王 鑒，趙宏宇，鐘繼鴻，王孟渝，蔡志俊

(上海機電工程研究所，上海 201109)

0 引 言

近幾年來，臨近空間飛行器的戰(zhàn)略價值引起了世界各國的重視，同時也因其顯著的優(yōu)點和軍民兩用的潛在價值而成為研究熱點。但從整體發(fā)展水平看，臨近空間飛行器的廣泛應用目前仍處于關鍵技術攻關階段。

臨近空間飛行器具有發(fā)射平臺多樣、飛行速度快、可機動、多彈道變化、突防能力強和能夠打擊時間敏感目標等突出優(yōu)勢，對傳統(tǒng)的防空反導防護體系提出了嚴峻的挑戰(zhàn)。

臨近空間飛行器的飛行高度和馬赫數(shù)跨度范圍較大，氣動特性變化劇烈，且無法預知飛行擾動[1]。為解決這一問題，嘗試采用H∞混合靈敏度魯棒控制方法，引入加權函數(shù)，由加權函數(shù)直接反映系統(tǒng)的各項性能指標，研究被控對象的魯棒性，同時驗證系統(tǒng)的性能改善情況。

1 混合靈敏度控制思想

飛行器的不確定性反饋控制系統(tǒng)結(jié)構如圖1所示。

圖1 飛行器不確定性反饋控制系統(tǒng)結(jié)構Fig.1 Structure of flight vehicle’s uncertainty feedback control system

式中：r、e、u、d和y分別是被控系統(tǒng)的外部輸入、誤差信號、控制器輸出、外部擾動輸入和被控系統(tǒng)的輸出的測量值；G(s)為被控對象；K(s)為所設計的H∞混合靈敏度魯棒控制器。

定義靈敏度函數(shù)S(s)為

(1)

式中：S(s)是干擾d與輸出y以及誤差e與輸入r之間的閉環(huán)傳遞函數(shù)。S(s)越小，系統(tǒng)的干擾抑制能力越強，系統(tǒng)的跟蹤誤差越小。

定義補靈敏度函數(shù)T(s)為

(2)

由于T(s)制約系統(tǒng)輸出信號的大小，因此，T(s)決定系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性[2]。

綜上，為了使被控制系統(tǒng)具備魯棒性，且可抑制干擾輸入和精確跟蹤指令信號，希望控制系統(tǒng)的S(s)奇異值和T(s)奇異值能夠同時達到最小。

由于擾動具有低頻特性，模型不確定性往往是由于忽略高頻特性引起的，因此可在不同頻段設計S(s)和T(s)。引入性能加權函數(shù)WS(s)、控制器輸出加權函數(shù)WR(s)和魯棒加權函數(shù)WT(s)，并修改飛行器的不確定性反饋控制系統(tǒng)為標準H∞控制結(jié)構，如圖2所示。

圖2 標準控制結(jié)構Fig.2 Standard control structure

圖2中，z是被控制的輸出；e1、u1、y1分別為e、u、y被控制的輸出。

則系統(tǒng)從輸入r到輸出z的傳遞函數(shù)為

(3)

H∞混合靈敏度最優(yōu)控制問題的本質(zhì)為：設計控制器K(s)，使被控對象系統(tǒng)穩(wěn)定，并且滿足Tzr<γ(γ為系統(tǒng)的性能指標)，提高系統(tǒng)性能。

2 縱向H∞混合靈敏度魯棒控制器設計

2.1 飛行器縱向運動方程

以某型臨近空間飛行器為被控對象，通過求取飛行器在給定高度和飛行速度的平衡狀態(tài)，在平衡點對其數(shù)學模型進行小擾動線性化處理，并忽略機體和舵面下洗的動力系數(shù)小量，得到飛行器空中飛行的縱向短周期運動的狀態(tài)空間方程為[3]

(4)

