段建民，黃小龍

(北京工業(yè)大學(xué)信息學(xué)部，北京 100124)

0 引言

1/4車輛懸架模型無法反映前后懸架之間的聯(lián)動(dòng)關(guān)系。而在半車懸架協(xié)同控制中，要求反映行駛平順性的垂直加速度和俯仰角加速度值小、懸架的動(dòng)行程只能在給定的行程內(nèi)變化、車輪和路面間的動(dòng)位移較小，使車輪和路面具有良好的附著效果。但這三個(gè)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)在客觀上存在矛盾[1]。為解決此問題：文獻(xiàn)[2]利用模糊PID控制車身加速度和懸架動(dòng)撓度，未對其他性能作約束，魯棒性能差；在其他控制方法中，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的學(xué)習(xí)過程較長、適應(yīng)性和實(shí)時(shí)性較差，線性二次高斯 (linear quadratic Gaussian，LQG)控制很難選擇合適的加權(quán)值，將其性能限制在范圍內(nèi)[3]。

劉樹博[4]利用差分進(jìn)化和矩陣不等式(differential evolution and linear matrix inequality，DELMI)算法對主動(dòng)懸架單目標(biāo)輸出反饋控制進(jìn)行研究。ZHENG等[5]研究具有執(zhí)行器容錯(cuò)的1/4主動(dòng)懸架系統(tǒng)有限頻率控制問題。LI等[6]研究1/4懸架魯棒反饋控制器的設(shè)計(jì)問題。WANG等[7]針對全車主動(dòng)懸架系統(tǒng),在有限頻率范圍內(nèi),給出了動(dòng)態(tài)輸出反饋控制器設(shè)計(jì)方法。

針對汽車主動(dòng)懸架系統(tǒng)中性能指標(biāo)存在相互制約的特性，以4自由度(degree of freedom,DOF)半車電液主動(dòng)懸架模型作為研究對象，設(shè)計(jì)出一種基于矩陣不等式(linear matrix inequality，LMI)的多目標(biāo)最優(yōu)魯棒控制器。該控制方法不僅考慮系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性的問題，而且綜合考慮舒適性、懸架行程約束和接地性，對這些性能指標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化約束。仿真結(jié)果表明，該控制方案與被動(dòng)懸架和單目標(biāo)魯棒狀態(tài)反饋控制相比，在舒適性與操縱穩(wěn)定性方面得到改進(jìn)。

1 運(yùn)動(dòng)方程

半車四自由度主動(dòng)懸架動(dòng)力學(xué)模型如圖1所示。半車身質(zhì)量和俯仰運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別用m2、Iφ表示；前、后輪的非簧載質(zhì)量分別用m1f、m1r表示；前懸架產(chǎn)生的彈性力和阻尼力分別由ksf、csf表示；后懸架產(chǎn)生的彈性力和阻尼力分別由ksr、csr表示；前、后輪胎產(chǎn)生的彈性力分別為ktf、ktr；車身繞y軸俯仰角為φ；前、后簧下質(zhì)量位移分別由zuf、zur表示；前、后路面擾動(dòng)位移輸入分別由zrf、zrr表示；前、后懸架組件縱向距離到車身質(zhì)心的距離分別由a、b表示；前、后懸架控制力分別由uf、ur表示。

圖1 半車4自由度主動(dòng)懸架動(dòng)力學(xué)模型Fig.1 The 1/2 vehicle active suspension dynamic model with 4 DOF

根據(jù)牛頓第二定律，可獲得半車懸架系統(tǒng)動(dòng)態(tài)微分方程如下：

(1)

當(dāng)俯仰角φ較小時(shí)，可以近似得到：

zsf(t)=zc(t)-aφ(t)

(2)

zsr(t)=zc(t)+bφ(t)

(3)

對式(1)～式(3)作變換，可以得到：

(4)

根據(jù)式(1)和式(4)，可得如下的狀態(tài)空間形式：

(5)

