李寶麟, 徐志燕

(西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 甘肅 蘭州 730070)

1 預(yù)備知識(shí)

Slavík[1]研究了一類無限滯后測(cè)度泛函微分方程

(1)

并且證明在一定條件下此方程與廣義常微分方程的等價(jià)關(guān)系.在文獻(xiàn)[2]中,方程(1)是測(cè)度微分方程的積分形式:

Dx=G(s,xs)Dg,

(2)

其中,g(s)是不減函數(shù),Dx、Dg是函數(shù)x和g的分布導(dǎo)數(shù).方程(1)右端是Kurzweil-Stieltjes積分.文獻(xiàn)[3]研究了無限滯后測(cè)度泛函微分方程的解關(guān)于初值條件的可微性.

文獻(xiàn)[4]研究了廣義常微分方程的解關(guān)于初值條件和參數(shù)的可微性.

本文在文獻(xiàn)[1,4]的基礎(chǔ)上,借助無限滯后測(cè)度泛函微分方程與廣義常微分方程的等價(jià)關(guān)系,考慮如下方程

(3)

的解關(guān)于參數(shù)的可微性.

方程(3)等價(jià)于積分方程

(4)

其中,x是取值在Rn上的函數(shù),符號(hào)xs:(-∞,0]→Rn,xs(τ)=x(s+τ)表示滯后的長(zhǎng)度,λ0∈Rl,ρ>0,Λ={λ∈Rl;‖λ-λ0‖<ρ}.

無限滯后測(cè)度泛函微分方程滿足的相空間H0?G((-∞,0],Rn)是賦范線性空間,其中的范數(shù)為‖·‖*,假設(shè)賦范線性空間H0滿足下列條件[1]:

(H1)H0是完備的;

(H2) 如果x∈H0且t<0,則xt∈H0;

(H3) 存在有界函數(shù)k1:(-∞,0]→R+使得如果x∈H0且t≤0,則‖x(t)‖≤k1(t)‖x‖*;

(H4) 存在一個(gè)函數(shù)k2:(0,∞)→[1,∞)使得如果σ>0,x(t)∈H0且t∈[-σ,0],則

(H5) 存在有界函數(shù)k3:(-∞,0]→R+使得如果x∈H0且t≤0,則

‖xt‖*≤k3(t)‖x‖*;

例 1.1[1]對(duì)于賦范線性空間H0滿足條件(H1)～(H6)的最簡(jiǎn)單的例子是有界正則函數(shù)空間BG((-∞,0],Rn),它包含了(-∞,0]上的全體有界正則函數(shù),并且賦予上確界范數(shù)

y∈BG((-∞,0],Rn).

可以直接驗(yàn)證條件(H1)～(H5)是滿足的;特別地,對(duì)任意的t≤0,k1(t)=k3(t)=1且對(duì)任意的σ>0,k2(σ)=1時(shí),條件(H3)～(H5)是成立的.由文獻(xiàn)[1]中引理2.3可知,條件(H6)成立.

設(shè)X是Banach空間,O?X是一個(gè)開子集.f:P×[t0,t0+σ]×Λ→Rn滿足如下條件:

(A2) 存在1個(gè)關(guān)于g的Kurzweil-Stieltjies可積函數(shù)M:[t0,t0+σ]→R+,滿足

其中(x,λ)∈O×Λ,[a,b]?[t0,t0+σ];

(A3) 存在1個(gè)關(guān)于g的Kurzweil-Stieltjies可積函數(shù)L:[t0,t0+σ]→R+,滿足

其中,(x,λ1),(y,λ2)∈O×Λ,[a,b]?[t0,t0+σ](假設(shè)右端積分是存在的).g:[t0,t0+σ]→R是不減函數(shù),P={xt:x∈O,t∈[t0,t0+σ]}?H0,H0?G((-∞,0],Rn),H0是滿足條件(H1)～(H6)的Banach空間,G((-∞,0],Rn)是正則函數(shù)f:(-∞,0]→Rn構(gòu)成的空間,稱1個(gè)函數(shù)f:[a,b]→Rn是正則函數(shù),即極限

均存在.