2.2 縱向H∞混合靈敏度魯棒控制器設計

縱向控制器的首要任務是保證飛行器精確跟蹤整個飛行基準彈道。

臨近空間飛行器的飛行包線寬廣，氣動特性變化劇烈，是復雜的時變不確定性系統(tǒng)，其不確定性包括：模型的動態(tài)特性偏差、大包線內(nèi)的飛行參數(shù)劇烈變化以及大氣擾動等不確定性干擾。采用H∞混合靈敏度魯棒控制方法，引入加權函數(shù)，使得被控系統(tǒng)具備魯棒性和較高的系統(tǒng)性能，可快速跟蹤指令信號，有效抑制各項不確定性干擾。

基于實際情況，如果在高度回路設計魯棒控制器，將會導致系統(tǒng)縱向控制器的階次過高，不符合實際工程應用需求。因此，在俯仰角回路采用H∞混合靈敏度魯棒控制設計方法。為了使系統(tǒng)穩(wěn)定，并且降低控制器階次，采用比例法設計系統(tǒng)的增穩(wěn)回路。

俯仰角回路H∞混合靈敏度魯棒控制器的設計結(jié)構如圖3所示[4]。

圖3 H∞混合靈敏度魯棒控制器的結(jié)構Fig.3 Structural block diagram of mixed sensitivity robust controller

圖3中：?c為輸入俯仰角指令；Gc(s)為標稱控制對象；GA(s)為實際控制對象；Gm為非結(jié)構型輸出端不確定性模型；d為外界干擾輸入；?為回路實際俯仰角輸出。

增加角速度和攻角內(nèi)反饋回路作為系統(tǒng)的增穩(wěn)回路，控制模型不確定的范圍。

在保證系統(tǒng)穩(wěn)定性的

前提下，降低系統(tǒng)縱向控制器的階次。最終設計的標稱控制對象Gc(s)如圖4所示。

圖4 標稱控制對象Gc(s)結(jié)構Fig.4 Block diagram of nominal control object Gc(s)

2.3 選取標稱控制對象

標稱控制對象的選取過程為：首先，分析飛行器的飛行包線并選定合適的特征點；其次，繪制特征點處數(shù)學模型的奇異值Bode圖，選取奇異值居中的那個特征點作為標稱控制對象[5]。

某型臨近空間飛行器從0Ma開始加速爬升，當飛行速度為4Ma時進行高空巡航飛行[6]。由于飛行器在加速爬升階段的飛行高度和飛行馬赫數(shù)跨度范圍較大，氣動特性變化劇烈。為此，選取加速爬升階段的6個飛行狀態(tài)作為特征點，設計縱向通道的H∞混合靈敏度魯棒控制器。所選取的6個特征點的飛行狀態(tài)如表1所示。

表1 6個飛行狀態(tài)特征點Tab.1 Six flight state characteristic points

繪制選定特征點的奇異值 Bode 圖，如圖5所示。

圖5 選定的6個特征點的奇異值Bode圖Fig.5 Singular value Bode graphs of six selected characteristic points

由圖5可以看出，雖然6個特征點的曲線規(guī)律類似，但是飛行器的空域跨度較大，綜合衡量，選取特征點4(Ma=1.5，H=10 km)所對應的狀態(tài)空間模型作為標稱控制對象，進行H∞混合靈敏度魯棒控制器的設計分析。

2.4 選取加權函數(shù)

H∞混合靈敏度魯棒控制器設計的本質(zhì)是由加權函數(shù)直接反映系統(tǒng)的各項性能指標要求。當選定標稱控制對象后，加權函數(shù)的選取就成為設計控制器至關重要的一步，合理的加權函數(shù)可以提高系統(tǒng)的動態(tài)品質(zhì)、系統(tǒng)魯棒性以及系統(tǒng)的抗干擾能力等。

1) 設計性能加權函數(shù)WS(s)

WS(s)是對靈敏度函數(shù)S(s)的加權函數(shù)，根據(jù)系統(tǒng)性能的要求而選取。WS(s)應具有積分特性或者高增益低通特性，以增強對干擾的抑制能力。在低頻段，WS(s)的增益值應盡量大，以使S(s)盡量小，這樣可以有效抑制干擾的影響或精確地跟蹤輸入信號。在高頻段，為了使被控系統(tǒng)的超調(diào)量在一定的范圍內(nèi)，宜將WS(s)的幅值設置在0.1～0.8區(qū)間范圍內(nèi)，此時對應的S(s)的增益為0 dB，且在全頻域范圍內(nèi)，S(s)的最大奇異值小于WS-1(s)的最大奇異值[7]。

