唐俊杰，晏紫琦，徐敬彭，蔡敢為

(廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院， 廣西南寧530004)

0 引言

由于加工誤差、裝配不合理以及實(shí)際工作中磨損等因素的客觀存在，運(yùn)動副間隙對精度的影響不容忽視。近年來，國內(nèi)外學(xué)者致力于研究運(yùn)動副間隙對機(jī)構(gòu)精度的影響。在間隙誤差分析方面，Venanzi等[1]采用虛功原理對運(yùn)動副間隙誤差進(jìn)行分析；Tsai等[2]在此基礎(chǔ)上研究了運(yùn)動副間隙對機(jī)械傳動的影響；張義民等[3]結(jié)合虛功原理和優(yōu)化技術(shù)，提出一種分析平面機(jī)構(gòu)誤差的數(shù)值計算方法。在間隙誤差補(bǔ)償方面，沈江等[4]采用加逆模前饋的PID控制對含間隙曲柄滑塊機(jī)構(gòu)進(jìn)行誤差補(bǔ)償；張憲民等[5]對3-RRR并聯(lián)機(jī)器人進(jìn)行誤差標(biāo)定進(jìn)而在機(jī)構(gòu)逆運(yùn)動學(xué)中進(jìn)行識別補(bǔ)償；謝平等[6]以及余躍慶等[7]均通過優(yōu)化算法對并聯(lián)機(jī)器人進(jìn)行優(yōu)化補(bǔ)償。以上研究均能較好的提高機(jī)器人的定位精度，但是在研究過程中，較少考慮運(yùn)動副間隙誤差產(chǎn)生的原因和變化的規(guī)律，同時也未能將所研究的理論運(yùn)用于工程實(shí)踐。

傳統(tǒng)串聯(lián)式碼垛機(jī)器人需將旋轉(zhuǎn)電機(jī)安裝在關(guān)節(jié)處，不僅會增大機(jī)械臂的轉(zhuǎn)動慣量，積累關(guān)節(jié)誤差，還會導(dǎo)致末端執(zhí)行器發(fā)生振動，嚴(yán)重影響工作精度[8]。本文基于串聯(lián)式機(jī)器人的局限性，將可控式機(jī)構(gòu)[9]和并聯(lián)機(jī)構(gòu)的理念融合，以增大承載能力、提高工作精度為目的[10]，設(shè)計出一種可控式碼垛機(jī)器人，根據(jù)碼垛機(jī)器人實(shí)際工況，選擇兩處受力變換頻繁的關(guān)節(jié)采用連續(xù)接觸模型[11]對運(yùn)動副間隙引起的精度誤差進(jìn)行分析，利用改進(jìn)的粒子群算法優(yōu)化驅(qū)動桿位移參數(shù)，進(jìn)而達(dá)到誤差補(bǔ)償?shù)哪康摹?/p>

1 新型可控碼垛機(jī)器人機(jī)構(gòu)設(shè)計

本文所設(shè)計的碼垛機(jī)器人底座與地面固定，由電機(jī)驅(qū)動旋轉(zhuǎn)機(jī)架繞底座法向方向轉(zhuǎn)動，其中大臂2的轉(zhuǎn)角由電推缸4控制，小臂3的轉(zhuǎn)角由電推缸4、6耦合控制。機(jī)架1、大臂2、平衡桿5和三角架7以及小臂3、三角架7、平衡桿8和平動保持架9組成兩個平行四邊形結(jié)構(gòu)，用以增加機(jī)構(gòu)穩(wěn)定性、提高承載能力和保持輸出末端水平。裝夾電機(jī)安裝在末端執(zhí)行裝置上，主要用于控制抓手的閉合與張開。碼垛機(jī)器人的機(jī)構(gòu)簡圖如圖1所示。

將碼垛機(jī)器人除旋轉(zhuǎn)機(jī)架和末端執(zhí)行裝置以外的部分視為其主構(gòu)型，則主構(gòu)型是由四個互有聯(lián)系的基本模塊組成。其中大臂升降模塊L1是由機(jī)架1、大臂2和電推缸4組成，通過調(diào)控電推缸4的伸縮長度進(jìn)而控制大臂2旋轉(zhuǎn)的角度；小臂調(diào)整模塊L2是由大臂2、小臂3和電推缸6組成，小臂3旋轉(zhuǎn)的角度是由大臂2的旋轉(zhuǎn)角度以及電推缸6的伸縮長度聯(lián)合控制；模塊L3、L4均為平行四邊形結(jié)構(gòu)，碼垛機(jī)器人的環(huán)路模塊示意圖如圖2所示。

