賈美美 蔣浩剛 李文靜

(內蒙古工業(yè)大學電力學院自動化系,呼和浩特 010080)

1 引 言

1986年,Chua等[1]提出了著名的Chua系統,首次在混沌與非線性電路之間架起了一座橋梁,成為了研究混沌系統的一個范例.1993年,Suykens和Vandewalle[2]采用擬線性方法構造了n個雙渦卷混沌系統.為了更好地應用于語音保密通信等實際工程中,研究人員開始致力于構造拓撲結構更為復雜和非線性動力學行為更加豐富的多渦卷混沌系統.與傳統的雙渦卷混沌系統相比,多渦卷混沌系統具有更多的渦卷密鑰參數,即數量眾多的渦卷能在相空間中呈現出某個方向分布的平面或立體網格狀圖案,渦卷之間具有相互嵌套的拓撲結構,具有更為復雜的非線性動力學行為.這種復雜性體現在混沌吸引子的相軌跡或狀態(tài)變量的取值能夠在多個不同的渦卷之間隨機跳變.2004年,Lü等[3,4]分別采用飽和函數序列和時滯函數序列構造了多渦卷混沌吸引子.2011年,陳仕必等[5]采用多項式和階躍函數構造了多渦卷混沌吸引子.2014年,艾星星等[6]通過設計切換控制器實現了不同多渦卷混沌吸引子之間的復合.2017年,Hong等[7]利用多脈沖控制技術產生了一系列多渦卷混沌吸引子.2018年,Zhang和Wang[8]采用飽和函數序列和符號函數產生了多渦卷混沌吸引子.除此之外,能夠產生多渦卷混沌吸引子的方法還有雙曲正切函數序列[9,10]、非線性調制函數序列[11]、閾值函數序列[12]、憶阻器[13?18]等.憶阻器作為一種非線性電子元件,可被看作混沌系統中的非線性項,通過采用憶阻器能夠產生多渦卷混沌吸引子.在不改變電路結構的前提條件下,通過改變憶阻器的強度(即可調參數)能夠得到不同數量的渦卷[16].本文采用分段非線性對數函數序列構造了一個新Chua多渦卷混沌系統,通過分析其非線性動力學行為,得到了新Chua多渦卷混沌吸引子的產生機制.

許多實際應用中都需要消除或抑制混沌行為,即混沌控制.1990年,Ott等[19]提出了OGY(Ott-Grebogi-Yorke)混沌控制方法,此后,各種混沌控制方法不斷涌現.常見的混沌控制方法有脈沖控制法[20,21]、外加周期微擾法[22]、延遲反饋法[23?25]、遞歸反步控制法[26?29]等.脈沖控制法的控制信號是脈沖式的,難以避免控制間隙外部噪聲產生的嚴重干擾.外加周期微擾法屬于非反饋控制,當系統的混沌行為消失后,控制信號仍不為零,通常適合在非自治系統的混沌控制中應用.延遲反饋法在實現混沌控制時不需要確定目標軌道,但其延遲周期難以確定.帶有遞歸反步控制器的非線性系統具有良好的全局穩(wěn)定性、跟蹤性和暫態(tài)性能.本文基于李雅普諾夫穩(wěn)定性理論和反步思想設計三個遞歸反步控制器,將Chua多渦卷混沌系統中的混沌狀態(tài)控制到不動點及期望值,從而抑制其中的混沌行為.