本文在保證系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定的前提下，設計的性能加權函數(shù)為

(5)

在Matlab/Simulink中繪制WS-1(s)和S(s)的奇異值特性曲線，如圖6所示。

圖6 WS-1(s)和S(s)的奇異值特性曲線Fig.6 Singular value characteristic curve of WS-1(s) and S(s)

由圖6可知，靈敏度函數(shù)S(s)的最大奇異值在全頻域內(nèi)小于WS-1(s)的最大奇異值，設計的WS(s)滿足性能加權函數(shù)的設計要求。

2) 選取魯棒加權函數(shù)WT(s)

WT(s)是對補靈敏度函數(shù)T(s)的加權函數(shù)，代表乘性攝動的范數(shù)界，反映系統(tǒng)對魯棒穩(wěn)定性要求，即系統(tǒng)高頻性能需求。因此，在高頻段，選取具有高通特性的WT(s)函數(shù)，以消除模型不確定性的影響。此外，為了抑制高頻干擾的影響，WT(s)應具備較大的高頻段增益及較小的低頻段增益。在低頻段，模型參數(shù)變化引起的等效模型誤差的最大奇異值應大于WT(s)的最大奇異值。

模型不確定性用輸出端乘性不確定性表示時，Gc(s)和Gci(s)的關系為

Gci(s)=(I+Gmi(s))Gc(s)

(6)

即

Gmi(s)=(Gci(s)-Gc(s))Gc-1(s)

(7)

式中：i=1,2,3,5,6；Gc(s)為標稱控制對象數(shù)學模型；Gci(s)為其他特征點數(shù)學模型；Gmi(s)為非結(jié)構型輸出端不確定型模型；I為單位矩陣。

對標準控制對象Gc(s)選取加權函數(shù)WT(s)時，首先，根據(jù)WT(s)的最大奇異值與模型參數(shù)變化引起的等效模型誤差的最大奇異值的關系，初步設計魯棒加權函數(shù)WT(s)，即計算選定的特征點處Gmi(s)的奇異值，并保證在有效頻段內(nèi)Gmi(s)的最大奇異值大于WT(s)的最大奇異值。然后，在高頻段，為了抑制高頻干擾的影響，WT(s)的高頻增益應盡量高，并結(jié)合實際情況，選取低階次的WT(s)。

設計的魯棒加權函數(shù)為

(8)

在Matlab/Simulink中繪制非結(jié)構型輸出端不確定型模型Gmi(s)的奇異值與WT(s)的奇異值的關系，如圖 7所示。

圖7 Gmi(s)與WT(s)的奇異值關系圖Fig.7 Singular value relation diagram of Gmi(s)and WT(s)

由圖7可知，設計的WT(s)滿足非結(jié)構型輸出端不確定型模型的設計要求。此外，繪制WT-1(s)和T(s)的奇異值特性曲線，如圖8所示。

圖8 WT-1(s)和T(s)的奇異值特性曲線Fig.8 Singular values characteristic curvesof WT-1(s) and T(s)

由圖8可知，補靈敏度函數(shù)T(s)的最大奇異值在全頻域內(nèi)小于WT-1(s)的幅值，滿足設計要求，并且靈敏度函數(shù)WT-1(s)的最大奇異值在全頻域內(nèi)小于T(s)的最大奇異值，證明選取的加權函數(shù)在保證系統(tǒng)魯棒性的情況下可使系統(tǒng)的性能最優(yōu)化。

3) 選取控制器輸出加權函數(shù)WR(s)

為了使設計的控制器具備工程意義，防止控制器的輸出過大，需引入控制器輸出加權函數(shù)WR(s)以限制控制量的大小。此外，引入WR(s)還應保證系統(tǒng)具有足夠的帶寬。通常，WR(s)選為一個合適的常數(shù)形式。