圖1 碼垛機(jī)器人機(jī)構(gòu)簡圖
Fig.1 Schematic diagram of palletizing robot

圖2 碼垛機(jī)器人環(huán)路模塊圖
Fig.2 Modular diagram of palletizing robot

2 考慮運(yùn)動副間隙的誤差分析

可控碼垛機(jī)器人采用轉(zhuǎn)動副實(shí)現(xiàn)運(yùn)動傳遞和能量轉(zhuǎn)換，但受限于加工制造、裝配精度以及長期工作加劇運(yùn)動副磨損等因素的影響，不可避免會存在運(yùn)動副間隙。本文所設(shè)計的新型碼垛機(jī)器人在工作過程中，C、F處桿端力的大小和方向變化頻繁，需著重考慮這兩處的轉(zhuǎn)動副間隙對機(jī)構(gòu)運(yùn)動精度的影響。

圖3 運(yùn)動副間隙模型Fig.3 Model of joint clearance

建立如圖3所示的運(yùn)動副間隙模型。設(shè)轉(zhuǎn)動副的孔和軸均為標(biāo)準(zhǔn)圓，半徑分別是RB和RJ，在不考慮間隙時，桿件a的理想長度為l，理想角位移為θ；考慮運(yùn)動副間隙時，桿件a的實(shí)際長度為l′，實(shí)際角位移為θ′。其中r是O到O′之間的長度，表示為誤差圓的半徑。桿長和角位移的變化引起系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)誤差，進(jìn)而使得末端偏離理想位置，根據(jù)圖中所示，理想狀況下的桿長和轉(zhuǎn)角以及實(shí)際狀況下的桿長和轉(zhuǎn)角之間存在如下關(guān)系：

(1)

(2)

根據(jù)本文所研究的可控碼垛機(jī)器人的實(shí)際工作軌跡，可將運(yùn)動副間隙模型視為連續(xù)接觸模型，視運(yùn)動副間隙為一定長無質(zhì)量的連桿。根據(jù)誤差模型可知：

r=RB-RJ，

(3)

φ∈[0,2π]。

(4)

根據(jù)前文所劃分的模塊，以大臂升降模塊(記為模塊Ⅰ)和小臂調(diào)整模塊(記為模塊Ⅱ)為基礎(chǔ)，分別對理想模型和考慮運(yùn)動副間隙的實(shí)際模型進(jìn)行分析，推導(dǎo)理論軌跡和實(shí)際軌跡之間的偏差。

在理想狀態(tài)下(圖4)，記lBC長度為l1，大臂旋轉(zhuǎn)角度和電推缸4的旋轉(zhuǎn)角度分別為φ1和φ2；考慮運(yùn)動副間隙時(圖5)，記lBC長度為l1′，其中l(wèi)1′=l1+Δl1，大臂旋轉(zhuǎn)角度和電推缸4的旋轉(zhuǎn)角度分別為φ1′和φ2′，則有：

圖4 理想狀態(tài)下的模塊Ⅰ
Fig.4 Modular Ⅰ without clearance

圖5 含間隙狀態(tài)下的模塊Ⅰ
Fig.5 Modular Ⅰ with clearance

(5)

(6)

(7)

(8)

在該運(yùn)動副間隙模型下銷軸與套筒內(nèi)壁連續(xù)接觸，則lCC′的長度為定值，表示為：

((l1+Δl1)cosφ2′-l1cosφ2)2+((l1+Δl1)sinφ2′-l1sinφ2)2=(RB-RJ)2，

(9)

其中：

RJ-RB≤Δl1≤RB-RJ。

(10)

在理想狀態(tài)下(圖6)，記lEF長度為l2，小臂旋轉(zhuǎn)角度和電推缸5的旋轉(zhuǎn)角度分別為φ4和φ3；考慮運(yùn)動副間隙時(圖7)，lEF長度為l2′，其中l(wèi)2′=l2+Δl2，小臂旋轉(zhuǎn)角度和電推缸5的旋轉(zhuǎn)角度分別為φ4″和φ3″，則有：

圖6 理想狀態(tài)下的模塊Ⅱ
Fig.6 Modular Ⅱ without clearance

圖7 實(shí)際狀態(tài)下的模塊Ⅱ
Fig.7 Modular Ⅱ with clearance

(11)

(12)

(13)

(14)

考慮到在連續(xù)接觸模型[10]下銷軸與套筒內(nèi)壁始終接觸，則lF′F″的長度為定值，表示為：

((l2+Δl2)cos(φ3″+Δφ1)-l2cos(φ3′+Δφ1))2+

((l2+Δl2)sin(φ3″+Δφ1)-l2sin(φ3′+Δφ1))2=(RB-RJ)2，

(15)

其中：

RJ-RB≤Δl2≤RB-RJ，

(16)

Δφ1=φ1′-φ1。

(17)