式中：x=[x1(t)x2(t)x3(t)x4(t)x5(t)

x6(t)x7(t)x8(t)]T。

u(t)=[uf(t)ur(t)]T

在半車主動(dòng)懸架控制器設(shè)計(jì)中，需要考慮如下的性能要求。

(6)

②懸架行程約束：懸架行程在安全的行程范圍內(nèi)滿足式(7)。

(7)

式中:Zf,max、Zrmax分別為前、后懸架最大行程值。

③接地性：實(shí)現(xiàn)操縱穩(wěn)定性需滿足式(8)。

(8)

式中:Ff、Fr分別為前、后輪胎的靜載。

Fr(a+b)=m2ga+m1rg(a+b)

Ff+Fr=(m2+m1f+m1r)g

定義第二組控制輸出：

(9)

式(9)包含著對式(7)和式 (8)的性能約束。這時(shí)可以得到含外部擾動(dòng)輸入的半車主動(dòng)懸架系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程式：

(10)

假設(shè)主動(dòng)懸架系統(tǒng)所有狀態(tài)皆可被在線測量，則設(shè)計(jì)控制律為：

u(t)=Kx(t)

(11)

式中：K為狀態(tài)反饋增益系數(shù)矩陣。

由此可以得到如下的閉環(huán)系統(tǒng)：

(12)

系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，使閉環(huán)系統(tǒng)內(nèi)穩(wěn)定且使傳遞函數(shù)Tz1w的范數(shù)H∞最小化，即：

‖Tz1w(s)‖∞=‖(C1+D12K)[sI-(A+

B2K)]-1B1‖∞<γ

2 改進(jìn)型多目標(biāo)優(yōu)化控制算法設(shè)計(jì)

對于主動(dòng)電控懸架系統(tǒng)，根據(jù)性能指標(biāo)，半車全狀態(tài)多目標(biāo)最優(yōu)H∞控制器的的狀態(tài)反饋增益系數(shù)可通過以下定理求取。

(13)

(14)

則存在一個(gè)狀態(tài)反饋控制器(7)。

①在沒有擾動(dòng)的情況下，閉環(huán)系統(tǒng) (12)是漸近穩(wěn)定的。

②在零初始狀態(tài)下，閉環(huán)系統(tǒng)(12)滿足：

‖G(jω)‖∞<γ

γ的值越小，系統(tǒng)對外部擾動(dòng)能力越強(qiáng)，系統(tǒng)的性能越好。

最終，求出增益矩陣：

證明：根據(jù)界實(shí)定理第四形式可知，閉環(huán)系統(tǒng)內(nèi)穩(wěn)定且具有H∞性能γ，當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)正定P>0，使得：

(15)

(16)

(17)

考慮控制輸入和約束輸出如下：

所以：

式中：λmax{*}為矩陣的最大特征值，i=1,2,…,6。

可得不等式(14)，證明結(jié)束。

這樣，主動(dòng)懸架系統(tǒng)(10)的全狀態(tài)多目標(biāo)最優(yōu)H∞控制器可以通過求解以下具有LMI約束和目標(biāo)函數(shù)的凸優(yōu)化問題得到：

3 半車全狀態(tài)多目標(biāo)最優(yōu)H∞控制仿真分析

為驗(yàn)證所提出優(yōu)化控制算法的效果，仿真中假設(shè)平整路面上有一個(gè)包塊，作為路面擾動(dòng)脈沖輸入。路面的時(shí)域模型可表達(dá)為：

式中:zr(t)為路面垂向位移,m；h和l分別表示包塊的高度和寬度，m；v0為恒定的車輛前進(jìn)速度,m/s。

經(jīng)試驗(yàn)仿真，發(fā)現(xiàn)控制器設(shè)計(jì)參數(shù)ρ為0.05時(shí)，控制效果不顯著。當(dāng)該值越小，效果越明顯。本文選ρ為0.025。

