梁孝東，繆林昌，尤 佺，厲 超，方黃磊，雷利劍

(東南大學(xué)交通學(xué)院，南京 211189)

1 引 言

隨著我國城市化建設(shè)的快速發(fā)展，地鐵的建設(shè)規(guī)模不斷擴(kuò)大，然而地鐵運行所引發(fā)的低頻環(huán)境振動問題也日趨嚴(yán)重，愈發(fā)影響人們的生產(chǎn)和生活[1-2]。研究表明，地鐵運行引發(fā)的振動主要分布在200 Hz以下的低頻范圍，主要頻段為40～80 Hz[3-7]，且該頻段的振動對人體危害較大。

聲子晶體是一種新型人工周期性功能材料，其具有彈性波傳播帶隙特性，對在帶隙頻率范圍內(nèi)彈性波的傳播具有顯著的抑制作用，這一特性使其能夠?qū)崿F(xiàn)對特定頻段彈性波的衰減控制，因而聲子晶體在減振降噪領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用前景。1993年，Kushwaha等[8]首次提出了聲子晶體的概念。目前認(rèn)為聲子晶體帶隙的產(chǎn)生機(jī)理，主要有兩種：一是Bragg散射機(jī)理；二是局域共振機(jī)理。2000年，Liu等[9]首次提出局域共振型聲子晶體的概念，他在鉛球外包裹硅橡膠，然后將其周期性地排列在環(huán)氧樹脂基體中，制成一種三維聲子晶體，突破了Bragg散射機(jī)理的限制，使用較小的結(jié)構(gòu)尺寸便可得到低頻帶隙。最近十幾年，局域共振型聲子晶體由于其突出的低頻帶隙特性吸引了眾多學(xué)者的研究。研究人員們相繼提出桿狀、梁狀和板狀等結(jié)構(gòu)[10-15]，來研究其低頻局域共振帶隙特性。與此同時，研究人員們還對聲子晶體的結(jié)構(gòu)進(jìn)行設(shè)計，以獲得更低的帶隙頻率。吳九匯等[14]設(shè)計了一種含螺旋局域共振單元的聲子晶體板結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)能夠在低頻打開較寬的帶隙，帶隙起始頻率低至42 Hz，然而該結(jié)構(gòu)的制作較為困難。Gao等[16]研究了一種雙共振單元結(jié)構(gòu)，其可以在50 Hz以下的低頻范圍打開帶隙。祁鵬山等[17]提出一種局域共振二維聲子晶體模型，其研究結(jié)果表明多振子和非對稱性有益于拓寬帶隙，并能改善結(jié)構(gòu)的隔聲效果。綜上分析，現(xiàn)有研究很少能在200 Hz以下的低頻范圍內(nèi)，兼顧帶隙的低頻、寬帶和強(qiáng)衰減特性，難以應(yīng)用于地鐵的減振隔振。

本文提出一種新型的局域共振二維聲子晶體結(jié)構(gòu)，借助有限元法對結(jié)構(gòu)的低頻局域共振帶隙特性進(jìn)行了系統(tǒng)的研究。首先，計算了無限周期聲子晶體的能帶結(jié)構(gòu)，并結(jié)合振動模態(tài)研究了局域共振帶隙的產(chǎn)生機(jī)理。其次，基于等效簡化模型對帶隙的影響因素進(jìn)行了分析。最后，對結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計打開了更寬的帶隙，并通過數(shù)值仿真對有限周期聲子晶體的低頻帶隙特性進(jìn)行了驗證。本文所提出的局域共振型聲子晶體結(jié)構(gòu)具有輕質(zhì)、經(jīng)濟(jì)、低頻、寬帶等優(yōu)點，在地鐵的減振隔振中具有潛在的應(yīng)用前景。

2 單元結(jié)構(gòu)及計算方法

2.1 單元結(jié)構(gòu)

