趙艷艷，曾倫武

（南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院，江蘇南京210031）

近幾年來(lái)，隱身斗篷吸引了科研工作者的廣泛關(guān)注，根據(jù)Pendry等的先鋒工作[1-4]，科研工作者理論設(shè)計(jì)和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了各種電磁波斗篷[5-11]、聲波斗篷[12-14]、物質(zhì)波斗篷[15]、質(zhì)量擴(kuò)散斗篷[16]、熱擴(kuò)散斗篷[17-20]、磁斗篷[21-23]、直流電斗篷[24]。首次實(shí)驗(yàn)證明隱身斗篷是利用簡(jiǎn)化參數(shù)的超材料[5]。簡(jiǎn)化參數(shù)的超材料斗篷擁有理想斗篷的性質(zhì)，但存在有限的散射。用自然界存在的材料制造完美的電磁斗篷是相當(dāng)困難的，因?yàn)橥昝蓝放裥枰黜?xiàng)異性材料。但完美的直流電斗篷很容易用自然界存在的材料制造，Yang等利用電阻網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)了各項(xiàng)異性的電導(dǎo)并且實(shí)驗(yàn)證明了直流電斗篷[24]，他們的工作表明直流電斗篷能夠引導(dǎo)電流繞過(guò)斗篷區(qū)域。G?m?ry等利用超導(dǎo)體和鐵磁質(zhì)材料實(shí)驗(yàn)證明了磁斗篷[22]，磁斗篷不需要各項(xiàng)異性的超材料歸因于超導(dǎo)體的零磁導(dǎo)率。根據(jù)相似的方法，Zeng設(shè)計(jì)了雙層電流斗篷[25]，雙層穩(wěn)態(tài)電流斗篷不需要各項(xiàng)異性的超材料，歸因于絕緣體的零電導(dǎo)率。Han等也設(shè)計(jì)了同樣的穩(wěn)恒電流斗篷[26]。根據(jù)熱導(dǎo)方程和電導(dǎo)方程的相似性，Han和Xu等各自獨(dú)立地實(shí)驗(yàn)證明了雙層熱擴(kuò)散斗篷[19,20]，雙層熱擴(kuò)散斗篷能夠屏蔽熱通量，這種熱屏蔽是暫時(shí)的熱擴(kuò)散保護(hù)，在穩(wěn)態(tài)情況下，斗篷區(qū)域最終達(dá)到同樣的溫度。本文中，依據(jù)設(shè)計(jì)雙層斗篷的思想，設(shè)計(jì)了單層穩(wěn)恒電流斗篷，計(jì)算和模擬結(jié)果表明，單層導(dǎo)體能夠斗篷穩(wěn)恒電流。

1 單層穩(wěn)恒電流斗篷

時(shí)間依賴的電導(dǎo)方程為?·(σ?φ)=?ρ/?t,式中ρ是電荷密度，φ是電勢(shì)。在穩(wěn)恒電流情況下，電荷密度不隨時(shí)間變化，那么?ρ/?t=0。當(dāng)媒質(zhì)為各向同性均勻電導(dǎo)時(shí)，電導(dǎo)方程變?yōu)槔绽狗匠倘鐖D1所示，無(wú)限長(zhǎng)的雙層（先假設(shè)為雙層，后面證明只需要單層就可以斗篷電流）空心圓柱內(nèi)外半徑分別為b和a,c和b，當(dāng)穩(wěn)恒電壓加于導(dǎo)體兩端時(shí)（即外電場(chǎng)E0施加于導(dǎo)體），在圓柱坐標(biāo)系(r,θ,z)中，解拉普拉斯方程，得到4個(gè)區(qū)域的電勢(shì)分別為[22]

式中φe1、φe2、φe3、φe4分別為4個(gè)區(qū)域的電勢(shì)，A、B、C、D、E、F為待定系數(shù)。

圖1 背景媒質(zhì)和圓柱斗篷截面。I：背景媒質(zhì)；II：空心圓柱導(dǎo)體；III：假想的空氣圓柱；IV：斗篷區(qū)域

根據(jù)歐姆定律的微分形式可知，電流密度和電勢(shì)的關(guān)系為J=-σ?φ，其中是電流密度，σ是電導(dǎo)率，4個(gè)區(qū)域的電流密度分別為

式中er是法線方向的單位矢量，eθ是切線方向的單位矢量。利用電場(chǎng)切線方向（或者電勢(shì)）連續(xù)和電流密度法線方向連續(xù)的邊界條件得到

我們感興趣的是系數(shù)A和F，也就是說(shuō)，只考慮區(qū)域I和區(qū)域IV的電流或電流密度。當(dāng)A=0時(shí)，電流密度在區(qū)域I保持σ1E0不變；當(dāng)F=0時(shí)，電流密度在區(qū)域IV消失，也就是電流密度在區(qū)域IV被斗篷。由（3）式和（6）式可知，當(dāng)F=0時(shí)，σ3=0。令A(yù)=0，F(xiàn)=0，σ3=0，解方程（1）～（6）得