表1為半車主動(dòng)懸架的模型參數(shù)。

表1 模型參數(shù)Tab.1 Model parameters

①根據(jù)文獻(xiàn) [4] 方法，設(shè)計(jì)主動(dòng)懸架H∞最優(yōu)控制器。此方法為單目標(biāo)魯棒狀態(tài)反饋控制，求出的全狀態(tài)最優(yōu)控制反饋增益矩陣為：

②本文所提控制算法。同樣，根據(jù)表1車輛參數(shù)，對上述8個(gè)矩陣不等式進(jìn)行求解，其中最優(yōu)值γ使用mincx求解器得到為4.919，最終解出全狀態(tài)最優(yōu)控制反饋增益矩陣為：

性能指標(biāo)均方根對比如表2所示。

表2 性能指標(biāo)均方根對比Tab.2 Comparison of performance index RMS

為了研究該方法的可行性，對半車被動(dòng)懸架進(jìn)行對比。在時(shí)域內(nèi)，比較垂直加速度、俯仰角加速度、懸架動(dòng)行程、控制執(zhí)行力和輪胎動(dòng)位移動(dòng)態(tài)特性；在頻域內(nèi)，比較輸入輸出頻率特性[10]。

時(shí)域響應(yīng)曲線如圖2所示。圖2(a)和圖2(b)是車身垂直加速度和俯仰角加速度的時(shí)域響應(yīng)圖，通過與被動(dòng)懸架作比較，該方法可以同時(shí)降低垂直加速度和俯仰角加速度的值，實(shí)現(xiàn)擾動(dòng)抑制，改善車輛行駛的舒適性。圖2(c)和圖2(d)是前、后懸架動(dòng)行程的時(shí)域響應(yīng)圖，通過與被動(dòng)懸架作比較，懸架的行程能夠約束在最大行程之內(nèi)，避免沖擊限位裝置。圖2(e)和圖2(f)為主動(dòng)懸架主動(dòng)控制力的時(shí)域響應(yīng)圖，執(zhí)行機(jī)構(gòu)輸出控制力限制在設(shè)計(jì)值范圍內(nèi)，避免液壓裝置輸出飽和。圖2(g)和圖2(h)為主動(dòng)懸架前輪和后輪動(dòng)位移的時(shí)域響應(yīng)圖，在前后輪經(jīng)過凸包時(shí)，該動(dòng)載和靜載之比都小于1，可保證輪胎的接地性，實(shí)現(xiàn)車輛行駛的安全性。

圖2 時(shí)域響應(yīng)曲線Fig.2 Time domain response curves

被動(dòng)懸架和本文主動(dòng)懸架控制方法頻率響應(yīng)曲線如圖3所示。

圖3 頻率響應(yīng)曲線Fig.3 Frequency responses curves

4 結(jié)束語

本文以4自由度半車電液主動(dòng)懸架作為控制對象，以優(yōu)化舒適性和操縱穩(wěn)定性為目標(biāo)，提出一種LMI算法。設(shè)計(jì)了全狀態(tài)反饋控制律，并進(jìn)行時(shí)域和頻域仿真。本文得出如下結(jié)論。

①在時(shí)域進(jìn)行仿真，驗(yàn)證本文控制方法的車身垂直加速度和俯仰加速度的值與被動(dòng)懸架相比明顯降低，改善了車輛行駛的舒服性；克服了文獻(xiàn) [4]方法的缺陷，使俯仰角加速度得到降低，對垂直加速度有明顯改善。

②通過對性能指標(biāo)變量進(jìn)行約束，解決了在設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)時(shí)如何在舒適性與操縱穩(wěn)定性之間進(jìn)行合理折衷的問題，確保輪胎向整車提供足夠的側(cè)向力和縱向力，實(shí)現(xiàn)前后懸架協(xié)同控制。

③在建立的4自由度半車車模型中，對頻率響應(yīng)進(jìn)行分析，驗(yàn)證了該方法能有效抑制有限帶寬范圍內(nèi)的車身垂直加速度和俯仰加速度。