張祎貝,陳務軍*,謝 超,彭福軍

(1.上海交通大學空間結構研究中心,上海200240；2.上海宇航系統(tǒng)工程研究所,上海201108)

1 引言

薄膜結構具有質量輕、面質比高、折疊展開能力優(yōu)異等多方面的特點,在航天工程領域有著廣泛的應用前景,已經在大面積太陽電池陣、太陽帆和充氣艙等空間大型可展開結構中得到工程應用或在軌驗證[1-2]。這些空間大型可展結構需要在工程應用前進行地面動力學驗證測試,包含自振頻率及振型的辨識、外部擾動下結構動力響應的預測等。然而,因為在空氣阻力效應的影響下,這類結構在大氣環(huán)境下的動力學特性與其在太空(真空)環(huán)境下的動力學特性有明顯不同[3-5],所以地面動力學特性測試試驗需要通過某種手段減弱乃至消除空氣阻力效應的影響。

減弱空氣阻力效應影響的常規(guī)方法是在真空裝置中進行動力學測試,可最直接地消除空氣阻力效應影響。然而由于設備尺寸的限制(目前尺寸最大的真空裝置的內腔長度也只在幾米量級)[6],無法在真空裝置中開展全尺寸空間大型可展薄膜結構的振動試驗。因此該方法只適用于小尺寸空間薄膜結構的動力學特性測試試驗。另一種思路是將傳統(tǒng)的薄膜結構替換為另一結構,新結構需要與原薄膜結構保持一致的動力學特性；同時,新結構需要對空氣阻力效應不敏感。這種方案可以有效減小空氣阻力效應的影響,并能夠進行全尺寸的空間大型可展結構的振動試驗,但需要建立兩種結構的動力學等效準則。

關于動力學等效,通常的研究是用一個簡單結構替代原有的復雜結構,對原有的結構進行簡化得到動力學等效準則。例如,Xu[7]將薄膜天線SAR簡化為一根懸臂梁,Liu[8]將一種環(huán)形桁架天線簡化為環(huán)形梁結構。然而研究如何用一種復雜結構來替代簡單結構的文獻很少,因為這不是一個簡化的過程,需要對兩種結構的動力學特性展開詳細研究。

本文采用網格膜作為矩形膜的替代結構,基于矩形膜與網格膜的動力學方程,提出一種新的動力學等效準則,并通過仿真計算驗證該準則的有效性。

2 研究對象

本文研究對象為圖1所示平面矩形薄膜結構(下文簡稱為矩形膜面結構),作為替代結構進行振動試驗的是圖2所示網格膜結構,由縱橫垂直的膜條組成,相鄰膜條之間的空間可以保證空氣的自由流動,因此受空氣阻力效應影響小。

圖1 矩形膜面圖Fig.1 Rectangular membrane

圖2 網格膜Fig.2 Grid membrane

3 薄膜結構動力學方程

一般的薄膜振動問題可不考慮褶皺等高非線性,因此建立薄膜微元的動力學方程時,只考慮膜面內的應力[9]。薄膜微元的受力狀態(tài)如圖3、4所示。

圖3 薄膜微元受線拉力作用示意圖Fig.3 Diagram of tensile force on infinitesimal element

圖4 薄膜結構受線剪力作用示意圖Fig.4 Diagram of shear force on infinitesimal element

其中,Nx為x方向的線拉力；Ny為y方向的線拉力；Nyx為x方向的線剪力；Nxy為y方向的線剪力；θ為Nx與x方向的夾角；φ為Ny與y方向的夾角。根據(jù)圖3、4的受力關系,可得到微元的內力在z方向上的合力如式(1),與之相對應的外力的合力,即慣性力如式(2)：

其中,ρ為膜的體密度,h為膜的厚度。令薄膜微元的內力與外力表達式相等,得到微元的動力學方程如式(3)：

為簡化式(3),需要建立應力、應變與位移之間的關系式[9]?？珊雎哉駝舆^程中面內位移對結構應變的影響[10],直接建立應力與位移的關系。通常情況下,當薄膜的主要變形在垂直于膜面的方向振動時,這種簡化是合理的。對簡化后的式(3)采用伽遼金法,在整個面域上進行積分,建立整個薄膜結構第(m,n)階動力學方程如式(4)：