本文利用廣義常微分方程的解關(guān)于參數(shù)的可微性討論無限滯后測(cè)度泛函微分方程(3)的解關(guān)于參數(shù)的可微性.

2 預(yù)備知識(shí)

τi∈[αi-1,αi]?(τi-δ(τi),τi+δ(τi)),

定義 2.1[4]1個(gè)矩陣值函數(shù)F:[a,b]×[a,b]→Rn×m稱為在[a,b]上Kurzweil可積的,如果存在1個(gè)矩陣I∈Rn×m,使得對(duì)任意的ε>0,存在定義在[a,b]上的正值函數(shù)δ,使得對(duì)[a,b]上的任何δ-精細(xì)分化D,有

(5)

特別地,當(dāng)f:[a,b]→Rn且g:[a,b]→R,F(τ,t)=f(τ)g(t)時(shí),記作

定義 2.2[4]設(shè)Ω?X×R,(x,t)∈Ω,稱函數(shù)x:[a,b]→X為廣義常微分方程

(6)

在區(qū)間[a,b]?R上的解,是指對(duì)所有的(x(t),t)∈Ω,且對(duì)每個(gè)s1,s2∈[a,b],有

成立.

定義 2.3[1]設(shè)X是1個(gè)Banach空間,O?X,稱F:O×[t0,t0+σ]→X屬于F(O×[t0,t0+σ],h,k),如果F滿足下列條件:

(F1) 存在1個(gè)不減函數(shù)h:[t0,t0+σ]→R,使得F:O×[t0,t0+σ]→X滿足對(duì)任意的x∈O,s1,s2∈[t0,t0+σ]有

‖F(xiàn)(x,s2)-F(x,s1)‖≤

|h(s2)-h(s1)|.

(7)

(F2) 存在1個(gè)不減函數(shù)k:[t0,t0+σ]→R,使得F:O×[t0,t0+σ]→X滿足對(duì)任意的x,y∈O,s1,s2∈[t0,t0+σ]有

‖F(xiàn)(x,s2)-F(x,s1)-F(y,s2)+F(y,s1)‖≤

‖x-y‖·|k(s2)-k(s1)|.

(8)

引理 2.2[4]設(shè)函數(shù)U:[a,b]×[a,b]→Rn×n是Kurzweil可積函數(shù),假設(shè)存在函數(shù)f:[a,b]→Rn和g:[a,b]→R,滿足f是正則的,g是不減的,且

‖U(τ,t)-U(τ,s)‖≤

f(τ)|g(t)-g(s)|,τ,t,s∈[a,b],

(9)

則

引理 2.3[5]設(shè)U:[a,b]×[a,b]→Rn×m是Kurzweil可積的,u:[a,b]→Rn×m可表示為

s∈[a,b].

(10)

如果U關(guān)于第二個(gè)變?cè)钦齽t的,則u也是正則的,且滿足

u(τ+)=u(τ)+U(τ,τ+)-U(τ,τ),

τ∈[a,b),

u(τ-)=u(τ)+U(τ,τ-)-U(τ,τ),

τ∈(a,b].

此外,如果存在1個(gè)不減函數(shù)h:[a,b]→R使得

‖U(τ,t)-U(τ,s)‖≤|h(t)-h(s)|,

τ,t,s∈[a,b],

則

‖u(t)-u(s)‖≤|h(t)-h(s)|,

t,s∈[a,b].

引理 2.4[5]設(shè)h:[a,b]→[0,+∞)是不減的左連續(xù)函數(shù),k>0,l≥0,如果ψ:[a,b]→[0,+∞)是有界的且滿足

則對(duì)任意的ξ∈[a,b],有ψ(ξ)≤kel(h(ξ)-h(a)).

引理 2.5[4]設(shè)F:[a,b]×[a,b]→Rn×n滿足(7)式,令y,z:[a,b]→Rn使得

s∈[a,b],

則z在[a,b]上是正則的.

引理 2.6[4]設(shè)F:[a,b]×[a,b]→Rn×n是Kurzweil可積的,且存在一個(gè)左連續(xù)函數(shù)h,使得F滿足(7)式,則對(duì)任意的z0∈Rn,初值問題

(11)

有唯一解z:[a,b]→Rn.

