李順初， 張紅麗， 鄭鵬社， 桂欽民

(1.西華大學(xué)理學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所， 成都 610039; 2.北京東潤科石油技術(shù)股份有限公司， 北京 100029)

引 言

某些微分方程的求解十分復(fù)雜，因此引起部分學(xué)者對如何簡化求解過程的思考，并于近年來形成了相似構(gòu)造理論[1-3]。該理論認為，微分方程的邊值問題的解的結(jié)構(gòu)具有相似性，同一定解方程在不同邊界條件下的分布具有統(tǒng)一、規(guī)范且結(jié)構(gòu)極其簡單的表達式，其中外邊界條件只改變其解的相似結(jié)構(gòu)式中的相似核函數(shù)。自理論形成，便被大量專家學(xué)者認可并將之應(yīng)用到多種微分方程的求解中，其中主要包括二階齊次線性微分方程[4]、含參數(shù)λ的Bessel方程[5]、擴展性Bessel方程[6]、Legendre方程[7]等，使該理論得到了較好的傳播。

一類半階變型Bessel方程廣泛應(yīng)用于油氣工程的試井分析中，但目前針對該類邊值問題的解的研究卻很少，若是將相似構(gòu)造理論應(yīng)用于該類方程的求解中，將極大地減少相關(guān)分析軟件運算量，提高實際工作效率。為此，本文針對一類半階變型Bessel方程的邊值問題進行研究。

x2y″+2xy′-Bx2y=0，x∈(a,b)

(1)

(2)

(3)

其中，B、D、E、F、G、H、a、b為已知實常數(shù)且D≠0，G2+H2≠0，并提出了針對該類問題解式的相似構(gòu)造法。本方法經(jīng)過嚴密的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，只需根據(jù)定解方程(1)的兩個線性無關(guān)解，及內(nèi)邊界條件(2)系數(shù)和外邊界條件(3)系數(shù)即可得出相似核函數(shù)和解的相似結(jié)構(gòu)，且只需經(jīng)過簡單變量替換，即可將解的表達式應(yīng)用到一類油氣滲流的數(shù)學(xué)模型中，簡化其求解過程，實現(xiàn)試井分析軟件效率的提升。仿真結(jié)果證明了相似構(gòu)造法在油氣滲流工程數(shù)學(xué)模型求解中的正確性和有效性。

1 主要定理與其證明

定理1若邊值問題(1)～(3)有解，則其通解為：

(4)

其中,

(5)

證明：

方程(1)有兩個線性無關(guān)的解，

則其通解可以表示為：

(6)

進而可得：

其中M、N為任意常數(shù)。

再由內(nèi)邊界條件(2)有：

得到：

(7)

同樣，由外邊界條件(3)：

得到：

(8)

由邊值問題(1)～(3)具有唯一解[8]可知，關(guān)于待定系數(shù)M、N的系數(shù)行列式Δ≠0，經(jīng)聯(lián)立求解線性方程組(7)、(8)，求得(7)與(8)的系數(shù)行列式Δ:

再根據(jù)Gramer法則，求得待定系數(shù)M、N：

(9)

(10)

然后將式(9)與式(10)代入式(6)中，得到式(11)：

(11)

結(jié)合邊值條件組裝，便得到邊值問題(1)～(3)的解(4)式。由此得到半階變型Bessel方程的邊值問題的解，并且該解具有相似結(jié)構(gòu)。

由定理1可以得到以下在實際應(yīng)用中起著重要作用的推論。

推論1邊值問題(1)～(3)中，若外邊界條件(3)變?yōu)閥=0(即H=0,G≠0)則對應(yīng)的相似核函數(shù)變?yōu)?

Ψ(x)=

(12)

推論2邊值問題(1)～(3)中，若外邊界條件(3)變?yōu)閥'=0(即G=0,H≠0)則對應(yīng)的相似核函數(shù)變?yōu)椋?/p>

(13)

2 應(yīng)用舉例

相似構(gòu)造法避免了繁雜的理論推導(dǎo)和工程應(yīng)用上棘手的求導(dǎo)運算，獲得了一個既簡單而又行之有效的求解微分方程邊值問題的方法。特別是針對滲流模型的求解，對工程技術(shù)方面的工作和研究人員來說，該方法易學(xué)易掌握更便于應(yīng)用[9-16]。