由于混沌系統對初始條件的高度敏感性及對噪聲的免疫性,使得混沌理論在微弱信號檢測領域具有廣闊的應用前景.1992年,Birx和Pipenberg[30]將混沌振子與復映射前饋神經網絡結合檢測淹沒在高斯噪聲中的微弱信號,為微弱信號檢測開辟了新思路.之后,大量學者提出了各種基于Duffing混沌系統或改進型Duffing混沌系統的微弱信號檢測方法.但基于這類混沌系統的微弱信號檢測方法有一定的局限性,主要為系統由臨界混沌狀態(tài)轉變?yōu)榇蟪叨戎芷跔顟B(tài)的現象不明顯.當待測信號的頻率遠大于系統本身的頻率時,系統就會回到混沌狀態(tài),不能保持在臨界混沌狀態(tài),以至于達不到良好的檢測效果.因此,研究基于非Duffing混沌系統的微弱信號檢測方法是重要的.2010年,徐艷春和楊春玲[31]、Xu等[32]提出了基于Rossler混沌控制的強噪聲背景下單頻正弦信號檢測方法.2017年,Li和Zhang[33]采用兩個混沌同步Chua系統來檢測單頻微弱正弦信號,不需要跟蹤相空間軌跡的改變,只需要得到同步誤差.本文提出一種新多頻微弱周期信號頻率檢測方法,即利用Chua多渦卷混沌系統和遞歸反步控制器對信號的各頻率進行檢測.首先,判斷Chua多渦卷混沌系統是否處于混沌域中的任一混沌狀態(tài)(不需要處于臨界混沌狀態(tài)); 其次,采用遞歸反步控制器將處于混沌狀態(tài)的Chua多渦卷混沌系統控制到不動點; 最后,通過頻譜分析檢測出信號的各頻率.

2 Chua多渦卷混沌系統的產生

2.1 新Chua雙渦卷混沌系統

在經典Chua系統的基礎上[1,34],提出分段非線性對數函數g(x),用其產生新Chua雙渦卷混沌系統,見(1)式.

其中a=10 ,b=16 ,f(x)=0.5·x?2.5·g(x).

對數函數g(x)的表達式如下

其中n<0 或n>1.當n取不同值時,對數函數g(x)的曲線如圖1所示.由圖1可知,對數函數g(x)關于原點奇對稱,值域為 [?1,1].

圖1 對數函數Fig.1.Logarithmic function.

以n=2 為例來研究新Chua雙渦卷混沌系統的電路圖及物理意義.新Chua雙渦卷混沌系統的電路圖如圖2所示(NR為非線性電阻),其對應的有量綱狀態(tài)方程由(3)式表示.

有量綱狀態(tài)方程[(3)式]與無量綱狀態(tài)方程[(1)式]的對應關系如下: 狀態(tài)變量的對應關系為系統參數的對應關系為16; 非線性函數的對應關系為f′(vC1)=f(vC1)?vC1=·?0.5vC1·?2.5g(vC1).f′(vC1)是非線性電阻NR的伏安特性.當n=2 時,對數函數g(vC1)的表達式為(4)式.

圖2 新Chua雙渦卷混沌系統的電路圖Fig.2.Circuit diagram of the novel Chua double-scroll chaotic system.

(4)式可改寫為

其中 sgn(·)表示符號函數.

以下給出g(vC1)的電路圖.圖3—圖8分別表示的電路圖.圖中運算放大器的型號為741,T1和T2表示NPN型晶體管,D1和D2表示二極管,電阻R0=R1=R2=R4=R5=R7=R8=R11=R12=R13=R14=R15=R16=R17=R20=R21=R22=10k? ,R3=5k?,R6=1040? ,R9=R10=R23=R24=1M?,R18=R19=20k? ,R25=.18.02? ,R26=R28=1k?,R27=13.5k? ,直流電壓V1=V2=1 V.

圖3 |vc1|的電路圖Fig.3.Circuit diagram of |vc1|

由圖3可得到(6)式.

由圖4可得到(7)式—(10)式.

其中VT表示晶體管 T1的溫度電壓當量,在室溫下約為 26mV.

其中晶體管 T1的反向飽和電流Is=1μA.

由圖5可得到(11)式、(12)式.

其中乘法器增益k=1.

由圖6可得到(13)式—(16)式.

圖4 e4|vC1| 的電路圖Fig.4.Circuit diagram of e4|vC1|.

