(北京空間飛行器總體設(shè)計部，北京 100094)

0 引言

姿態(tài)機動能力是三軸穩(wěn)定對地觀測類衛(wèi)星的一項重要指標(biāo)，為滿足衛(wèi)星多種敏捷成像模式任務(wù)需要，新一代遙感衛(wèi)星平臺已逐漸采用單框架控制力矩陀螺(single gimbal control moment gyro，簡稱SGCMG)作為執(zhí)行機構(gòu)進行姿態(tài)機動。SGCMG是一種有效的動量交換裝置，由低速框架和高速轉(zhuǎn)子組成，高速轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速恒定，通過調(diào)整低速框架的位置改變轉(zhuǎn)子角動量方向，依靠轉(zhuǎn)子角動量的進動提供控制力矩。與同等重量的飛輪相比，它提供更大的控制力矩，實現(xiàn)更精細化的控制力矩輸出。目前，已有遙感衛(wèi)星采用4～6個SGCMG群按金字塔或五棱錐構(gòu)形組成衛(wèi)星姿態(tài)控制執(zhí)行機構(gòu)，能夠?qū)崿F(xiàn)衛(wèi)星高穩(wěn)快速機動，衛(wèi)星姿態(tài)機動的快速性、穩(wěn)定性指標(biāo)大幅提高。

然而，采用SGCMG群控制存在奇異問題，即在某些框架角配置下，所有SGCMG能提供的控制力矩均正交于期望的控制力矩，該狀態(tài)下各SGCMG的角動量在期望力矩方向的投影已到達極值，將不能再通過改變角動量方向來產(chǎn)生該方向力矩，無法滿足衛(wèi)星姿態(tài)機動指標(biāo)要求[1]。針對該問題，星上姿態(tài)控制算法進行了奇異規(guī)避算法設(shè)計[2-4]，而當(dāng)前SGCMG群敏捷機動測試用例的設(shè)計并未針對性考慮奇異規(guī)避功能測試，在整星綜合測試階段無法驗證奇異規(guī)避算法的合理性與有效性[5-6]。因此，如何設(shè)計包含奇異規(guī)避的SGCMG群敏捷機動測試用例，提高測試用例的效率和覆蓋性，是測試人員面臨的一項緊迫而重要的任務(wù)。

本文針對采用SGCMG群進行姿態(tài)機動這一新技術(shù)，推導(dǎo)SGCMG群衛(wèi)星姿態(tài)動力學(xué)模型，開展SGCMG群操縱律研究，搭建SGCMG群衛(wèi)星敏捷機動閉環(huán)仿真系統(tǒng)，根據(jù)SGCMG群安裝構(gòu)型分析SGCMG群奇異性，研究一種SGCMG群敏捷機動測試用例設(shè)計方法，在整星測試階段驗證奇異規(guī)避算法設(shè)計是否合理和有效，提高測試用例覆蓋充分性和有效性，對SGCMG群敏捷機動能力與指標(biāo)進行全面考核。

1 SGCMG群衛(wèi)星姿態(tài)動力學(xué)

1.1 SGCMG動力學(xué)

為描述SGCMG運動，定義如下坐標(biāo)系[4]：

圖1 SGCMG坐標(biāo)系

1)固聯(lián)坐標(biāo)系f。如圖1所示，坐標(biāo)系原點在SGCMG轉(zhuǎn)子質(zhì)心，x軸沿框架轉(zhuǎn)軸方向，其單位矢量g稱為框架軸；y軸為轉(zhuǎn)子自轉(zhuǎn)角速度方向，其單位矢量s稱為自旋軸；z軸與x、y軸構(gòu)成右手正交坐標(biāo)系，其單位矢量t稱為力矩軸。固聯(lián)坐標(biāo)系在SGCMG工作過程中隨框架轉(zhuǎn)動。

2)安裝坐標(biāo)系m。在指定某一初始位置時，安裝坐標(biāo)系m與固聯(lián)坐標(biāo)系f重合，該坐標(biāo)系相對于衛(wèi)星本體坐標(biāo)系b不動，不隨框架轉(zhuǎn)動。