引理 2.7[1]如果空間H0?G((-∞,0],Rn)滿足條件(H1)～(H6),則對(duì)于任意的a∈R,下列條件成立:

1)Ha是完備的;

2) 如果x∈Ha且t≤a,則xt∈H0;

3) 如果t≤a且x∈Ha,則‖x(t)‖≤k1(t-a)‖x‖*;

4) 如果σ>0,且函數(shù)x∈Ha+σ在[a,a+σ]中取值,則

5) 如果x∈Ha+σ且t≤a+σ,則‖xt‖*≤k3(t-a-σ)‖x‖*;

設(shè)B=O×Λ,且賦予L1范數(shù).當(dāng)(x,λ)∈B,則

‖x‖+‖λ‖,

因此定義2.3可重新敘述為定義2.4.

定義 2.4[6]設(shè)X是1個(gè)Banach空間,O?X,稱F:O×[t0,t0+σ]×Λ→X屬于F(O×[t0,t0+σ]×Λ,h,k),如果滿足下列條件:

(F1) 存在1個(gè)不減函數(shù)h:[t0,t0+σ]→R,使得F:O×[t0,t0+σ]×Λ→X滿足對(duì)任意的(x,λ)∈B,s1,s2∈[t0,t0+σ]有

‖F(xiàn)(x,s2,λ)-F(x,s1,λ)‖≤

|h(s2)-h(s1)|.

(12)

(F2) 存在1個(gè)不減函數(shù)k:[t0,t0+σ]→R,使得F:O×[t0,t0+σ]×Λ→X滿足對(duì)任意的(x,λ1),(y,λ2)∈B,s1,s2∈[t0,t0+σ]有

‖F(xiàn)(x,s2,λ1)-F(x,s1,λ1)-

F(y,s2,λ2)+F(y,s1,λ2)‖≤(‖x-y‖+

‖λ1-λ2‖)·|k(s2)-k(s1)|.

(13)

3 主要結(jié)果

定理 3.1設(shè)O是Ht0+σ的1個(gè)子集,t≥t0,P={xt:x∈O,t∈[t0,t0+σ]},φ∈P×Λ,g:[t0,t0+σ]→R是不減函數(shù),f:P×[t0,t0+σ]×Λ→Rn滿足條件(A1)～(A3),F:O×[t0,t0+σ]×Λ→G((-∞,t0+σ],Rn)由(16)式給出且在Ht0+σ中取值.如果(y,λ)∈O×Λ是測(cè)度泛函微分方程

的一個(gè)解,則如下形式的函數(shù)(x,λ):[t0,t0+σ]×Rl→O×Λ,

(x(t,λ),λ)(v)=

是廣義常微分方程

t∈[t0,t0+σ],λ∈Λ

(15)

的一個(gè)解,其中x∈O,t∈[t0,t0+σ],λ∈Λ,F:O×[t0,t0+σ]×Λ→G((-∞,t0+σ],Rn)有

F(x,t,λ)(v)=

的一個(gè)解.

是廣義常微分方程

的一個(gè)解(詳細(xì)證明過程見文獻(xiàn)[1]中定理3.6),即定理得證.

定理 3.2設(shè)f:P×[t0,t0+σ]×Λ→Rn是連續(xù)函數(shù),其導(dǎo)數(shù)fx、fλ存在且在P×[t0,t0+σ]×Λ上連續(xù),并且滿足條件(A1)～(A3),其中P={xt:x∈O,t∈[t0,t0+σ]}?H0,H0?G((-∞,0],Rn)是滿足條件(H1)～(H6)的Banach空間,t0∈R,σ>0,O?Ht0+σ.如果g:[t0,t0+σ]→R是一個(gè)不減函數(shù),且對(duì)于任意的λ∈Λ,λ0∈Rl,ρ>0,Λ={λ∈Rl;‖λ-λ0‖<ρ},x0:Λ→O,初值問題(3)等價(jià)于廣義常微分方程

λ∈Λ,x(t0)=x0(λ),

(17)

且(17)式在[t0,t0+σ]×Λ上存在唯一解.令x(t,λ)是(17)式的解在t∈[t0,t0+σ]上的值.