圖5 e?4|vC1| 的電路圖Fig.5.Circuit diagram of e?4|vC1|.

其中VT表示晶體管 T2的溫度電壓當量,在室溫下約為 26mV ,晶體管 T2的反向飽和電流Is=1μA.

由圖7可得到(17)式、(18)式.

其中運算放大器的輸出飽和電壓.Esat=13.5V

由圖8可得到(19)式.

其中乘法器增益k=1.

綜上所述,圖3—圖8組成了對數函數g(vC1)的電路圖.

以n=2 為例來分析新Chua雙渦卷混沌系統的非線性動力學行為.由(1)式可知,當n=2 時新Chua雙渦卷混沌系統的無量綱狀態(tài)方程為

其中a=10 ,b=16 ,h(x)=0.5·x?2.5·g(x).對數函數g(x)的表達式為

此時新Chua雙渦卷混沌系統[(20)式]有3個平衡點:Q0=(0,0,0)和Q±=(±5,0,?5).平衡點Q±有相同的特征值λ1=?6.2777 和λ2,3=0.1389±i3.5671,表明平衡點Q±是指標2的鞍焦平衡點[1,36,37],用于產生新Chua雙渦卷混沌系統[(20)式]中的2個渦卷.平衡點Q0對應的特征值為λ1=67.2809和λ2,3=?0.5730±i3.9544 ,表明平衡點Q0是指標1的鞍焦平衡點[1,36,37],用于連接2個渦卷.

系統(20)式的三個李雅普諾夫指數(Lyapunov exponents,LE)LE1=0.447946 ,LE2=0.000359 和LE3=?5.534524,如圖9所示.LE1表明在相空間某一方向上相鄰軌道呈指數率分離,系統對初始條件極為敏感,這是混沌突出的特性.LE2是混沌吸引子周期性的表現,其周期為無窮大.LE3表明系統的相體積是收縮的,從而確保系統在整體上的穩(wěn)定性.由上述三個李雅普諾夫指數可知系統(20)式是混沌的.

圖9 系統[(20)式]的李雅普諾夫指數Fig.9.Lyapunov exponents of system(Equation(20)).

根據三個李雅普諾夫指數可得系統(20)式的分維數DL為

式中 2

新Chua雙渦卷混沌系統[(20)式]的相圖和時域圖如圖10所示.圖10(a)表示了新Chua雙渦卷混沌系統x-y平面的相圖,圖10(b)表示了新Chua雙渦卷混沌系統x方向的時域圖.

圖10 新Chua雙渦卷混沌系統(a)x-y 平面的相圖;(b)x方向的時域圖Fig.10.Novel Chua double-scroll chaotic system:(a)Phase diagram on the x-y plane;(b)time domain diagram in the x direction.

2.2 Chua多渦卷混沌系統

對數函數序列的電路圖與對數函數的電路圖類似,在對數函數電路圖的基礎上,經過拓展平衡點即可得到對數函數序列的電路圖,這里不再詳述.

在新Chua雙渦卷混沌系統的基礎上,引入對數函數序列G(x),可得Chua多渦卷混沌系統,見(23)式.

其中a=10 ,b=16 ,H(x)=0.5·x?2.5·G(x).G(x)可表示為

可產生(2M+2)偶數個渦卷,

或

可產生(2N+1)奇數個渦卷.

(24)式、(25)式中,M是非負整數,N是正整數,g(·)為(21)式.

當M=N=1 ,對數函數序列(24)式和(25)式分別如圖11和圖12所示.渦卷的數量由對數函數序列G(x)的片段個數決定.例如,圖11中,沿著x方向有4個片段,4個片段對應4個渦卷.圖12中,沿著x方向有3個片段,3個片段對應3個渦卷.x-y平面4-渦卷混沌吸引子(M=1)的相圖如圖13所示.x-z平面12-渦卷混沌吸引子(M=5)的相圖如圖14所示.