一般地，敏捷衛(wèi)星平臺SGCMG群各轉(zhuǎn)子穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)速大小Ωi均相等且恒定，轉(zhuǎn)子相對其質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量矩陣Ji也均相等且恒定，相比轉(zhuǎn)子而言，低速框架轉(zhuǎn)動慣量可忽略，即有:

(1)

hi=Ji·(Ωi+ωgi+ω)≈Ji·Ωi=hsi

(2)

結(jié)合以上坐標(biāo)系的定義，SGCMG對星體的總作用力矩Ti可推導(dǎo)為:

(3)

1.2 SGCMG群衛(wèi)星姿態(tài)動力學(xué)

為實現(xiàn)衛(wèi)星三軸姿態(tài)高精、高穩(wěn)控制，同時考慮在軌可靠性需求，常使用4～6個SGCMG構(gòu)成SGCMG群作為衛(wèi)星姿態(tài)控制的執(zhí)行機構(gòu)，SGCMG群的常見構(gòu)形有金字塔型和五棱錐型。其中，gi的配置體現(xiàn)SGCMG在星體上的安裝方式，稱為SGCMG群的安裝矩陣，ti、si隨框架轉(zhuǎn)動而變化。

(4)

記作用在衛(wèi)星質(zhì)心上的環(huán)境力矩為Td，則由剛體轉(zhuǎn)動的歐拉方程及轉(zhuǎn)動慣量不變的假設(shè)，可得SGCMG群衛(wèi)星姿態(tài)動力學(xué)方程為：

(5)

結(jié)合式(3)，定義SGCMG群所提供的控制力矩為:

(6)

將式(6)代入式(5)可得:

(7)

在衛(wèi)星本體坐標(biāo)系b下，由式(6)可得SGCMG群提供的控制力矩分量形式為:

(8)

式中C(δ)[t1t2…tn]，并稱為SGCMG群的力矩輸出矩陣，其元素tj稱為第j個SGCMG輸出力矩方向的單位矢量在衛(wèi)星本體坐標(biāo)系b下的坐標(biāo)列陣。式(8)即為簡化后的SGCMG群控制力矩輸出方程，簡記為:

(9)

2 SGCMG群操縱律及奇異性

2.1 SGCMG群操縱律

(10)

(11)

因此，Moore-Penrose廣義逆操縱律可以根據(jù)給定期望力矩得到控制量消耗最小對應(yīng)的唯一解。由于上式需要保證矩陣CCT可逆，而當(dāng)系統(tǒng)到達或鄰近某一狀態(tài)時，CCT偽逆對應(yīng)為無解或得到的指令角速度極大，遠遠超出SGCMG群的力矩輸出能力，無法再通過改變角動量方向來產(chǎn)生該方向力矩，該力矩方向稱為SGCMG群的奇異力矩方向。

2.2 奇異性測度函數(shù)

操縱律設(shè)計時往往需要根據(jù)SGCMG 系統(tǒng)的當(dāng)前奇異狀況進行控制決策，即需要一種度量來衡量不同框架角組合所對應(yīng)的系統(tǒng)奇異程度，現(xiàn)有的方法包括最小奇異值度量、條件數(shù)度量或其它構(gòu)型矩陣組成的函數(shù)度量，其中最常用的為：

d=det(CCT)

(12)

能否通過零運動逃離是區(qū)分顯奇異與隱奇異的標(biāo)志，顯奇異不可通過零運動逃離。而零運動是否存在可通過以下公式進行判別[7]：

M=NTdiag(e1e2…en)N

ei=u·si=uTsi

N=null(C)

u=null(CT)

C(δ)[t1t2…tn]

(13)

式中：C為SGCMG群的力矩輸出矩陣，si為第i個SGCMG的角動量方向單位矢量。實際仿真時，首先通過奇異測度函數(shù)判斷是否為奇異點；當(dāng)為奇異點時，通過判斷M矩陣正定與否可進一步確定奇異類型。若M為正定或負定，則零運動不存在，對應(yīng)于顯奇異；若M不正定，則零運動存在，對應(yīng)于隱奇異?？赏ㄟ^求M的特征值判別M是否正定或負定，若特征值全大于零，則正定；若特征值全小于零，則負定。

