劉奧林，賀曉東，華宏星，2，黃修長，2

（1.上海交通大學 振動沖擊噪聲研究所，上海 200240；2.上海交通大學 機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室，上海，200240）

飛輪系統(tǒng)是一種動量交換裝置，一般由飛輪、軸承組件、殼體組成，由內(nèi)部無刷直流電機驅(qū)動，常用于航天器的姿態(tài)控制。飛輪也是航天器平臺振動主要的擾動源之一[1]。由于材料特性、機械設計、磨損或腐蝕不均勻以及加工和安裝誤差，飛輪質(zhì)量中心和旋轉(zhuǎn)中心不在同一軸線上，高速轉(zhuǎn)動時會產(chǎn)生除正常輸出力矩之外的低幅值、寬頻帶的擾動力，激起飛輪系統(tǒng)的多階模態(tài)，對航天器的成像質(zhì)量、激光通信等產(chǎn)生重要影響[2]。隨著現(xiàn)代航天器向著輕量化、高轉(zhuǎn)速、大扭矩、高精度等方向發(fā)展，微振動對在軌航天器的影響越來越大，因此有必要對飛輪的擾動力特性加以研究。

在轉(zhuǎn)子-軸承-基礎(chǔ)的有限元建模的研究方面，國內(nèi)外學者已經(jīng)開展多項工作。Kumar D[3-4]指出，對于復雜的轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)如渦扇發(fā)動機葉片-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，傳統(tǒng)的一維梁單元方法精度不夠，甚至二維軸對稱單元也不能很好捕捉其復雜的非均勻幾何特征。Jeon等[5]采用三維實體單元對渦輪泵的轉(zhuǎn)子-殼體耦合系統(tǒng)進行了分析，并將結(jié)果與一維梁單元結(jié)果進行了比較，結(jié)果表明三維實體單元的結(jié)果更加精準。因此，為了獲得足夠的精度，對復雜轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進行建模時應優(yōu)先考慮采用三維實體單元。在飛輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學建模方面，目前的研究通常將飛輪等效為一個剛性圓盤。周偉勇[6]建立了飛輪-殼體的等效動力學模型，考慮了不平衡質(zhì)量、結(jié)構(gòu)模態(tài)、軸承不規(guī)則、非線性剛度和寬帶隨機噪聲等因素，分析了各擾動源對擾動力特性的影響。研究結(jié)果表明，當激勵中的諧波成分與飛輪的結(jié)構(gòu)模態(tài)互相作用時，會造成擾動力的峰值突出。文中飛輪結(jié)構(gòu)等效為一個剛性圓盤，飛輪的結(jié)構(gòu)模態(tài)為圓盤支撐在軸承組件上的模態(tài)。關(guān)新[7]將飛輪轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)、殼體、軸承作為獨立的因素，分析了幾種典型擾振源引起的擾動力特性，將飛輪的擾動力特性簡化為由轉(zhuǎn)子和飛輪殼體的結(jié)構(gòu)模態(tài)引起的擾動放大以及一系列與轉(zhuǎn)速有關(guān)的諧波載荷。

目前針對彈性基礎(chǔ)對轉(zhuǎn)子動力學特性影響的研究頗豐，但是針對飛輪彈性殼體的考慮仍不充分，并且由于飛輪的轉(zhuǎn)速高，陀螺效應、應力剛化的影響也不可忽略[8]。為提高計算效率，采用頻響函數(shù)子結(jié)構(gòu)綜合方法對飛輪-軸承-殼體耦合系統(tǒng)進行研究。目前頻響函數(shù)法常用于對靜止部件的綜合[9]，沒有考慮轉(zhuǎn)動部件的陀螺效應等。

本文分別采用三維實體有限單元和頻響函數(shù)綜合法對飛輪-軸承-殼體耦合系統(tǒng)進行建模，獲得不同轉(zhuǎn)速工況下考慮陀螺效應時有/無預應力的系統(tǒng)動力學特性以及單位簡諧力激勵下的擾動力特性。

