溶質(zhì)擴(kuò)散對(duì)尖端生長的影響[17].在不同的抽拉速度條件下,通過設(shè)置不同的耦合強(qiáng)度,觀察擴(kuò)散系數(shù)對(duì)溶質(zhì)濃度依賴性的強(qiáng)弱對(duì)枝晶生長的影響.

3.1 耦合強(qiáng)度對(duì)枝晶形貌及溶質(zhì)場(chǎng)的影響

圖1給出了三種抽拉速度不同耦合強(qiáng)度因子下得到的穩(wěn)態(tài)枝晶生長形貌.結(jié)果表明,在三種抽拉速度下,擴(kuò)散系數(shù)的濃度耦合強(qiáng)度對(duì)枝晶生長均帶來了顯著影響.如圖所示,隨著耦合強(qiáng)度的增加,枝晶主干保持不變,枝晶尖端位置逐漸向冷端移動(dòng),且側(cè)向分枝的振幅逐漸減小.η20=80

我們提取了在vp=32 μm/s, 的模擬條件下枝晶的邊界濃度和尖端前沿液相中的濃度,并將其代入(4)式中,計(jì)算出液相中與溶質(zhì)濃度相關(guān)的擴(kuò)散系數(shù),結(jié)果如圖2所示.總體而言,擴(kuò)散系數(shù)隨濃度的變化在25%以內(nèi).可以看出,當(dāng)在液相的溶質(zhì)場(chǎng)擴(kuò)散方程中耦合濃度相關(guān)的擴(kuò)散方程后,液相中溶質(zhì)的擴(kuò)散系數(shù)會(huì)隨溶質(zhì)濃度的增加而增加,而且枝晶根部處液相的擴(kuò)散系數(shù)高于枝晶尖端前沿液相的擴(kuò)散系數(shù).因此,通過在液相的溶質(zhì)場(chǎng)方程中耦合濃度相關(guān)的擴(kuò)散方程,會(huì)增強(qiáng)枝晶間的溶質(zhì)原子沿枝晶尖端方向的擴(kuò)散能力,進(jìn)而抑制從尖端排出的溶質(zhì)原子橫向擴(kuò)散過程,造成尖端處溶質(zhì)原子的富集程度增加.

圖1 耦合強(qiáng)度對(duì)枝晶尖端生長形貌的影響(a)vp=20 μm/s;(b)vp=32 μm/s;(c)vp=50 μm/sFig.1.Effect of coupling intensities on the morphology of dendrite tip growth:(a)vp=20 μm/s;(b)vp=32 μm/s;(c)vp=50 μm/s.

在正溫度梯度下,固-液界面前沿中存在成分過冷,會(huì)使平界面失穩(wěn),進(jìn)而生長為具有側(cè)向分枝的枝晶,而且枝晶側(cè)向分枝的發(fā)達(dá)程度與成分過冷的大小有關(guān).因此圖1中側(cè)向分枝的振幅隨耦合強(qiáng)度的增加而減小這一現(xiàn)象可以通過成分過冷判據(jù)[18]進(jìn)行定性的解釋:

其中,GL為液相線溫度梯度,V為界面生長速度,m為液相線斜率,c0為合金平均成分,k為平衡溶質(zhì)分配系數(shù),DL為液相溶質(zhì)擴(kuò)散系數(shù),ΔT0為平衡結(jié)晶溫度區(qū)間.可以看出,當(dāng)耦合強(qiáng)度增加時(shí),枝晶間液相中濃質(zhì)擴(kuò)散系數(shù)也會(huì)隨之增加,從而降低枝晶間液相中的成分過冷,最終造成側(cè)向分枝的振幅減小.

圖2 vp=32 μm/s,=80 時(shí)枝晶尖端前沿(實(shí)線)與邊界(虛線)處液相的溶質(zhì)場(chǎng)特征(a)溶質(zhì)場(chǎng);(b)溶質(zhì)濃度;(c)與濃度相關(guān)的擴(kuò)散系數(shù)Fig.2.The solute field along the full line and the hidden line of the channel when vp=32 μm/s and =80 :(a)Solute field;(b)solute concentration;(c)concentration-dependent diffusion coefficient.

3.2 耦合強(qiáng)度對(duì)尖端狀態(tài)的影響

枝晶的尖端狀態(tài)是枝晶生長理論重要的研究內(nèi)容.定向凝固過程中枝晶尖端狀態(tài)的選擇主要受枝晶列間的溶質(zhì)場(chǎng)相互作用[19]和界面能各向異性[20]的影響,并完全受界面能和溶質(zhì)擴(kuò)散的控制.其中溶質(zhì)擴(kuò)散對(duì)尖端狀態(tài)的選擇的研究也主要集中在枝晶列之間溶質(zhì)場(chǎng)的相互作用.本文模擬結(jié)果表明,擴(kuò)散系數(shù)對(duì)濃度依賴性的強(qiáng)弱對(duì)枝晶尖端狀態(tài)也存在一定的影響.