（7）式為斗篷材料參數(shù)和尺寸參數(shù)的關(guān)系，也是斗篷成立條件。圖2(a)繪出了σ1一定時(shí)（σ1=3.45×107S/m），a b與σ2的關(guān)系；圖2(b)繪出了σ2一定時(shí)（σ2=5.9×107S/m），a b與σ1的關(guān)系。 在（7）式中，如果取σ1=3.45×107S/m（鋁），σ2=5.9×107S/m（銅），則a/b≈1.95。因?yàn)棣?=0的材料在自然界不存在，用空氣（電導(dǎo)率為10-14S/m）近似代替σ3，σ3=10-14S/m→0，計(jì)算和模擬表明，斗篷的性能和半徑c無(wú)關(guān)。也就是說(shuō)，c可以等于b，當(dāng)c=b時(shí)，區(qū)域III和區(qū)域IV都為空氣，這樣，斗篷就變成了單層斗篷。應(yīng)該指出，由于選取了σ3=10-14S/m→0，這就決定了斗篷是一個(gè)近似斗篷。斗篷的性能與σ3的大小密切相關(guān)，當(dāng)σ3=0時(shí)，實(shí)現(xiàn)完美斗篷。圖3繪出了當(dāng)σ3=10-14S/m時(shí)外加電場(chǎng)和斗篷區(qū)域電場(chǎng)的關(guān)系。當(dāng)外電場(chǎng)E0=104V/m，斗篷區(qū)域的勻強(qiáng)電場(chǎng)為E=3.201 5×10-10V/m；當(dāng)外電場(chǎng)E0=105V/m，斗篷區(qū)域的勻強(qiáng)電場(chǎng)為E=3.201 5×10-9V/m。這種近似電流斗篷已經(jīng)很接近完美電流斗篷了。應(yīng)該指出：電流斗篷和電流屏蔽是不同的，雖然斗篷和屏蔽時(shí)中心區(qū)域都沒(méi)有電流，在斗篷情況下，導(dǎo)體圓柱外部電流密度均勻，在屏蔽情況下導(dǎo)體圓柱外部電流密度可以不均勻。

圖2 半徑比率a b與電導(dǎo)率σ的關(guān)系。（a）σ1定值；（b）σ2定值

圖3 外加電場(chǎng)和斗篷區(qū)域電場(chǎng)的關(guān)系

2 模擬電流斗篷

利用COMSOL Multiphysics有限元軟件，模擬導(dǎo)體圓柱的電流屏蔽和斗篷。圖4(a)表示沒(méi)有屏蔽時(shí)電流密度線的分布，背景媒質(zhì)的電導(dǎo)率和導(dǎo)體圓柱的電導(dǎo)率均為3.45×107S/m，電流密度線平行。圖4(b)表示單層空心圓柱電流屏蔽圖，其內(nèi)外半徑分別為0.5 cm和1.95 cm，空心圓柱電導(dǎo)率為102S/m。背景媒質(zhì)和中心的電導(dǎo)率均為3.45×107S/m，電流密度線不平行。圖4(c)為雙層空心圓柱電流屏蔽，按照方程（7），取內(nèi)空心圓柱內(nèi)外半徑分別為0.5 cm和1.0 cm，外空心圓柱內(nèi)外半徑分別為1.0 cm和1.95 cm，內(nèi)空心圓柱電導(dǎo)率為10-14S/m，外層空心圓柱電導(dǎo)率為5.9×107S/m，背景媒質(zhì)電導(dǎo)率為3.45×107S/m，斗篷區(qū)域電導(dǎo)率為10-14S/m，在外圓電流密度線平行，并且電流密度線不能進(jìn)入內(nèi)圓。在圖4(c)中，斗篷區(qū)域電導(dǎo)率為10-14S/m，當(dāng)斗篷區(qū)域和內(nèi)層都為空氣時(shí)，斗篷變成了單層斗篷。進(jìn)一步研究表明，內(nèi)半徑c在不超過(guò)b的情況下取任意值，斗篷的性能不變。圖5繪出了c為不同值時(shí)的斗篷效果，在圖5(a)中，c=0.6 cm，區(qū)域III和區(qū)域IV均為空氣；在圖5(b)中，c=0.7 cm，區(qū)域III和區(qū)域IV均為空氣；在圖5c中，c=0.8 cm，區(qū)域III和區(qū)域IV均為空氣；在圖5(d)中，c=0.9 cm，區(qū)域III和區(qū)域IV均為空氣；在圖5(e)中，c=b=1.0 cm，區(qū)域III和區(qū)域IV變成了同一區(qū)域，均為空氣。圖5中其他參數(shù)和圖4c相同。在圖5(e)中，c=b=1.0 cm，此時(shí)的斗篷實(shí)質(zhì)上變成了單層斗篷，也就是背景媒質(zhì)為鋁，單層導(dǎo)體空心圓柱材料為銅，內(nèi)部為空氣。

圖5 內(nèi)半徑c為不同值時(shí)的斗篷效果，區(qū)域III和區(qū)域IV為空氣

3 結(jié)論

利用導(dǎo)體和絕緣體材料，設(shè)計(jì)了雙層電流斗篷，當(dāng)絕緣體為空氣時(shí)，雙層斗篷變成了單層斗篷。理論計(jì)算和數(shù)值模擬表明：?jiǎn)螌訉?dǎo)體能斗篷電流并且不改變電流分布。斗篷的條件不僅由材料的電導(dǎo)率決定，而且由材料的幾何參數(shù)決定，這一結(jié)果很容易實(shí)驗(yàn)證明。