其中,ωmn2Tmn是預應力對動力學方程的貢獻(小變形理論),εmnTmn3是結構在振動過程中的變形對動力學方程的貢獻(大變形理論)。式(4)采用了模態(tài)疊加法,并考慮了不同模態(tài)的正交性,將z方向的變形假設為若干模態(tài)的疊加：z(x,y,t)=其中Zmn(x,y)代表(m,n)階振型,Tmn(t)代表第(m,n)階振型的時程項。

4 動力學等效準則

4.1 小變形等效

小變形理論不考慮振動變形對結構動力學特性的影響,因此只需要令兩種結構的ωmn相等,由此可以建立矩形膜面與網格膜的小變形動力學等效準則如式(5)～(7)[11]：

其中,Nx0_1為矩形膜面沿x方向的線預張力,Ny0_1為矩形膜面沿y方向的線預張力,ρ1為矩形膜面的密度,h1為矩形膜面的厚度,Nx0_2為網格膜沿x方向的線預張力,Ny0_2為網格膜沿y方向的線預張力,ρ2為網格膜的密度,h2為網格膜的厚度。a2為網格膜的長度,b2為網格膜的寬度,nx_2為x方向膜條的數(shù)量,ny_2為y方向膜條的數(shù)量,dx_2為網格膜x方向膜條寬度,dy_2為網格膜y方向膜條寬度。下標“_1”表示矩形膜面的參數(shù),下標“_2”表示網格膜的參數(shù)。

式(7)可解釋為：設2種結構的某一階振型為x方向有m個峰或谷、y方向有n個峰或谷,若要使2種結構的這一階頻率相等,那么網格膜的x方向膜條數(shù)量nx_2必須是n的質數(shù)、y方向膜條數(shù)量ny_2必須是m的質數(shù)。同時需要滿足附加條件：網格膜結構必須是由某一“十字”膜條陣列得到的,如圖5。小變形等效的意義在于可以使兩種結構的模態(tài)相等。

圖5 由“十字”膜條陣列得到的網格膜Fig.5 Grid membrane constructed by cross membrane array

4.2 大變形等效

大變形等效考慮振動變形對結構動力學特性的影響,需要令2種結構的動力學方程中的εmn項相等。由于自變量數(shù)量的限制,只能滿足某一階的εmn項相等,通常取為第1階。則2種結構的拉伸彈性模量、剪切模量、泊松比、以及密度需要滿足式(8)所示關系：

大變形等效的意義在于可以使兩種結構振動過程中垂直于膜面方向的響應一致。

5 算例驗證

5.1 結構參數(shù)設計

考慮一個長寬均為680 mm的矩形膜面,材料取為聚酰亞胺(各向同性材料,彈性模量2.84 GPa,泊松比0.37,密度1448 kg/m3,厚度0.05 mm)。 選用純鋁薄膜作為網格膜材料(彈性模量為70 GPa,厚度0.05 mm,密度2700 kg/m3)。純鋁薄膜的材料屬性相對穩(wěn)定,張拉過程中應力應變關系基本保持為線性,因此適合作為網格膜的原材料。下面按照動力學等效準則設計網格膜。

2種結構的材料參數(shù)確定后,顯然不滿足大變形等效準則式(8)。材料的彈性模量通常不能任意調整的,但可以通過粘貼附加質量的方法來調整材料的等效密度。按照上述材料參數(shù),代入式(8)可以得到網格膜的等效材料密度為13 862 kg/m3。

將2個方向的膜條數(shù)量均設為5條,膜條寬度均設為10 mm,上述設置滿足式(6)、(7)的要求。再選擇網格膜交叉區(qū)域的25個節(jié)點附著附加質量,這樣布置附著質量對縱向和橫向的膜條的影響較為一致。為了使結構密度達到13 862 kg/m3,每個交叉區(qū)域需要附著質量重1.462 g。