圖3 不同模擬條件下枝晶的尖端特征(a)尖端半徑;(b)尖端位置;(c)尖端過冷度Fig.3.The characteristics of dendrite tip with different simulated conditions:(a)Tip radius;(b)tip position;(c)tip undercooling.

圖3給出了不同耦合條件下枝晶的尖端狀態(tài).結(jié)果表明,枝晶的尖端半徑幾乎不隨耦合強(qiáng)度發(fā)生變化,尖端位置隨著耦合強(qiáng)度的增加近似呈線性降低,由于在定向凝固中,尖端過冷度的大小與界面位置的高低有關(guān),所以對(duì)應(yīng)的尖端過冷度增加.而且當(dāng)抽拉速度為20 μm/s時(shí),對(duì)應(yīng)的枝晶尖端位置和尖端過冷度的曲線斜率較大,表明在較低速度下受濃度依賴的擴(kuò)散系數(shù)對(duì)枝晶尖端的影響較大.這是由于低速下溶質(zhì)的擴(kuò)散邊界層增大,與濃度相關(guān)的擴(kuò)散系數(shù)影響范圍增加.圖3(c)表明,20 μm/s的抽拉速度下當(dāng)耦合強(qiáng)度=80 時(shí)的尖端過冷度已經(jīng)非常接近50 μm/s時(shí)耦合強(qiáng)度為0時(shí)的尖端過冷度.由此可見,耦合強(qiáng)度對(duì)尖端過冷度有顯著的影響.

圖4 vp=32 μm/s時(shí)不同耦合強(qiáng)度下枝晶尖端附近的濃度特征(a)邊界濃度;(b)尖端濃度與尖端擴(kuò)散系數(shù)Fig.4.Concentration characteristics near the dendrite tip under different coupling intensities with vp=32 μm/s:(a)Boundary concentration;(b)tip concentration and tip diffusion coefficient.

由于枝晶間濃度的顯著富集,且高于枝晶尖端的濃度,受濃度依賴的擴(kuò)散系數(shù)會(huì)促進(jìn)枝晶間的溶質(zhì)向枝晶尖端方向擴(kuò)散.為了進(jìn)一步探究耦合強(qiáng)度的大小對(duì)液相中溶質(zhì)流動(dòng)的影響以及造成枝晶尖端位置和尖端過冷的原因,圖4給出了當(dāng)抽拉速度為32 μm/s時(shí),不同耦合強(qiáng)度下枝晶的尖端濃度及尖端位置附近的邊界濃度.結(jié)果表明,在同一速度下,隨著耦合強(qiáng)度的增加,枝晶尖端前沿及尖端位置附近對(duì)應(yīng)的邊界濃度在逐漸增加.結(jié)合3.1節(jié)對(duì)溶質(zhì)場(chǎng)的分析可知,在相同的速度下,造成枝晶尖端位置降低以及尖端過冷度增加的主要原因是耦合強(qiáng)度的逐漸增加會(huì)增強(qiáng)枝晶間的溶質(zhì)擴(kuò)散對(duì)尖端排出的溶質(zhì)原子橫向擴(kuò)散的抑制作用,從而造成枝晶尖端位置的溶質(zhì)富集程度逐漸增加.

在相同的耦合強(qiáng)度下,尖端過冷度隨抽拉速度的增大而減小.這一變化規(guī)律可以依據(jù)BHL模型[3]解釋.BHL模型給出的胞/枝晶列尖端過冷度公式為

(7)式中等號(hào)右邊第二項(xiàng)反映枝晶生長的橫向擴(kuò)散.模擬中DL并非是一個(gè)常數(shù),但是其變化相對(duì)于抽拉速度的變化非常微小,可以近似采用BHL模型對(duì)尖端過冷度的變化進(jìn)行分析.此時(shí)尖端過冷度主要受抽拉速度的控制,隨抽拉速度的增大而增大.

