(1.沈陽工學(xué)院基礎(chǔ)課部， 遼寧撫順113122； 2.遼寧石油化工大學(xué)理學(xué)院， 遼寧撫順113001)

0 引言

近幾年，非線性系統(tǒng)狀態(tài)觀測器的研究非常活躍，非線性系統(tǒng)狀態(tài)觀測器分為全維觀測器和降維觀測器兩種，其中降維觀測器只能估計與系統(tǒng)的輸出狀態(tài)無關(guān)的部分狀態(tài)向量，它的維數(shù)要比全維觀測器低，可用較少的變量表示且整個控制系統(tǒng)更簡單[1]。針對非線性系統(tǒng)觀測器的研究方法一般可歸為兩類：一是坐標(biāo)變換法；二是類Lyapunov方法。第二種方法幾乎在各種情形下的觀測器設(shè)計中得到廣泛的應(yīng)用，其基本思想是基于Lyapunov穩(wěn)定性理論[2]。

針對含有Lipschitz非線性部分的系統(tǒng)觀測器設(shè)計，文獻[3-5]分別進行了研究。文獻[1]利用微分中值定理和Schur補研究了一類離散時間非線性系統(tǒng)降維觀測器設(shè)計問題。文獻[6-7]借助于線性矩陣不等式以及微分中值定理，討論了一類非線性系統(tǒng)的降維觀測器設(shè)計問題，給出了一類非線性系統(tǒng)降維觀測器存在的充分條件。文獻[8]基于輸出對未知輸入相關(guān)度的概念，構(gòu)造輔助輸出，使得匹配條件得以滿足。在假設(shè)輔助輸出可測時針對一類未知輸入系統(tǒng)提出了一種降維觀測器的設(shè)計方法。

事實上，很多控制過程中都有不同程度的延遲現(xiàn)象，因此對帶有時滯性的系統(tǒng)觀測器設(shè)計理論進行研究具有一定的應(yīng)用和現(xiàn)實意義，文獻[9]針對廣義時滯系統(tǒng)的降維觀測器進行了設(shè)計，并給出了在一定條件下降維觀測器的具體形式。文獻[10]針對一類Lipschitz非線性系統(tǒng)，基于Lyapunov穩(wěn)定性理論研究了降維觀測器設(shè)計的問題。文獻[11]主要利用線性矩陣不等式(LMI)方法，研究一類離散時滯非線性系統(tǒng)的全維及降維觀測器設(shè)計問題。針對降維觀測器的應(yīng)用，文獻[12]利用正交原理，將故障狀態(tài)與系統(tǒng)狀態(tài)進行解耦，構(gòu)造出了用于故障估計的降維觀測器，為降低診斷算法的計算量，優(yōu)化算法參數(shù)，設(shè)計了一種基于降維觀測器的最優(yōu)故障診斷算法。文獻[13]設(shè)計了一種降維觀測器來實現(xiàn)非線性動態(tài)系統(tǒng)中執(zhí)行器故障的診斷，彌補了以往在研究實現(xiàn)執(zhí)行器故障診斷時需要故障或故障導(dǎo)數(shù)以及干擾上界已知的不足。

廣義系統(tǒng)可以用于描述更為普遍的實際系統(tǒng)，自提出后一直是研究熱點[14-16]。目前，關(guān)于含非線性項時滯系統(tǒng)降維觀測器的設(shè)計已經(jīng)取得了一定的成果，但是針對廣義系統(tǒng)降維觀測器的研究較少，因此，研究含非線性項的時滯離散廣義系統(tǒng)降維觀測器的設(shè)計方法具有一定的積極意義。本文沿文獻[11]的路線，將研究Lipschitz非線性時滯離散系統(tǒng)降維觀測器的設(shè)計方法推廣到廣義系統(tǒng)的形式。利用線性矩陣不等式(LMI)方法，基于Lyapunov穩(wěn)定性理論，設(shè)計一類Lipschitz非線性時滯離散廣義系統(tǒng)的降維觀測器，并保證降維觀測器誤差系統(tǒng)全局漸近穩(wěn)定。

1 系統(tǒng)描述

考慮如下時滯廣義系統(tǒng)：

(1)

其中，E∈Rn×n為異矩陣且滿足rank(E)=q

假設(shè)1系統(tǒng)(1)的非線性部分Φ(x(k),x(k-d),u(k))滿足Lipschitz條件:

其中，Lipschitz常數(shù)為LΦ。

根據(jù)假設(shè)2，系統(tǒng)(1)可以表示為:

x(k+1)=TAx(k)+TAdx(k-d)+TΦ(x(k),x(k-d),u(k))+Ny(k+1),

(2)