3 SGCMG群衛(wèi)星敏捷機動閉環(huán)測試用例設(shè)計

SGCMG群衛(wèi)星敏捷機動閉環(huán)測試用例設(shè)計總體思路通過建立SGCMG群衛(wèi)星姿態(tài)動力學(xué)、運動學(xué)模型和PID控制器設(shè)計，搭建敏捷衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)Simulink仿真框圖，采用不考慮奇異規(guī)避的廣義逆操縱律進行閉環(huán)仿真，尋找經(jīng)歷奇異點的姿態(tài)機動目標(biāo)角，分別選擇歷經(jīng)顯奇異和隱奇異對應(yīng)的典型姿態(tài)機動目標(biāo)角作為SGCMG群姿態(tài)機動測試用例。衛(wèi)星在地面電性能測試中采用該測試用例進行姿態(tài)機動測試，若SGCMG群能逃避奇異點，且衛(wèi)星姿態(tài)穩(wěn)定度和姿態(tài)機動時間均能達到指標(biāo)要求，則證明控制器中的奇異規(guī)避算法合理有效。

3.1 衛(wèi)星姿態(tài)運動學(xué)方程

衛(wèi)星運動學(xué)方程可采用四元數(shù)描述為[8]：

(14)

其中：

(15)

在進行控制系統(tǒng)方案設(shè)計與理論分析時，上述四元數(shù)表示的運動學(xué)方程通常寫成如下矩陣形式:

(16)

式中，矩陣Ε(q)定義為：

(17)

3.2 控制器設(shè)計

設(shè)衛(wèi)星當(dāng)前的姿態(tài)四元數(shù)為：

(18)

衛(wèi)星姿態(tài)的目標(biāo)四元數(shù)為：

(19)

則誤差四元數(shù)為：

(20)

MT(q(t))Q

(21)

考慮衛(wèi)星姿態(tài)動力學(xué)方程及三軸穩(wěn)定零動量衛(wèi)星的特點，設(shè)計PD控制器即可使?jié)M足衛(wèi)星的姿態(tài)穩(wěn)定控制要求，得指令控制力矩為：

u=-KpQe-Dωe

(22)

式中，Kp是比例系數(shù)，D為微分系數(shù)。

3.3 敏捷機動閉環(huán)仿真

3.3.1 仿真原理

以SGCMG群為執(zhí)行機構(gòu)的敏捷衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)閉環(huán)控制過程原理如圖2所示，設(shè)該衛(wèi)星采用4個SGCMG進行姿態(tài)機動，搭建Simulink仿真框圖如圖3所示，其中沒有考慮姿態(tài)測量與確定及SGCMG框架伺服系統(tǒng)模型，衛(wèi)星姿態(tài)動力學(xué)模型、運動學(xué)模型和姿態(tài)控制器設(shè)計見上述章節(jié)。

圖2 敏捷衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)原理圖

3.3.2 仿真結(jié)果

設(shè)仿真參數(shù)如下：

h=1；初始姿態(tài)角為(0°, 0°, 0°)，即初始四元數(shù)(0,0,0,1)；控制力矩輸出力矩限制|Tx|≤1；初始姿態(tài)角速度(0°/s, 0°/s, 0°/s)；目標(biāo)姿態(tài)角速度(0°/s, 0°/s, 0°/s)；目標(biāo)姿態(tài)角1(5°, 2°, 0°)，無奇異；目標(biāo)姿態(tài)角2：(5°, 5°, 0°)，陷入隱奇異；目標(biāo)姿態(tài)角3：(20°, 0°, 0°)，陷入顯奇異。

以上三種目標(biāo)姿態(tài)的姿態(tài)機動過程仿真結(jié)果如表1所示。

3.4 基于機動指標(biāo)的奇異規(guī)避算法閉環(huán)測試用例設(shè)計

通過SGCMG群衛(wèi)星姿態(tài)機動閉環(huán)系統(tǒng)，采用不考慮奇異規(guī)避的廣義逆操縱律進行閉環(huán)仿真，尋找經(jīng)歷顯奇異和隱奇異的姿態(tài)機動目標(biāo)角。若在實際型號姿態(tài)機動測試中，SGCMG群能規(guī)避奇異點，且衛(wèi)星姿態(tài)機動時間和穩(wěn)定度均達到指標(biāo)要求，則證明星上奇異規(guī)避算法的正確性和有效性。該類測試用例適用于整星級測試，歸納其設(shè)計步驟要點如下。