1 飛輪系統(tǒng)動力學方程推導

如圖1所示為飛輪-軸承組件-殼體模型。飛輪系統(tǒng)工作時，飛輪、電機轉(zhuǎn)子和軸承外圈等部件發(fā)生旋轉(zhuǎn)，殼體，電機定子和軸承內(nèi)圈不發(fā)生轉(zhuǎn)動。軸承組件可等效為軸承質(zhì)量和軸承剛度。考慮陀螺效應和預應力時，飛輪-軸承-殼體耦合系統(tǒng)采用三維實體有限單元進行建模，其動力學方程為

其中：M、C和K是結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣；u是節(jié)點位移；G是由于結(jié)構(gòu)旋轉(zhuǎn)而產(chǎn)生的“阻尼”矩陣，通常稱為陀螺矩陣；Ks是由于結(jié)構(gòu)旋轉(zhuǎn)而產(chǎn)生的應力剛化矩陣；Ω為轉(zhuǎn)速；F為外力矢量。

建立固定坐標系Oxyz，原點O位于旋轉(zhuǎn)軸上，z軸垂直向上并和旋轉(zhuǎn)軸心重合，殼體下表面固定。

圖1 飛輪-軸承組件-殼體模型及其有限元模型

為提高建模效率，采用頻響函數(shù)綜合子結(jié)構(gòu)方法對圖1所示的耦合系統(tǒng)進行建模。飛輪和軸承組件（包括軸承剛度和軸承質(zhì)量）共同組成子結(jié)構(gòu)A，子結(jié)構(gòu)B由殼體構(gòu)成。子結(jié)構(gòu)A和子結(jié)構(gòu)B之間通過單根三向彈簧相連（模擬碟簧），該彈簧的剛度矩陣為KAB，阻尼矩陣為CAB。

子結(jié)構(gòu)A和B的頻響函數(shù)可以寫成

其中，上標A和B表示子結(jié)構(gòu)A和B；下標c表示連接點自由度，i表示內(nèi)部坐標；x表示內(nèi)部感興趣點自由度（如激勵點、感興趣響應點）；H表示頻響函數(shù)，f表示節(jié)點受力。由于發(fā)生轉(zhuǎn)動，子結(jié)構(gòu)A頻響函數(shù)和轉(zhuǎn)速Ω有關(guān)，為求得其頻響函數(shù)矩陣，采用三維實體有限單元進行建模，并分別在連接點自由度和內(nèi)部點自由度上施加單位力進行響應求解，以獲得其頻響函數(shù)矩陣中的某一行。對于殼體子結(jié)構(gòu)B，采用模態(tài)疊加法進行求解（模態(tài)阻尼比取為0.001）。

子結(jié)構(gòu)A和B之間的彈簧采用阻抗矩陣進行表示

其中：Z11、Z12、Z21、Z22為子矩陣，由KAB和CAB得到。根據(jù)頻響函數(shù)綜合，可得飛輪-軸承-殼體系統(tǒng)的頻響函數(shù)矩陣為

上式中，子結(jié)構(gòu)A的頻響函數(shù)已考慮陀螺效應和預應力影響。由于不平衡量只存在于子結(jié)構(gòu)A上，、和都為零，子結(jié)構(gòu)A上受力表達式為

其中：θ為轉(zhuǎn)子初始相位，將式(5)代入式(4)，可以得到響應X。則傳遞到殼體的擾動力可以表示為

2 數(shù)值模型計算

2.1 坎貝爾圖

在圖1中，軸承沿Ox、Oy和Oz方向的線性剛度分別為5.4×107N/m、5.4×107N/m和1.8×107N/m。碟簧沿Ox、Oy和Oz方向的圓盤彈簧的線性剛度分別為1.1×109N/m、1.1×109N/m和1.1×108N/m。飛輪的材料為鋼，材料參數(shù)如下：密度為7827.08 kg/m3，彈性模量為 199948×106N/m2，泊松比為0.27。殼體的材料為鋁，材料參數(shù)如下：密度為2793.55 kg/m3，彈性模量為73084.4×106N/m2，泊松比為0.33。軸承質(zhì)量為0.65 kg。針對圖1模型，求解不考慮/考慮陀螺效應時不同轉(zhuǎn)速下有/無預應力的模態(tài)，得到不同條件下的坎貝爾圖如圖2和圖3所示。