圖12 多分段對數函數序列[(25)式],取N=1Fig.12.Multi-segment logarithmic function series(Equation(25))with N=1.

圖14 x-z平面12-渦卷混沌吸引子的相圖Fig.14.Phase diagram of the 12-scroll chaotic attractor on the x-z plane.

2.3 Chua多渦卷混沌系統的非線性動力學行為

2.3.1 對稱性和不變性

在坐標變換(x,y,z)→(?x,?y,?z)下,系統(23)式的微分方程保持不變,即系統(23)式關于原點奇對稱.

對于(2M+2)偶數個渦卷混沌吸引子,根據(24)式可得

對于(2N+1)奇數個渦卷混沌吸引子,根據(25)式可得

由(27)式和(28)式可知,系統(23)式的所有平衡點都是沿著x軸和z軸方向分布.

系統(23)式線性化的雅可比矩陣為

(30)式的特征值為

由(31)式可知(30)式有一個正實根和一對有負實部的共軛復根,表明平衡點是指標1的鞍焦平衡點[1,36,37].平衡點也被稱為類型Ⅰ的平衡點.

(32)式的特征值為

由(33)式可知(32)式有一個負實根和一對有正實部的共軛復根,表明平衡點是指標2的鞍焦平衡點[1,36,37].平衡點也被稱為類型Ⅱ的平衡點.

綜上所述,系統(23)式可產生(2M+2)偶數個多渦卷混沌吸引子或(2N+1)奇數個多渦卷混沌吸引子.

以12-渦卷混沌吸引子為例,分析其產生機制.表1表示12-渦卷混沌吸引子的平衡點、特征值和平衡點的類型.根據表1的特征值,可知類型Ⅱ的平衡點Q21,22用于產生12個渦卷,類型Ⅰ的平衡點Q0、用于連接12個渦卷.

2.3.3 最大李雅普諾夫指數和龐加萊映射

當b=16 ,a變化時,4-渦卷混沌系統的最大李雅普諾夫指數如圖15所示.當a=[8,12] 時,最大李雅普諾夫指數為正,表明4-渦卷混沌系統在該范圍內處于混沌狀態(tài).對于一個系統是否處于混沌運動狀態(tài),也可從龐加萊截面上點的分布情況來判定.若運動狀態(tài)是混沌的,龐加萊截面上則是一段連續(xù)的曲線或是一些成片的密集點,反之,則不是混沌的.4-渦卷混沌系統在x-y平面上的龐加萊映射如圖16所示,截面上是連續(xù)的曲線和一些成片的密集點,說明當a=10 ,b=16 時系統處于混沌狀態(tài).

圖15 最大李雅普諾夫指數Fig.15.Largest Lyapunov exponent.

圖16 x-y平面的龐加萊映射Fig.16.Poincaré mapping on the x-y plane.

3 Chua多渦卷混沌系統的控制

3.1 遞歸反步控制器的設計

在Chua多渦卷混沌系統(23)式的基礎上加入遞歸反步控制器,可得受控Chua多渦卷混沌系統為

其中Ui(t),i=1,2,3 是控制信號,可使系統狀態(tài)變量x,y,z分別跟蹤期望值xd,yd,zd.定義狀態(tài)變量和期望值之間的誤差狀態(tài)為

令

其中ci,i=1,2,3 是控制參數,ρ(t)是時間t的光滑函數.將(36)式代入(35)式可得

對(37)式求導,然后將(34)式代入(37)式的導數中,可得誤差系統,見(38)式.

為了穩(wěn)定誤差系統(38)式,考慮李雅普諾夫函數為

其中kx、ky、kz是大于零的常數.可得(39)式對時間t的導數為

當c1=c3=1 ,c2=0 時,遞歸反步控制器U1(t)、U2(t)、U3(t)能夠將系統(34)式控制到期望值.將(37)式和(38)式代入(41)式可得遞歸反步控制器為

3.2 仿真結果

以4-渦卷混沌系統為例驗證遞歸反步控制器對混沌行為的控制效果.假設初始條件為(x,y,z)=(6,2,2),系統參數為a=10 ,b=16 ,控制器Ui(t)為(42)式.