進(jìn)一步,如果下列條件成立:

2) 函數(shù)x0在λ0處可微.

Fλ(x(τ,λ0),t,λ)],s∈[t0,t0+σ]

(18)

的唯一解.

證明根據(jù)假設(shè),對(duì)于任意的x,y∈O,t∈[t0,t0+σ],t0≤t1

‖fx(xt,t,λ)‖≤A1,

‖fx(xt,t)-fx(yt,t)‖≤A2(‖x-y‖*)×

‖fλ(xt,t,λ)‖≤B1,

‖fλ(xt,t)-fλ(yt,t)‖≤B2(‖x-y‖*)×

Fx(x,t2,λ)(τ)-Fx(x,t1,λ)(τ)=

對(duì)于任意的x∈O,由引理2.7的第四條可得:

‖F(xiàn)x(x,t2,λ)-Fx(x,t1,λ)‖*≤

Fx(x,t1,λ)(τ)‖=

同理可得

‖F(xiàn)λ(x,t2,λ)-Fλ(x,t1,λ)‖*≤

另外,設(shè)z1=(x,λ1),z2=(y,λ2),且z1,z2∈O×Λ,則

‖F(xiàn)x(x,t2,λ1)-Fx(x,t1,λ1)-

Fx(y,t2,λ2)+Fx(y,t1,λ2)‖*=

‖F(xiàn)x(z1,t2)-Fx(z1,t1)-

Fx(z2,t2)+Fx(z2,t1)‖*≤

Fx(z1,t1)(τ)-Fx(z2,t2)(τ)+

Fx(z2,t1)(τ)‖=

由引理2.7的第五條可得,上式等于

(k(t2)-k(t1))(‖x-y‖*+‖λ1-λ2‖*).

同理有

‖F(xiàn)λ(x,t2,λ1)-Fλ(x,t1,λ1)-

Fλ(y,t2,λ2)+Fλ(y,t1,λ2)‖*≤

(k(t2)-k(t1))(‖x-y‖*+‖λ1-λ2‖*),

其中

L(s)=max(A2,B2),

即證明了

Fx,Fλ∈F(O×[t0,t0+σ]×Λ,h,k).

由于O×[t0,t0+σ]×Λ是閉的,根據(jù)向量值函數(shù)的平均值定理[4],且Fx,Fλ∈F(O×[t0,t0+σ]×Λ,h,k),可得

‖F(xiàn)(x,t2,λ1)-F(x,t1,λ1)-

F(y,t2,λ2)+F(y,t1,λ2)‖=

|h(t2)-h(t1)|·

(‖x-y‖+‖λ1-λ2‖),

(19)

其中,z1=(x,λ1),z2=(y,λ2)且z1,z2∈O×Λ.

根據(jù)假設(shè)有

(x(s,λ),λ)=(x0(λ),λ)+

λ∈Λ,s∈[t0,t0+σ].

由引理2.3可知,在區(qū)間[t0,t0+σ]上,每個(gè)解x都是正則的左連續(xù)函數(shù).如果Δλ∈Rl使得‖Δλ‖<ρ,則

‖x(s,λ0+Δλ)-x(s,λ0)‖+‖λ1-λ2‖≤

(‖x0(λ0+Δλ)-x0(λ0)‖+

其中

J(τ,t,λ)=F(x(τ,λ0+Δλ),t,λ)-

F(x(τ,λ0),t,λ).

由(19)式可得

‖J(τ,t1,λ1)-J(τ,t2,λ2)‖=

‖F(xiàn)(x(τ,λ0+Δλ),t1,λ1)-

F(x(τ,λ0),t1,λ2)-

F(x(τ,λ0+Δλ),t2,λ1)+

F(x(τ,λ0),t2,λ2)‖≤(‖x(τ,λ0+Δλ)-

x(τ,λ0)‖+‖λ1-λ2‖)|h(t1)-h(t2)|.

由引理2.2,對(duì)于任意的s∈[t0,t0+σ],λ1,λ2∈Λ有

‖x(s,λ0+Δλ)-x(s,λ0)‖+

‖λ1-λ2‖≤

(‖x0(λ0+Δλ)-x0(λ0)‖+

‖λ1-λ2‖)+

‖λ1-λ2‖)dh(τ).