1)輸入條件。設(shè)計SGCMG奇異規(guī)避算法測試用例需以下輸入條件：

(1)衛(wèi)星姿態(tài)控制算法；

表1 姿態(tài)機動過程閉環(huán)仿真結(jié)果

圖3 敏捷衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)仿真框圖

(2)SGCMG群安裝矩陣；

(3)衛(wèi)星轉(zhuǎn)動慣量矩陣。

2)姿態(tài)機動指標(biāo)要求。例如：具有在沿衛(wèi)星+Z軸半錐角0～±45°四棱錐范圍內(nèi)進行滾動+俯仰的姿態(tài)機動能力，在沿衛(wèi)星+Z軸半錐角0～±45°圓錐范圍內(nèi)的任意位置完成最大35°姿態(tài)機動且穩(wěn)定時間優(yōu)于120 s。

3)添加地面設(shè)備參數(shù)。衛(wèi)星測試過程中，在地面動力學(xué)設(shè)備中添加奇異度量值參數(shù)d及奇異類型判別參數(shù)M，以實時監(jiān)測衛(wèi)星姿態(tài)機動過程中SGCMG群的奇異特性變化趨勢，判斷奇異規(guī)避過程。

d=det(CCT)，M=NTdiag(e1e2…en)N

4)測試用例設(shè)計。根據(jù)姿態(tài)機動指標(biāo)要求，沿衛(wèi)星+Z軸半錐角0～±45°四棱錐范圍內(nèi)進行滾動+俯仰聯(lián)合姿態(tài)機動，通過遍歷搜索的仿真運算，尋找存在奇異點的機動目標(biāo)角組合。

(1)若在機動指標(biāo)范圍內(nèi)，不存在經(jīng)歷奇異點的現(xiàn)象，則證明框架角組合奇異特性良好，滿足指標(biāo)范圍內(nèi)機動要求。

(2)若存在經(jīng)歷奇異點的現(xiàn)象，選擇經(jīng)歷典型奇異點的目標(biāo)角組合作為測試用例。例如選擇無奇異、顯奇異和隱奇異的三類目標(biāo)角，如前所述，可選取其中三個典型測試用例為：

① 無奇異用例：(0°，0°，0°)→(5°，2°，0°)；

② 顯奇異用例：(0°，0°，0°)→(20°，0°，0°)，采用廣義逆操縱律，陷入顯奇異，驗證星上規(guī)避算法規(guī)避顯奇異點的能力；

③ 隱奇異用例：(0°，0°，0°)→(5°，5°，0°)，采用廣義逆操縱律，陷入隱奇異，驗證星上規(guī)避算法規(guī)避隱奇異點的能力。

4 結(jié)束語

本文以SGCMG群衛(wèi)星姿態(tài)機測試驗證需求為背景，對SGCMG群衛(wèi)星姿態(tài)動力學(xué)進行了研究，針對SGCMG群在姿態(tài)機動過程中的操縱奇異問題，展開了SGCMG群操縱律及其奇異特性分析，對SGCMG群衛(wèi)星姿態(tài)機動閉環(huán)仿真和SGCMG群奇異算法測試用例設(shè)計方法進行了深入研究。所得到的結(jié)論可以為后續(xù)的姿態(tài)機動測試用例設(shè)計工作提供了理論指導(dǎo)，具有現(xiàn)實的工程意義。后續(xù)將從以下幾方面開展研究工作：1)奇異點細致分類測度函數(shù)研究。通過數(shù)學(xué)分析，定義通用的函數(shù)，區(qū)分顯奇異點、隱奇異點和外奇異點；2)奇異規(guī)避控制律設(shè)計與仿真；3)部分SGCMG失效情況下的奇異特性分析與控制系統(tǒng)仿真；4)SGCMG電機模型的衛(wèi)星姿態(tài)控制閉環(huán)仿真。