由碼垛機(jī)器人機(jī)構(gòu)簡圖可知，H點(diǎn)與平動保持架相連。本文選取平動保持架的中點(diǎn)位置為參考點(diǎn)，對由運(yùn)動副間隙引起的結(jié)構(gòu)誤差進(jìn)行分析，該點(diǎn)的軌跡(x,y)表示為：

(18)

其中d表示為水平方向上H點(diǎn)與參考點(diǎn)之間的距離。

理想狀態(tài)下，參考點(diǎn)的軌跡表示為：

(19)

考慮運(yùn)動副間隙的狀態(tài)下，參考點(diǎn)的軌跡表示為：

(20)

記Δx=x′-x、Δy=y′-y，分別表示某一時刻理想軌跡與實(shí)際軌跡在x、y方向上的差值。

3 改進(jìn)的PSO算法

粒子群算法是基于生物種群行為實(shí)現(xiàn)優(yōu)化的一種智能算法。使用粒子群算法進(jìn)行優(yōu)化，需初始化若干無質(zhì)量無體積的粒子，將每個粒子視為一個優(yōu)化的可行性方案，通過設(shè)定區(qū)間以保證粒子的運(yùn)動范圍，設(shè)定適應(yīng)度函數(shù)判定粒子的優(yōu)劣[12]。通過模擬生物種群行為，粒子將通過繼承先前運(yùn)動、思考下一步?jīng)Q策以及與其他粒子共享信息等方法追隨當(dāng)前最優(yōu)粒子，逐步迭代進(jìn)而得到最優(yōu)解。每次迭代過程中，粒子均跟隨自身找尋到的最優(yōu)解以及種群找尋到最優(yōu)解兩個極值。因而該算法無交叉、變異運(yùn)算，搜索速度快，結(jié)構(gòu)簡單，優(yōu)化效果較好。但由于未能對速度進(jìn)行動態(tài)調(diào)節(jié)，容易陷入局部尋優(yōu)而降低收斂精度，此外需要考慮參數(shù)控制來實(shí)現(xiàn)最優(yōu)效果。

標(biāo)準(zhǔn)PSO算法表示為：

(21)

其中ω為慣性因子，用以確定搜索類型：若ω取較大值，適用于全局尋優(yōu)，若ω取較小值，有利于局部搜索；c1、c2為學(xué)習(xí)因子且二者均大于零，反映為粒子群間的信息共享與交流；xij、vij分別表示為粒子i的位置和速度；pij、pgj分別為粒子i的個體最優(yōu)位置和群體最優(yōu)位置；r1、r2分別為分布于[0,1]之間的隨機(jī)數(shù)。

針對上文所分析粒子群算法的不足，本文引進(jìn)線性遞減的權(quán)重因子，以實(shí)現(xiàn)在迭代初期加強(qiáng)全局尋優(yōu)，在迭代后期專注局部尋優(yōu)的效果，進(jìn)而規(guī)避其容易陷入局部尋優(yōu)，導(dǎo)致精度差的缺點(diǎn)。

(22)

其中ωs、ωf分別為起始、終止時刻的慣性因子，tmax為最大迭代步數(shù)。

在進(jìn)行計算時，每個粒子均需要重新完成完整的PSO算法尋優(yōu)，計算周期長，優(yōu)化周期多，優(yōu)化過程中粒子陷入局部最優(yōu)的概率也隨之增大。因此，為提高計算效率，提升求解精度，此處引入壓縮因子γ[13]，代入式(21)中可得：

vij(t+1)=γ·[ωvij(t)+c1r1[pij(t)-xij(t)]+c2r2[pgj(t)-xij(t)]]，

(23)

其中：

(24)

根據(jù)以上分析，本文引入一種標(biāo)準(zhǔn)PSO算法和三種改進(jìn)的PSO算法進(jìn)行迭代計算，四種算法的各項參數(shù)如表1所示：

表1 PSO優(yōu)化算法參數(shù)Tab.1 Parameters of PSO algorithms

4 基于PSO算法的誤差補(bǔ)償

本節(jié)基于前文所分析的精度誤差，利用改進(jìn)的PSO算法對可控碼垛機(jī)器人由運(yùn)動副間隙所引起的誤差進(jìn)行補(bǔ)償。根據(jù)式(5)～式(20)，定義末端參考點(diǎn)的位移偏差為適應(yīng)度函數(shù)：

(25)

可控碼垛機(jī)器人結(jié)構(gòu)參數(shù)如表2所示：

表2 可控碼垛機(jī)器人機(jī)構(gòu)參數(shù)1Tab.2 Mechanical parameters table of palletizing robot

