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        一類趨化-流體耦合方程組的局部存在性

        2019-08-26 07:40:02侯智博
        關(guān)鍵詞:趨化化學(xué)物質(zhì)方程組

        趙 麗, 侯智博

        (西華大學(xué)理學(xué)院, 成都 610039)

        引 言

        趨化性(也被稱為化學(xué)趨向性)是趨向性的一種,指身體細(xì)胞、細(xì)菌及其他單細(xì)胞、多細(xì)胞生物依據(jù)環(huán)境中的某些化學(xué)物質(zhì)的分布而作定向運(yùn)動。趨化方程組[1]主要是研究細(xì)胞或者細(xì)菌在有化學(xué)物質(zhì)或營養(yǎng)液中的趨化行為。趨化方程組的代表是標(biāo)準(zhǔn)的Keller-Segel模型[2-4]及其各類變體。經(jīng)典的Keller-Segel模型主要描述了細(xì)胞和化學(xué)物質(zhì)二者之間的相互作用。然而,在實際的生物背景下,細(xì)胞自身所處的流體環(huán)境也會對趨化運(yùn)動有影響[4-9],這一生物現(xiàn)象可以用趨化-流體方程組刻畫,如下[5]:

        (1)

        此處的n表示細(xì)胞密度,c表示化學(xué)物質(zhì)、信號的濃度,u和P分別表示流體速度場和相應(yīng)的壓力;系數(shù)κ和非線性流體對流項的強(qiáng)度有關(guān);φ表示重力勢;趨化靈敏度S(c)和氧氣消耗率f(c)是已知的標(biāo)量函數(shù)。對于這類趨化-流體方程組,其局部存在性的研究是后續(xù)所有研究的基礎(chǔ),至關(guān)重要。文獻(xiàn)[10]中,Winkler已證明方程組(1)的解是局部存在的,并在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究了其解的整體存在性、有界性、大時間行為等。隨著大量數(shù)學(xué)者的研究,文獻(xiàn)[11-13]中,Wang等考慮方程組(1)在2、3維的情況下,方程組的解具備整體存在性和有界性。后來Lorz(文獻(xiàn)[14])考慮了重力(勢力)對細(xì)胞的影響和趨化力對流體的影響,考慮一類更符合現(xiàn)實的自封閉趨化-流體耦合模型,提出如下的初邊值問題:

        (2)

        (3)

        在上述的假設(shè)條件下,本文的主要結(jié)果如下:

        c∈C([0,Tmax);L2(Ω))∩L∞((0,Tmax);W1,q(Ω))

        u∈C([0,Tmax);L2(Ω))∩L∞((0,Tmax);D(Aα))

        t→Tmax

        成立。

        1 定理1的證明

        定理1的證明:證明分三步完成。

        (1) 存在性:利用不動點(diǎn)定理,Neumann熱半群,Stokes半群和不等式進(jìn)行估計即可證得。

        Step1:先證明Φ是S上映射到自身的算子:

        取R>0且T∈(0,1)待定。在

        Banach空間:

        設(shè)Φ=(Φ1,Φ2,Φ3)為如下定義在S上的映射:

        Φ1(n,c,u)(·,t)=

        u·▽n-▽·(n▽φ)}(·,s)ds

        Φ2(n,c,u)(·,t)=

        Φ3(n,c,u)(·,t)=

        其中,ρ為L2(Ω)上的Helmholtz投射算子。

        (4)

        (5)

        這里運(yùn)用了D(Aα)嵌入到L∞(Ω),因此u在L∞(Ω)上有界。

        最后,存在C9>0,C10>0,C11(R)>0使得對任意t∈(0,T)。

        (6)

        結(jié)合(4),(5)和(6)式就可以得到當(dāng)T充分小時,Φ是從S到S的映射。

        Step2:再證明Φ是壓縮映射,即證存在0

        使得:

        以下的估計方法與上面的相類似:

        因此可得:

        Step1:對方程組(2)中的第一個方程左右兩端乘以,對任意t∈(0,T0)得到如下:

        (7)

        若T00使得對任意t∈(0,T0)

        把I1~I(xiàn)5的不等式相加代入(7)得:

        (8)

        (9)

        以下分別對II1~I(xiàn)I4進(jìn)行估計,對任意t∈(0,T0):

        這里運(yùn)用Poincare′inequality:

        結(jié)合II1~I(xiàn)I4,我們可以得到如下不等式:

        (10)

        (11)

        類似地,我們也對III1、III2、III3進(jìn)行估計,對任意t∈(0,T0):

        同樣結(jié)合II1~I(xiàn)I3可以得到:

        (12)

        綜上,把(10)、(11)、(12)三個式子相加得:

        (13)

        y′(t)≤C59y(t)

        (14)

        這里C59>0的與時間T0有關(guān)。

        由于y(0)=0,對(14)直接積分可得,在區(qū)間(0,T)上y=0,即

        因此得出方程(2)的解是唯一。

        結(jié)合以上三步,最終我們證得了定理1。

        2 結(jié)束語

        本文證明了一類趨化-流體耦合方程組解的局部存在性,主要研究重力對細(xì)胞影響(▽·(n▽φ))和趨化力對流體影響(n▽c)這兩項對證明局部存在性的影響。既為此類方程組解的長時間適定性奠定了基礎(chǔ),也為更為復(fù)雜的模型解的局部存在性證明提供了一個方法基礎(chǔ)。顯然,對于這類模型在更高維情形下解的局部存在性還要繼續(xù)研究。

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