圖中橫坐標表示轉(zhuǎn)速，縱坐標表示頻率，每條曲線對應各階模態(tài)頻率在不同轉(zhuǎn)速下的變化；過零點斜率為1/60的直線為轉(zhuǎn)速對應的頻率，即轉(zhuǎn)頻。

據(jù)圖2可知，不考慮陀螺效應和預應力時，飛輪的坎貝爾圖是一些平行的直線，模態(tài)頻率不隨轉(zhuǎn)速發(fā)生改變；考慮預應力時，模態(tài)頻率隨轉(zhuǎn)速升高略微上升，但變化幅度不大。這是因為考慮預應力時，由于應力剛化的作用，結(jié)構(gòu)的剛度有所增加，預應力的存在會對飛輪系統(tǒng)模態(tài)頻率造成影響。

圖2 不考慮陀螺效應時飛輪系統(tǒng)坎貝爾圖

圖3 考慮陀螺效應時飛輪系統(tǒng)坎貝爾圖

對比考慮陀螺效應時無/有預應力下的飛輪系統(tǒng)坎貝爾圖，可以發(fā)現(xiàn)部分模態(tài)頻率隨轉(zhuǎn)速的升高而升高或降低，查看模態(tài)振型可知，這些隨轉(zhuǎn)速升高發(fā)生變化的頻率均出現(xiàn)在轉(zhuǎn)動部件飛輪上；而靜止部件殼體的頻率幾乎不隨飛輪轉(zhuǎn)速的升高而發(fā)生改變，且在有預應力的情況下，轉(zhuǎn)動部件對應的各階模態(tài)頻率普遍有所增大。另外，飛輪系統(tǒng)的第一階臨界轉(zhuǎn)速由于考慮預應力而出現(xiàn)上升，因此在對飛輪系統(tǒng)進行設計時，有必要在飛輪系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速對應頻率附近進行更細致分析。從圖2和圖3可知，陀螺效應和預應力對飛輪模態(tài)的影響不容忽視。

2.2 模態(tài)振型

圖4為考慮陀螺效應且有預應力時3000 r/min工況下1000 Hz以內(nèi)的典型模態(tài)振型。殼體設置為半透明以便于觀察飛輪在殼體內(nèi)的運動，結(jié)果表明，100.18 Hz和192.11 Hz時為飛輪沿徑向的翻轉(zhuǎn)模態(tài)，105.68 Hz時為飛輪繞軸向的旋轉(zhuǎn)模態(tài)，212.38Hz時為飛輪沿軸向的上下拍打模態(tài)，313.88 Hz和535.77 Hz對應殼體的彈性變形，382.77 Hz對應飛輪扭轉(zhuǎn)和徑向的耦合變形，873.11 Hz時為輪轂沿軸向的上下振動模態(tài)。從以上結(jié)果可知，飛輪的模態(tài)包括剛體模態(tài)、彈性模態(tài)、飛輪與軸承和殼體互相作用時的耦合模態(tài)。

2.3 傳遞力結(jié)果

在飛輪輪緣處施加了一沿著Ox方向的徑向單位簡諧力，求解單位簡諧力作用下傳遞給殼體的擾動力大小，擾動力分解為在xOy平面內(nèi)的徑向力（為沿著Ox方向和沿著Oy方向的擾動力平方和開根號）和軸向的擾動力。頻響函數(shù)子結(jié)構(gòu)綜合法和有限元法求得的考慮陀螺效應且有預應力時的結(jié)果如圖5所示。

可見，在0和3000 r/min時，頻響函數(shù)子結(jié)構(gòu)綜合法結(jié)果和有限元法的結(jié)果一致，所建立的頻響函數(shù)子結(jié)構(gòu)綜合法可用于求解不同轉(zhuǎn)速工況下考慮陀螺力矩時的子結(jié)構(gòu)和靜止子結(jié)構(gòu)的綜合，所得結(jié)果中考慮了陀螺效應的影響。該子結(jié)構(gòu)方法可應用于壓氣機多級葉片-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)-軸承-機匣的整機動力學建模。