圖17 狀態(tài)變量和期望值 [sin(t),0,0] 的時域圖(a)x,xd;(b)y,yd;(c)z,zdFig.17.Time domain diagram of state variables and desired values [sin(t),0,0] :(a)x,xd;(b)y,yd;(c)z,zd.

遞歸反步控制器能夠將4-渦卷混沌系統控制到正弦函數ρ(t)=sin(t)如圖17所示.圖17(a)—(c)分別表示狀態(tài)變量和期望值 [sin(t),0,0] 的時域圖.同理,遞歸反步控制器可將4-渦卷混沌系統控制到坐標原點如圖18所示.圖18(a)—(c)分別表示狀態(tài)變量和期望值(0,0,0)的時域圖.由圖17、圖18可知,施加遞歸反步控制器后的受控系統能夠跟蹤正弦函數和原點.

圖18 狀態(tài)變量和期望值(0,0,0)的時域圖(a)x,xd;(b)y,yd;(c)z,zdFig.18.Time domain diagram of state variables and desired values(0,0,0):(a)x,xd;(b)y,yd;(c)z,zd.

4 基于Chua多渦卷混沌系統的微弱信號檢測

4.1 檢測原理和方法

本節(jié)采用Chua多渦卷混沌系統與遞歸反步控制器相結合的方法來進行微弱信號檢測.檢測原理: 基于混沌控制理論與Chua多渦卷混沌系統對高斯噪聲的免疫性,利用遞歸反步控制器將含有高斯噪聲和待測多頻微弱周期信號的Chua多渦卷混沌系統控制到不動點,然后進行頻譜分析檢測出信號的各頻率,檢測原理圖如圖19所示.

圖19 檢測原理圖Fig.19.Detection schematic diagram.

具體檢測過程如下:

1)確定系統(23)式的參數,使系統(23)式處于混沌狀態(tài).

2)將高斯噪聲加入到系統狀態(tài)方程(23)式的第二項,如果系統(23)式仍處于混沌狀態(tài),說明系統(23)式對高斯噪聲免疫.

3)采用遞歸反步控制器(42)式,將系統(23)式控制到不動點.

4)對檢測系統(由系統(23)式、三個遞歸反步控制器(42)式、高斯噪聲和待測多頻微弱周期信號組成)的輸出信號進行頻譜分析,檢測出高斯噪聲背景下待測多頻微弱周期信號的各頻率.

首先應用隨機微分方程理論[38]分析Chua多渦卷混沌系統(23)式對高斯噪聲的免疫性.用?x(t)、?y(t)、?z(t)分別表示高斯噪聲對x(t)、y(t)、z(t)的小擾動,高斯噪聲存在的情況下,系統的狀態(tài)方程(23)式可寫為

其中n(t)是高斯噪聲,其期望E[n(t)]=0.(43)式減去(23)式,可得

由于 ?x很小,可略去(44)式中 ?x的非線性項(當 ?x→0 時,?a·H(?x)→0).

將(44)式表示為矢量微分方程的形式

其中

它的解為

其中 Φ(·)為系統的狀態(tài)轉移矩陣.由于第一項為暫態(tài)解,很快衰減為零,因此只考慮第二項,可得

可見,在統計意義下,任何零均值高斯噪聲都不會改變原系統的運行軌跡.

將均值為0,方差為0.001的高斯噪聲n(t)加入到系統狀態(tài)方程(23)式的第二項可得

(52)式的相圖如圖20所示,由該圖可知系統的相軌跡幾乎沒有變化(與圖13相比),說明系統對高斯噪聲具有免疫性.圖20所得結果與上述理論推導一致.