例如，對于外邊界封閉的均質(zhì)球向流油藏的Laplace空間數(shù)學(xué)模型：

(14)

(15)

(16)

(17)

表1 邊值問題(1)～(3)和(14)～(16)中參數(shù)與變量替換表

符號說明：

C—井筒儲集系數(shù),m3/MPa

S—表皮系數(shù)(無量綱)

下標：

D— 無量綱；w— 井；i— 初始。

(18)

其中相似核函數(shù)為：

Ψ(rD)=

(19)

利用解的相似構(gòu)造，大大簡便了編程的難度，更能直觀了解到各個變量如CD,S,RD變化對無量綱井底壓力的影響。將一類半階變型Bessel方程的相似構(gòu)造法用MATLAB編程實現(xiàn)，并分別分析CD,S,RD中某一個量變化時對無量綱井底壓力的影響，程序運行結(jié)果如圖1～圖3所示。圖中橫坐標表示無量綱時間，縱坐標表示經(jīng)過Laplace反演后的無量綱井底壓力及其導(dǎo)數(shù)(變化率)值。

圖1 井筒儲集系數(shù)CD對井底壓力及其變化率的影響

圖1考慮RD=100，S=1時，CD取不同值時對無量綱井底壓力及其變化率的影響。圖中的實線、虛線自上向下分別表示CD取為10、20、60、100時的計算結(jié)果。

由圖2可知，對于外邊界封閉的均質(zhì)球向流油藏的無量綱井底壓力，變量CD主要影響流體流動早期，CD越大，無量綱井底壓力越低，兩者呈負相關(guān)關(guān)系，且CD越大，中期開始的時間越遲，中期無量綱井底壓力均保持穩(wěn)定，后期逐漸增大。對于無量綱井底壓力的變化率，CD主要影響流體流動早期與中期，早期CD越大，無量綱井底壓力的變化率越低，兩者呈負相關(guān)的關(guān)系，且CD越大，出現(xiàn)峰值的時間越晚(即流動中期開始的時間越遲)；中期CD越大，無量綱井底壓力的變化率也越大，兩者呈正相關(guān)的關(guān)系。

圖2 表皮因子S對井底壓力及其變化率的影響

圖2考慮RD=100，CD=40時，S取不同值時對無量綱井底壓力及其變化率的影響。圖中的實線、虛線自上向下分別表示S取0、1、4、6時的計算結(jié)果。

由圖3可知，對于外邊界封閉的均質(zhì)球向流油藏的無量綱井底壓力，變量S主要影響流體流動中期，S越大，無量綱井底壓力越大，兩者呈正相關(guān)關(guān)系，且S越大，流動中期與后期開始的時間越遲。對于無量綱井底壓力的變化率，S也是主要影響流體流動中期，S越大，無量綱井底壓力的變化率越大，兩者呈正相關(guān)關(guān)系。

圖3 外邊界長度RD對井底壓力及其變化率的影響

圖3考慮CD=90，S=1時，RD取不同值時對無量綱井底壓力及其變化率的影響。圖中的實線、虛線自上向下分別表示RD取500、800、2000、4000時的計算結(jié)果。

由圖3可知，對于外邊界封閉的均質(zhì)球向流油藏的無量綱井底壓力，變量RD主要影響流體流動后期，RD越大，無量綱井底壓力越低，兩者呈負相關(guān)關(guān)系，且RD越大，流動后期開始的時間越晚。對于無量綱井底壓力的變化率，RD也是主要影響流體流動后期，RD越大，無量綱井底壓力的變化率越低，兩者呈負相關(guān)關(guān)系。

Ψ(rD)=

(20)

3 結(jié) 論

(1)提出了針對一類半階變型Bessel方程邊值問題的相似構(gòu)造法，避免了原來復(fù)雜繁瑣的求解過程,只需利用定解方程的任兩個線性無關(guān)的解及外邊界條件系數(shù)構(gòu)造相似核函數(shù),再根據(jù)內(nèi)邊界條件中的系數(shù)所決定的相似結(jié)構(gòu)式進行組裝即可獲得微分方程邊值問題的解。

(2)提出的相似構(gòu)造法只需經(jīng)過簡單的變量替換即可應(yīng)用到油氣工程的數(shù)學(xué)模型求解中，極大地簡化了相應(yīng)測試分析軟件的編制，提高了軟件運行效率。