宋麗麗

(成都理工大學工程技術學院, 四川 樂山 614007)

1 引言及預備引理

用A表示所有的在開單位圓盤Δ={z∈C:|z|<1}內(nèi)解析且具有展式

(1)

的函數(shù)類.S為A的子集,其包容的函數(shù)都是單葉的.設函數(shù)f∈S和F∈S,如果存在一個施瓦茨函數(shù)ω滿足：ω(0)=0,|ω(z)|<1(z∈Δ),使得f(z)=F(ω(z))成立，則稱函數(shù)f(z)從屬于函數(shù)F(z),記為f(z)F(z).在此重憶由Janowski[1]定義的2個重要的解析函數(shù)類K[A,B]和S*[A,B]如下：

其中,-1≤B

K[1-2α,-1]≡K(α),

S*[1-2α,-1]≡S*(α), 0<α≤1

分別為α序星形函數(shù)族和α序凸函數(shù)族.同樣也能看出P[1,-1]≡P是正實部函數(shù)族.

為了研究需要，現(xiàn)給出這Pochhammer符號(x)k,其定義形式為

(2)

其中,n,m∈N={0,1,2,…},λ1,λ2≥0和c(n,k)=(n+1)k-1/(1)k-1.

(3)

R[ψ(p(z),zp′(z))]>0,z∈Δ,

則R(p(z))>0(z∈Δ).

2 主要結(jié)果

定理 2.1如果-1≤B1

其中半徑r0決定方式為

(4)

為了得到期待的結(jié)果,顯然需要證實從屬關系

(5)

當|z|

w(z)=Y-1(X(r0z)),z∈Δ,

(6)

容易看出w(0)=0和w(z)在Δ內(nèi)是解析的.進一步,由(5)式得到

(7)

依據(jù)(4)、(6)和(7)式有

|w(z)|=|Y-1(X(r0z))|=

上面的不等式使用了

因此,這等式w(z)=Y-1(X(r0z))暗示了從屬關系X(r0z)Y(z)(z∈Δ),證明完成.

其中

這個界是恰好的.

1+p1z+p2z2+…+pnzn+…,z∈Δ.

(8)

為了方便取

從(2)和(8)式容易看到

z(1+2d2z+3d3z2+…+(k+1)dk+1zk+…)=

(z+d2z2+d3z3+…+dkzk+…)×

(1+p1z+p2z2+…+pnzn+…).

(9)

在(9)式兩邊,對比zk的系數(shù),注意到

d2=p1, 2d3=p2+p1d2,

3d4=p3+d2p2+d3p1,…,

(k-1)dk=pk-1+d2pk-2+…+dk-1p1,

因此,簡單的整理后得到

由于引理1.1知|pi|≤A-B(i=1,2,…).進一步,對上面的系數(shù)使用推理方法可以得到

|a2|≤(A-B)f2,

因此,需要的不等式被給出.這些界是恰好的，等號取到當且僅當f(z)按如下方式定義

證明完成.

注 2.1如果在定理2.2中分別取λ1=λ2=0,n=0和取λ1=λ2=0,n=1,則可以得到文獻[15-16]已有結(jié)果.進一步，若取A=1,B=-1,可以得到星形函數(shù)S*和凸函數(shù)K恰好系數(shù)邊界估計.

這些結(jié)果是恰好的.

所以

(11)

事實上,容易看出

(12)

由(11)和(12)式有

(13)

(14)

在(13)和(14)式兩邊同時積分后簡單計算,得到需要的估計.同時,等號可以取到當且僅當函數(shù)f(z)定義為

推論 2.1[16]如果f(z)∈K[A,B],則當|z|≤r(0

這些結(jié)果是恰好的.

證明首先,在定理2.3中取λ1=λ2=0和n=1,立馬得到關于|f′(z)|的不等式成立.接下來,討論|f(z)|的界.設z=reiθ(0

這給出了|f(z)|的上界.為了證明|f(z)|的下界,對任意r，取z0且|z0|=r,使得

如果Γ(z0)是弧段{0,f(z0)}的原像,則

這完成了推論2.1證明.

注 2.2特別地,通過在定理2.3中合理選擇參數(shù),可以取得熟悉的星形函數(shù)、凸函數(shù)以及S*[A,B]族的恰好偏差結(jié)果.

其中平方根取主支.

(15)

2β(1-β)p(z)+

2(1-β)zp′(z)[(1-β)p(z)+β],

這確保了

定義ψ:C2→C:

(17)

聯(lián)合使用(16)和(17)式有

R[ψ(p(z),zp′(z))]=

進一步證明當y≤-(1+x2)/2時有R[ψ(ix,y)]<0.注意到

其中

這暗示了R[ψ(ix,y)]<0.由引理1.2有R(p(z))>0.因此

這完成定理2.4證明.

注 2.3在定理2.4中,如果限定參數(shù)λ1=λ2=0,n=0,B=-1,A=1-2α(α∈(0,1]),則可以得到Hussain等[17]的定理3.3的結(jié)果.