圖4 考慮陀螺效應和預應力時3000 r/min工況下飛輪-軸承-殼體典型模態(tài)振型圖

圖5 基于有限元法和頻響子結(jié)構(gòu)綜合法的傳遞力計算結(jié)果

不同轉(zhuǎn)速工況下徑向力和軸向力的結(jié)果如圖6所示?？梢?，考慮陀螺效應和預應力時，徑向方向的響應大于軸向方向的響應。徑向方向上，不隨轉(zhuǎn)速發(fā)生變化的模態(tài)對應的響應也不隨轉(zhuǎn)速變化，而隨轉(zhuǎn)速發(fā)生變化的模態(tài)對應的響應也隨轉(zhuǎn)速升高發(fā)生變化。軸向方向上的響應和徑向方向類似。以有預應力時3000 r/min工況下的擾動力結(jié)果為例，參考圖4中模態(tài)可知，100.18 Hz、105.68 Hz和192.11 Hz對應的模態(tài)在徑向和軸向都有較為明顯的擾動力輸出，其中徑向的響應遠大于軸向，說明在對應頻率處擾動力主要沿徑向傳遞。在212.38 Hz和873.11 Hz處，擾動力在軸向有明顯的峰值，但是在徑向方向沒有出現(xiàn)，說明飛輪以軸向振動為主的模態(tài)會在軸向上產(chǎn)生較大的擾動力，但是對徑向上的擾動力貢獻不大。313.88 Hz和535.77 Hz處是殼體的模態(tài)，對于目前的模型，對徑向和軸向方向上的擾動力影響小。382.77 Hz等對應的模態(tài)是輪體的彈性變形，其在擾動力上的傳遞特征類似于100.18 Hz、105.68 Hz和192.11 Hz，即擾動力的峰值主要沿著徑向傳遞。

當飛輪旋轉(zhuǎn)時，會產(chǎn)生不平衡質(zhì)量激勵，如果飛輪的模態(tài)頻率與激振力頻率接近，則擾動力會被放大。因此，需要對考慮預應力影響的模態(tài)頻率進行精確估計，以檢查模態(tài)頻率與激勵頻率之間的重疊。

圖6 不同轉(zhuǎn)速工況下考慮陀螺效應和預應力的擾動力計算結(jié)果

3 結(jié)語

建立了飛輪-軸承-殼體系統(tǒng)的三維實體有限元模型和子結(jié)構(gòu)動力學模型，獲得了飛輪系統(tǒng)在考慮陀螺效應時不同轉(zhuǎn)速工況下有/無預應力的模態(tài)結(jié)果和擾動力計算結(jié)果，得到了以下結(jié)論：

(1)考慮陀螺效應和預應力時，隨著飛輪轉(zhuǎn)速的增加，模態(tài)頻率會出現(xiàn)一定的上升，且陀螺效應對模態(tài)特性的影響要大于預應力。

(2)擾動力結(jié)果對應的峰值既包括不隨轉(zhuǎn)速發(fā)生變化的飛輪軸向振動模態(tài)和殼體模態(tài)，也包含隨轉(zhuǎn)速發(fā)生變化的飛輪徑向振動模態(tài)。飛輪徑向振動模態(tài)對飛輪徑向擾動力影響顯著，飛輪以軸向變形為主的模態(tài)對軸向擾動力影響顯著。當飛輪旋轉(zhuǎn)時，會產(chǎn)生不平衡質(zhì)量激勵，如果飛輪的模態(tài)頻率與激振力頻率接近，則擾動力會被放大。

(3)所提出的頻響函數(shù)子結(jié)構(gòu)綜合法既能對靜止部件進行綜合，也能在考慮陀螺效應和預應力情況下對不同轉(zhuǎn)速的旋轉(zhuǎn)部件進行綜合。該子結(jié)構(gòu)綜合方法可應用于壓氣機多級葉片-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)-軸承-機匣的整機動力學建模。