因此,利用引理2.4,可得

‖x(s,λ0+Δλ)-x(s,λ0)‖+

‖λ1-λ2‖≤

(‖x0(λ0+Δλ)-x0(λ0)‖+

‖λ1-λ2‖)eh(t0+σ)-h(t0),

s∈[t0,t0+σ].

從而,對(duì)所有的s∈[t0,t0+σ],λ1,λ2∈Λ.當(dāng)Δλ→0,‖λ1-λ2‖→0時(shí),(x(s,λ0+Δλ),λ1)→(x(s,λ0),λ2).

令A(yù)(τ,t,λ)=(Fx(x(τ,λ0),t,λ),Fλ(x(τ,λ0),t,λ)),因?yàn)镕x,Fλ∈F(O×[t0,t0+σ]×Λ,h,k),則A(τ,t,λ)滿足(19)式.由引理2.6可知,(18)式存在唯一解Z:O×Λ→Rn(詳細(xì)證明見文獻(xiàn)[4]中定理4.4).由引理2.5可知,解Z是正則的,因此存在一個(gè)M>0,對(duì)于任意的t∈[t0,t0+σ],滿足‖Z(t)‖≤M.

對(duì)于任意的Δλ∈Rl當(dāng)‖Δλ‖<ρ,設(shè)

φ(r,Δλ)=

r∈[t0,t0+σ],λ1,λ2∈Λ.

下面證明對(duì)所有的r∈[t0,t0+σ],λ∈Λ,若Δλ→0,‖λ1-λ2‖→0,則φ(r,Δλ)→0.

對(duì)于任意的ε>0,存在δ>0使得如果Δλ∈Rl,‖Δλ‖<ρ,則

‖(x(t,λ0+Δλ),λ1)-(x(t,λ0),λ2)‖<

ε,t∈[t0,t0+σ]

及

從而

φ(t0,Δλ)=

φ(r,Δλ)-φ(t0,Δλ)=

其中

W(τ,t,λ)=

W(τ,t,λ1)-W(τ,s,λ2)=

令

F(1)=

(Fx(x(τ,λ0),t,λ0),Fλ(x(τ,λ0),t,λ0)),

F(2)=

(Fx(x(τ,λ0),s,λ0),Fλ(x(τ,λ0),s,λ0)),

則

‖W(τ,t,λ1)-W(τ,s,λ2)‖≤

因?yàn)楹瘮?shù)F(x,t,λ)在O×[t0,t0+σ]×Λ上相對(duì)于(x,λ)是連續(xù)可微的,并且定義φ(r,Δλ),對(duì)于任意的ε>0,t,s∈[t0,t0+σ],可得

‖W(τ,t,λ1)-W(τ,s,λ2)‖≤2ε×

‖F(xiàn)(1)-F(2)‖‖φ(τ,Δλ)‖≤2ε×

因此有(利用Fx,Fλ∈F(O×[t0,t0+σ]×Λ,h,k))

‖W(τ,t,λ1)-W(τ,s,λ2)‖≤

2ε(‖φ(τ,Δλ)‖+M)+

2|h(t)-h(s)|‖φ(τ,Δλ)‖≤

2ε(‖φ(τ,Δλ)‖+M)+

2|h(t0+σ)-h(t0)|‖φ(τ,Δλ)‖,

從而,利用三角不等式得

‖φ(r,Δλ)‖≤‖φ(r,Δλ)-φ(t0,Δλ)‖+

2|h(t0+σ)-h(t0)|‖φ(τ,Δλ)‖)dτ≤

ε(2Mσ+1)+2(ε+(h(t0+σ)-

由引理2.4可得

‖φ(r,Δλ)‖≤ε(2Mσ+1)e2(ε+(h(t0+σ)-h(t0)))σ.

對(duì)于任意的r∈[t0,t0+σ],λ∈Λ.當(dāng)ε→0+,如果Δλ→0,‖λ1-λ2‖→0,則φ(r,Δλ)→0.證畢.