圖3(a)給出了不同速度下枝晶尖端半徑與耦合強(qiáng)度的關(guān)系.發(fā)現(xiàn)枝晶的尖端半徑并沒有發(fā)生太大的變化.對(duì)于這一現(xiàn)象,可以依據(jù)Hunt模型[21]給出的枝晶尖端半徑與一次間距的公式進(jìn)行解釋:

模擬過程中,枝晶的一次間距λ1保持不變.所以當(dāng)在相同的抽拉速度下,根據(jù)模型,DL為常數(shù)時(shí),Ct的增加會(huì)導(dǎo)致尖端半徑的減小.但是由于液相的擴(kuò)散系數(shù)與溶質(zhì)的濃度有關(guān),所以枝晶的尖端半徑受尖端前沿液相的濃度Ct和液相中溶質(zhì)的擴(kuò)散系數(shù)DL共同影響.擴(kuò)散系數(shù)對(duì)濃度依賴性的增加會(huì)導(dǎo)致液相中溶質(zhì)的擴(kuò)散系數(shù)的增加,尖端處的濃度和擴(kuò)散系數(shù)同時(shí)增大(如圖4(b)).將不同耦合強(qiáng)度下的尖端濃度和擴(kuò)散系數(shù)代入到Hunt模型[21]中,計(jì)算所得的尖端半徑在3.75 μm左右,與模擬結(jié)果吻合較好,誤差在1 μm左右.

在相同的耦合強(qiáng)度下,相當(dāng)于保持液相中溶質(zhì)的擴(kuò)散系數(shù)不變,尖端半徑主要受抽拉速度控制,隨抽拉速度的增加而減小.枝晶尖端溶質(zhì)的濃度和擴(kuò)散系數(shù)的變化量相對(duì)于速度的變化量對(duì)(8)式中的尖端半徑影響較小,可以忽略.

圖5 (a1)-(a3)=0 時(shí)枝晶列的演化過程;(b1)-(b3)=80 時(shí)枝晶列的演化過程Fig.5.(a1)-(a3)The evolution of dendrite columns when =0;(b1)-(b3)the evolution of dendrite columns when =80 .

3.3 耦合強(qiáng)度對(duì)枝晶列的影響

對(duì)于枝晶列的研究,我們選取了=0,80 ,所模擬的區(qū)域?qū)挾葹?400 μm,抽拉速度為50 μm/s,模擬結(jié)果如圖5所示.由圖可見,在枝晶列不斷演化的過程中,擴(kuò)散系數(shù)與濃度不相關(guān)時(shí)的枝晶數(shù)量均大于擴(kuò)散系數(shù)與濃度相關(guān)時(shí)的枝晶數(shù)量.當(dāng)擴(kuò)散系數(shù)與濃度相關(guān)時(shí),穩(wěn)態(tài)枝晶的尖端位置也顯著降低.

在枝晶列演化的過程中,最終的穩(wěn)態(tài)一次間距取決于枝晶間距調(diào)整的演化歷程.Hunt-Lu相互作用模型[22]認(rèn)為枝晶間距的生長競爭通過溶質(zhì)場(chǎng)相互作用反映出來,對(duì)于兩個(gè)相鄰枝晶,間距較大的枝晶前沿溶質(zhì)會(huì)向間距較小的枝晶擴(kuò)散,導(dǎo)致小間距枝晶的尖端溶質(zhì)富集,尖端逐漸淹沒,最終被淘汰掉.通過3.2節(jié)的分析可知,當(dāng)擴(kuò)散系數(shù)與溶質(zhì)濃度相關(guān)時(shí),會(huì)增加枝晶尖端的溶質(zhì)富集程度,降低枝晶的尖端位置.圖5的模擬結(jié)果表明這種現(xiàn)象在枝晶列的生長中同樣存在.當(dāng)擴(kuò)散系數(shù)與溶質(zhì)濃度相關(guān)時(shí),由于枝晶尖端前沿溶質(zhì)富集程度的增加,會(huì)造成枝晶淹沒淘汰更容易發(fā)生.

4 結(jié) 論

通過在液相溶質(zhì)擴(kuò)散方程中耦合濃度相關(guān)的擴(kuò)散系數(shù),采用定量相場(chǎng)模型探究了可變擴(kuò)散系數(shù)對(duì)枝晶的溶質(zhì)場(chǎng)以及枝晶生長行為的影響.研究發(fā)現(xiàn),液相中溶質(zhì)擴(kuò)散系數(shù)對(duì)溶質(zhì)濃度依賴性的增加,會(huì)增強(qiáng)枝晶間的溶質(zhì)擴(kuò)散對(duì)枝晶尖端排出的溶質(zhì)原子橫向擴(kuò)散的抑制作用,造成枝晶尖端固-液界面處的溶質(zhì)富集程度升高.對(duì)于給定一次間距的枝晶,側(cè)向分枝的振幅會(huì)逐漸減小.濃度相關(guān)的擴(kuò)散系數(shù)對(duì)枝晶的尖端半徑影響有限,其模擬結(jié)果與理論模型計(jì)算較為吻合.對(duì)于枝晶列,這種擴(kuò)散效應(yīng)會(huì)造成枝晶淹沒淘汰更容易發(fā)生,增加穩(wěn)態(tài)枝晶列的一次間距,增加尖端過冷度.