記:

Φ′(x(k),x(k-d),u(k))=TΦ(x(k),x(k-d),u(k)),

則式(2)可以表示為:

(3)

對狀態(tài)變量x(k),x(k-d)進行如下形式的分塊:

x(k)=(x1(k)x2(k))T,x(k-d)=(x1(k-d)x2(k-d))T,

其中，x1(k),x1(k-d)∈Rp,x2(k),x2(k-d)∈Rn-p。

不失一般性，假設(shè)C=(Ip0)，則有:

y(k)=Cx(k)=x1(k),y(k-d)=Cx(k-d)=x1(k-d)。

(LIn-p)Ny(k+1)-Ly(k+1)。

(4)

2 降維觀測器的設(shè)計

本文分兩種情況，依次設(shè)計系統(tǒng)的降維觀測器。

①系統(tǒng)不含Lipschitz非線性項的情況

當(dāng)系統(tǒng)(1)中不含Lipschitz非線性項時，根據(jù)系統(tǒng)變換式(4)可設(shè)計如下降維觀測器：

(5)

(6)

②系統(tǒng)含Lipschitz非線性項的情況

當(dāng)系統(tǒng)(1)含有Lipschitz條件的非線性項時，根據(jù)系統(tǒng)變換式(4)可設(shè)計如下降維觀測器：

(LIn-p)Ny(k+1)-Ly(k+1),

(7)

(8)

其中:

ΔΦk′=Φ′((y(k)x2(k))T,(y(k-d)x2(k-d))T,u(k))-

3 降維觀測器存在的條件

定理1若存在矩陣P,Q和L滿足不等式(9)，則式(5)為系統(tǒng)(1)不含非線性項的降維觀測器：

(9)

選取李雅普諾夫函數(shù)：

故有:

其中:

由Schur補引理可知，M1<0等價于不等式(9)誤差系統(tǒng)漸進穩(wěn)定，式(5)為系統(tǒng)(1)中不含非線性項的降維觀測器。

定理2若存在矩陣P,Q和L滿足不等式(10)，則式(7)為系統(tǒng)(1)含非線性項的降維觀測器：

(10)

其中*為對稱矩陣中對稱部分。

記:

ΔΦk′=Φ′((y(k)x2(k))T,(y(k-d)x2(k-d))T,u(k))-

選取李雅普諾夫函數(shù)：

由于Φ(x(k),x(k-d),u(k))滿足Lipschitz條件，知：

ΔΦk+1′TΔΦk+1′≤β2[e2T(k+1)e2(k+1)+e2T(k+1-d)e2(k+1-d)]，

故有：

其中：

由Schur補引理知，M2<0 等價于不等式(10)，ΔV<0 誤差系統(tǒng)漸進穩(wěn)定，式(7)為系統(tǒng)的降維觀測器。

注:在判定降維觀測器存在的充分條件時，定理1與定理2中分別構(gòu)造了李雅普諾夫函數(shù)，其中定理2中李雅普諾夫函數(shù)的構(gòu)造考慮到了系統(tǒng)的Lipschitz非線性部分，最后給出了降維觀測器存在的充分條件。

4 算例

例考慮系統(tǒng)(1)的參數(shù)如下：

系統(tǒng)中Lipschitz非線性項為：

由假設(shè)系統(tǒng)(1)可觀測，可計算出行滿滯矩陣[TN]中的矩陣T,N分別為:

則系統(tǒng)(1)通過變換可以得到式(2)形式， 與文獻[11]中的數(shù)值算例相同，即:

利用線性矩陣不等式的求解方法，可求得降維觀測器的增益矩陣：

可知降維觀測器的誤差系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，且降維觀測器的誤差收斂速度比文獻[11]中全維觀測器誤差收斂速度更快。

5 結(jié)語

針對一類非線性時滯離散廣義系統(tǒng)，主要研究了降維觀測器的設(shè)計問題。在系統(tǒng)狀態(tài)觀測器設(shè)計中，利用Lyapunov穩(wěn)定性理論與Schur補引理得到了降維觀測器存在的充分條件；在觀測器的設(shè)計中，利用線性矩陣不等式(LMI)方法得到了觀測器的增益矩陣。最后，通過算例驗證了降維觀測器設(shè)計方法的可行性。

目前，關(guān)于非線性系統(tǒng)降維觀測器的設(shè)計，大多基于非線性項滿足Lipschitz條件，而基于Lipschitz條件所得到的降維觀測器具有一定的保守性，針對含不確定項的非線性時滯系統(tǒng)降維觀測器的設(shè)計可作為進一步研究的方向。