至此,網格膜的材料參數(shù)已滿足大變形等效準則的要求。小變形等效準則還對2種結構的預應力場進行了限制。令矩形膜面內方向1產生1.5 kg的預拉力,方向2產生2 kg的預拉力,則在2個方向應施加的線拉力為Nx0_1=43.23 N/m,Ny0_1=57.65 N/m。根據(jù)式(5)及現(xiàn)有結構的密度、厚度和膜條寬度,網格膜兩個方向線拉力為：Nx0_2=827.8 N/m,Ny0_2=1103.7 N/m。需要注意的是,式(5)代入的密度ρ2應為等效材料密度13 862 kg/m3。至此,網格膜的全部參數(shù)已設置完畢,流程可總結為圖6。

圖6 網格膜參數(shù)設計流程Fig.6 Flowchart of grid membrane parameters design

5.2 仿真計算

圖7 矩形膜面前3階振型Fig.7 First 3 order vibration modes of rectangular membrane

采用ABAQUS進行仿真計算,首先計算2種結構的前3階模態(tài),來驗證結構是否滿足小變形等效的要求。兩種結構的前3階振型如圖7、8,從圖上看,前3階振型一致,網格膜的振型平滑度稍差,這是因為膜條數(shù)量較少并有附加質量的緣故。前3階頻率記錄在表1中,偏差較小,在5%以內,說明2種結構滿足小變形等效的要求。

圖8 網格膜前3階振型Fig.8 First 3 order vibration modes of grid membrane

表1 矩形膜面及網格膜前3階頻率(小變形)Table 1 First 3 order frequencies of rectangular and grid membranes(small deformation)

下面驗證2種結構是否滿足大變形等效的要求。按照前文設計的網格膜,可保證2種結構第1階的振動頻率相同。因此,在仿真中,首先使結構產生與1階振型相同的初位移,隨后使結構產生自由振動,通過快速傅立葉變換(FFT)拾取結構的振動頻率。計算3種不同初始位移下,2種結構的往復振動頻率,結果記錄在表2中。隨著初始位移的增大,其往復振動頻率明顯提升。Case 3中,矩形膜面的振動頻率已經是小變形振動頻率(27.434 Hz)的3倍以上,說明大變形振動效應對結構動力學特性的影響已經十分明顯。兩種結構在3種初始位移下的往復振動頻率基本保持一致,最大偏差2.48%,說明2種結構滿足大變形等效的要求。

5.3 空氣阻力的影響

通過仿真來評價矩形膜面及網格膜對空氣阻力效應的敏感性。采用ABAQUS中的聲固耦合方法來計算2種結構在空氣中的振動模態(tài)[12-13]。通過試算發(fā)現(xiàn),空氣域設為直徑3 m的球體是較合理的,這樣計算效率高,且結果與考慮更大空氣域后的計算結果是基本一致的。因此,將空氣域設為直徑3 m的球體,如圖9。常溫常壓下,空氣的材料參數(shù)為：密度 1.2 kg/m3,體積模量0.142 MPa。記錄2種結構在空氣域下的前3階振動頻率于表3中。

表2 矩形膜面及網格膜前3階頻率(大變形)Table 2 First 3 order frequencies of rectangular and grid membranes(large deformation)

圖9 空氣域包裹下的矩形膜面Fig.9 Rectangular membrane surrounded by air

表3 矩形膜面與及網格膜在空氣域下的前3階頻率Table 3 First 3 order frequencies of rectangular and grid membrane in atmospheric environment

矩形膜面與網格膜在真空及空氣兩種環(huán)境下的自振頻率如圖10。可以看出：矩形膜面在空氣環(huán)境下的自振頻率與其它3種頻率有明顯差異,說明矩形膜面對空氣阻力效應敏感；網格膜在真空及空氣環(huán)境下的自振頻率基本一致,說明網格膜對空氣阻力效應不敏感。

圖10 矩形膜面與網格膜在真空及空氣兩種環(huán)境下的自振頻率Fig.10 Natural vibration frequencies of rectangular and grid membrane in vacuum and atmospheric environment

6 結論

1)提出的采用網格膜作為矩形膜面的替代結構進行含有大尺寸薄膜結構的可展開空間結構的地面動力學驗證試驗方法,可消除空氣阻力效應對航天結構的影響。

2)建立的矩形膜面與網格膜的動力學等效準則,通過數(shù)值算例可驗明,能夠使網格膜與矩形膜面具有基本一致的動力學特性。

3)聲固耦合仿真證明,網格膜對空氣阻力效應不敏感。