本文中，控制器輸出加權函數(shù)取值為

WR(s)=0.000 1

(9)

選定加權函數(shù)后，以標稱控制對象為縱向控制器設計對象，通過Matlab的魯棒控制工具箱的augtf及hinfsyn函數(shù)設計H∞混合靈敏度魯棒控制器[8]。根據(jù)混合靈敏度H∞次優(yōu)控制理論，設計的H∞混合靈敏度魯棒控制器為

(10)

3 魯棒控制器性能仿真驗證

為了進一步驗證設計的H∞混合靈敏度魯棒控制器的性能指標，采用某型臨近空間飛行器的線性化模型進行性能仿真驗證。

利用Matlab軟件，仿真驗證在H∞混合靈敏度魯棒控制器的控制下某型臨近空間飛行器在6個選定特征點的時域頻域響應特性。

1) 時域響應特性驗證

各特征點的單位階躍響應如圖9所示。在H∞混合靈敏度魯棒控制器的控制下，系統(tǒng)在選定特征點處的時域響應特性良好，超調(diào)量較小，上升時間較短，響應較快。

圖9 各特征點的單位階躍響應Fig.9 Unit step response of each characteristic point

2) 頻域響應特性驗證

各特征點的頻域響應如圖10～15所示。

(1) 特征點1(Ma=0.5，α=3°)

由圖10可知，幅值裕度γ=43.6 dB(頻率F=471 rad·s-1)，相角裕度h=42.2°(F=5.11 rad·s-1)。

圖10 特征點1頻域響應曲線Fig.10 Frequency domain response curve of characteristic point 1

(2) 特征點2(Ma=0.8，α=0°)

由圖11可知，γ=35.8 dB(F=471 rad·s-1)，h=73.8°(F=9.29 rad·s-1)。

圖11 特征點2頻域響應曲線Fig.11 Frequency domain response curve of characteristic point 2

(3) 特征點3(Ma=1.2，α=0°)

圖12 特征點3頻域響應曲線Fig.12 Frequency domain response curve of characteristic point 3

由圖12可知，γ=30.2 dB(F=471 rad·s-1)，h=94.8°(F=16.6 rad·s-1)。

(4) 特征點4(Ma=1.5，α=0°)

圖13 特征點4頻域響應曲線Fig.13 Frequency domain response curve of characteristic point 4

由圖13可知，γ=32.5 dB(F=471 rad·s-1)，h=87.6°(F=12.9 rad·s-1)。

(5)特征點5(Ma=2，α=3°)

圖14 特征點5頻域響應曲線圖Fig.14 Frequency domain response curve of characteristic point 5

由圖14可知，γ=35.8 dB(F=471 rad·s-1)，h=85.1°(F=8.15 rad·s-1)。

(6) 特征點6(Ma=4，α=3°)

圖15 特征點6頻域響應曲線圖Fig.15 Frequency domain response curve of characteristic point 6

由圖15可知，γ=39.2 dB(F=471 rad·s-1)，h=65.6°(F=6.56 rad·s-1)。

由圖 10至圖 15可知，在H∞混合靈敏度魯棒控制器的控制下，系統(tǒng)在6個選定的特征點處的頻域特性響應良好。幅值裕度大于30 dB，相角裕度基本大于60°，最大可達94.8°，具備較強的魯棒性。

綜上，在所設計的H∞混合靈敏度魯棒控制器的控制下，某型臨近空間飛行器可快速地響應指令信號，并且系統(tǒng)具備較強的魯棒性，系統(tǒng)的時域頻域特性滿足工程指標。

4 結(jié)束語

本文首先介紹了應用H∞混合靈敏度魯棒控制的意義及其控制思想；然后，通過選取合適的標稱控制對象和設計合理的加權函數(shù)，設計了飛行器縱向H∞混合靈敏度魯棒控制器；最后，仿真驗證了飛行器的時域頻域響應特性。結(jié)果表明，設計的控制器可使被控對象具備良好的時域頻域特性，具有很好的工程參考價值。