注1：lABx、lABy分別為lAB在x、y方向上投影的長度。

參考點(diǎn)的位姿誤差是由機(jī)構(gòu)名義結(jié)構(gòu)誤差、驅(qū)動桿輸出誤差以及運(yùn)動副間隙誤差所引起的實(shí)際結(jié)構(gòu)誤差共同作用，是一個多輸入、多變量、強(qiáng)耦合的非線性方程，因此很難通過解析計算求得最優(yōu)解，故將其轉(zhuǎn)換為優(yōu)化問題。定義dli=Δli+δli，其中δli稱為驅(qū)動桿位移參數(shù)，本節(jié)對δli進(jìn)行優(yōu)化，通過減小Δφ1′和Δφ4″，達(dá)到補(bǔ)償間隙誤差的目的。

本文所研究的主構(gòu)型是由電推缸4、6進(jìn)行驅(qū)動，可視其長度為變量。因此定義驅(qū)動函數(shù)為：

(26)

將式(26)代入式(5)～式(25)中，運(yùn)動副間隙補(bǔ)償?shù)牧鞒倘缦拢?/p>

圖8 位姿誤差適應(yīng)度曲線Fig.8 Fitness curves of position error

①根據(jù)前文分析的間隙誤差模型，確定理論軌跡、理論結(jié)構(gòu)參數(shù)以及考慮運(yùn)動副間隙的誤差結(jié)構(gòu)參數(shù)；

②將理論軌跡、理論結(jié)構(gòu)參數(shù)和誤差結(jié)構(gòu)參數(shù)代入到粒子群優(yōu)化算法中，通過迭代降低適應(yīng)度值直至滿足終止條件；

③將優(yōu)化后的驅(qū)動函數(shù)輸入到模型中，計算出實(shí)時末端實(shí)際軌跡；

④重復(fù)①～③，最終完成誤差補(bǔ)償。

根據(jù)以上分析，繪制位姿誤差隨迭代次數(shù)增加而變化的適應(yīng)度曲線如圖8所示：

由圖8所示，兩種壓縮因子的粒子群算法收斂速度較快，遞減權(quán)重壓縮因子的粒子群算法收斂性能最佳，本文利用該算法對運(yùn)動副間隙引起的誤差進(jìn)行補(bǔ)償。

以遞減權(quán)重壓縮因子的粒子群算法進(jìn)行優(yōu)化時，繪制的x，y方向參考點(diǎn)軌跡曲線對比圖。

圖9x方向軌跡曲線對比圖
Fig.9 Comparison of trajectorycurves along thex-axis

圖10y方向軌跡曲線對比圖
Fig.10 Comparison of trajectorycurves along they-axis

利用MATLAB編程對曲線數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，結(jié)果如表3所示：

表3 誤差補(bǔ)償表Tab.3 Error compensation table

由表3可知，設(shè)定初始位置Δl1=Δl2=0.000 1 m，采用遞減權(quán)重壓縮因子的粒子群算法對驅(qū)動桿位移參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，x軸方向補(bǔ)償率為90.27 %，y軸方向補(bǔ)償率為80.45 %，能達(dá)到較好的優(yōu)化效果。采用該方法再加上控制系統(tǒng)調(diào)控，可降低由運(yùn)動副間隙所引起的位姿誤差，有效地提高了機(jī)構(gòu)精度可靠性。

5 結(jié)語

本文將可控式機(jī)構(gòu)與并聯(lián)機(jī)構(gòu)的理念結(jié)合，以提高承載能力和工作精度為目的，設(shè)計出一種新型可控式碼垛機(jī)器人，以該機(jī)器人的主結(jié)構(gòu)為研究對象，建立運(yùn)動副誤差模型。分析由運(yùn)動副間隙引起的結(jié)構(gòu)誤差，結(jié)合碼垛機(jī)器人實(shí)際工況，選取兩處桿端力大小和方向變化頻繁的關(guān)節(jié)，視其孔軸之間為一定長無質(zhì)量連桿進(jìn)行優(yōu)化分析。分別對理想模型和含間隙模型進(jìn)行計算，推導(dǎo)其末端參考點(diǎn)沿x、y軸方向的軌跡方程，二者相減即為軌跡誤差。對該誤差進(jìn)行優(yōu)化，通過遞減權(quán)重和壓縮因子兩種方法對標(biāo)準(zhǔn)PSO算法進(jìn)行改進(jìn)，以達(dá)到降低適應(yīng)度值的效果。利用文中改進(jìn)的PSO算法優(yōu)化驅(qū)動桿位移參數(shù)，設(shè)定初始位置進(jìn)行仿真，通過仿真迭代可得，在x軸方向的補(bǔ)償率達(dá)到90.27 %，在y軸方向的補(bǔ)償率達(dá)到80.45 %，結(jié)果表明采用該方法可降低由運(yùn)動副間隙引起的結(jié)構(gòu)誤差，進(jìn)而有效地提高工作精度和效率。