圖20 系統[(52)式]的相圖Fig.20.Phase diagram of system [Equation(52)].

4.2 檢測結果

將輸入信號input=s(t)+n(t)加入到受控系統狀態(tài)方程(34)式的第二項,可得檢測系統為

其中n(t)是均值為0,方差為0.001的高斯噪聲.s(t)=A1·sin(2πf1t)+A2·sin(2πf2t)+A3·sin(2πf3t)是待測多頻微弱周期信號.幅值A1=A2=A3=0.005,頻率f1=0.2 Hz,f2=0.5 Hz,f3=0.7 Hz.

以4-渦卷混沌系統為例,其中a=10 ,b=16 ,初始條件為(6,2,2),此時系統處于混沌狀態(tài)(見2.3.3節(jié)),驗證檢測方法的有效性.總仿真時間為300 s,當仿真時間為100 s時,將input加入到系統(34)式中.檢測系統(53)式的相圖如圖21所示.由圖21可知,三個遞歸反步控制器可將狀態(tài)變量從初始條件(6,2,2)控制到原點(0,0,0).控制信號U1(t)、U2(t)、U3(t)的時域圖如圖22所示,圖22(a)是原始圖,圖22(b)是放大圖.由圖22可知控制信號U1(t)、U2(t)、U3(t)迅速收斂于0.待測信號的頻譜圖如圖23所示.由圖23可知3個頻率分別是f1=0.2 Hz,f2=0.5 Hz,f3=0.7 Hz.

圖21 檢測系統[(53)式]的相圖Fig.21.Phase diagram of the detection system [Equation(53)].

經過計算可得信噪比(signal-to-noise ratio,SNR)為

其中P1為周期信號功率,P2為噪聲功率.

在微弱信號檢測領域,采用時域方法處理信號的最低SNR只有–10 dB左右[39],而本文采用Chua多渦卷混沌系統和遞歸反步控制器相結合進行多頻微弱周期信號檢測得到的最低SNR為–19 dB,提高了檢測精度,為基于非Duffing混沌系統的微弱信號檢測提供了新思路.

圖22 控制信號 U1(t)、U2(t)、U3(t)的時域圖(a)原始圖;(b)放大圖,t=[0,100]sFig.22.Time domain diagram of control signals U1(t)、U2(t)、U3(t):(a)Original diagram(b)enlarging diagram,t=[0,100]s.

圖23 待測信號的頻譜圖Fig.23.Frequency spectrum of the signal to be detected.

5 結 論

本文提出了一種構造多渦卷混沌系統的新非線性函數方法,即對數函數序列法.首先研究了Chua多渦卷混沌系統的非線性動力學行為及其混沌吸引子的產生機制.Chua多渦卷混沌吸引子的產生機制為指標2的鞍焦平衡點用于產生渦卷,指標1的鞍焦平衡點用于連接渦卷.所產生的Chua多渦卷混沌吸引子形狀清晰、大小一致,且處于同一水平位置.然后采用三個遞歸反步控制器抑制了Chua多渦卷混沌系統的混沌行為.最后基于混沌控制理論與Chua多渦卷混沌系統對高斯噪聲的免疫性,提出了一種新微弱信號檢測方法,即在檢測系統中通過采用三個遞歸反步控制器將處于混沌狀態(tài)的Chua多渦卷混沌系統控制到不動點來檢測信號的各頻率.與基于Duffing系統微弱信號檢測方法相比,本文提出的檢測方法不需要判斷系統是否處于臨界混沌狀態(tài),只需要判斷系統是否進入混沌域(在某些系統參數范圍內,系統處于混沌狀態(tài))即可.以后的工作可采用合適的對數函數序列構造二維及三維多渦卷混沌系統,并將這些多渦卷混沌系統應用到實際的微弱信號檢測中.需要注意的是為了進一步提高SNR,可采用一些消噪方法對待測信號進行預處理.