新型局域共振二維聲子晶體的單元結(jié)構(gòu)如圖1(a)所示。該單元結(jié)構(gòu)中心對稱，分為四個部分，其中A部分為水泥砂漿基體，B部分為發(fā)泡聚苯乙烯連接體，C部分為鋼芯體，D部分為微腔。晶格常數(shù)為a；水泥砂漿基體邊框的內(nèi)邊長為b，厚度為e；發(fā)泡聚苯乙烯連接體的邊長為c；鋼芯體的半徑為r。鋼芯體位于結(jié)構(gòu)的中心，四個連接體尺寸相同且對稱分布于基體邊框內(nèi)的四角，四個空心孔洞也對稱分布于基體邊框與鋼芯體之間，整個結(jié)構(gòu)嚴(yán)格對稱。單元結(jié)構(gòu)的幾何參數(shù)和材料參數(shù)分別如表1、表2所示。

圖1 (a)單元結(jié)構(gòu)；(b)不可約Brillouin區(qū)(陰影部分)Fig.1 (a)Unit structure; (b)Irreducible Brillouin area (shaded part)

表1 幾何參數(shù)Table 1 Geometric parameters

a/mmb/mmc/mme/mmr/mm40368216

表2 材料參數(shù)Table 2 Material parameters

2.2 計算方法

在線彈性、各向同性、無阻尼無源的無限大非均勻介質(zhì)中，彈性波的控制方程為

▽·(C(r):▽u(r))+ρ(r)ω2u(r)=0

(1)

式中▽為矢量微分算符；r為位置矢量；u(r)為位移矢量；C(r)和ρ(r)分別為材料的彈性張量和密度張量；ω為彈性波的角頻率。而對于各向同性非均勻介質(zhì)，方程(1)可以簡寫為

ρü(r,t)=(λ+μ)▽▽·u(r,t)+μ▽2u(r,t)

(2)

式中ρ是密度；λ和μ是Lamé常數(shù)。取二維晶格平面為xOy平面，軸向為z方向。假設(shè)彈性波在xOy平面內(nèi)傳播，介質(zhì)中的位移僅與x、y坐標(biāo)有關(guān)，即u(r,t)=u(x,y,t)，則方程(3)可以解耦為XY模式和Z模式的波動方程，其中XY模式的波動方程為

ρ(r)üxy(r,t)=[λ(r)+μ(r)]▽▽·uxy(r,t)+μ(r)▽2uxy(r,t)

(3)

Z模式的波動方程為

(4)

對于二維聲子晶體，根據(jù)波在周期結(jié)構(gòu)中傳播的Bloch定理，位移場u(r)可以表示成如下形式

u(r)=ei(k·r)uk(r)

(5)

其中uk(r)為與聲子晶體具有相同周期性的矢量函數(shù)；k為第一Brillouin區(qū)(見圖1(b))的波矢。單胞的外邊界應(yīng)滿足如下條件

u(r+a)=ei(k·a)u(r)

(6)

其中a為晶格常數(shù)矢量。利用有限元軟件求解波動方程時，由于聲子晶體的周期性，計算可在一個單胞內(nèi)進(jìn)行。用有限單元劃分網(wǎng)格后，單胞離散形式的特征值方程可寫為

(K-ω2M)u=0

(7)

式中K為剛度矩陣；M為質(zhì)量矩陣；u為單胞的位移矩陣。

結(jié)合邊界條件(6)和特征值方程(7)，就可以在給定波矢k的情況下求解特征頻率。求解時，只需要令波矢k沿著不可約Brillouin區(qū)(見圖1(b)中陰影部分)的邊界M-Γ-X-M進(jìn)行掃描即可。

3 局域共振帶隙特性及機(jī)理分析

圖2 能帶結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Band gap structure diagram

圖2為圖1(a)結(jié)構(gòu)的能帶結(jié)構(gòu)圖，其中實線是XY模式的能帶結(jié)構(gòu)圖，虛線是Z模式的能帶結(jié)構(gòu)圖。XY模式時，該結(jié)構(gòu)存在一個頻率范圍為39.77～133.43 Hz帶隙，帶寬為93.66 Hz；而Z模式時，存在一個頻率范圍為32.87～110.33 Hz的帶隙，帶寬為77.46 Hz。綜合XY模式和Z模式的能帶結(jié)構(gòu)圖，可以發(fā)現(xiàn)，在200 Hz以下的低頻范圍內(nèi)，該結(jié)構(gòu)打開一個頻率范圍39.77～110.33 Hz，帶寬為70.56 Hz的完全帶隙，如圖中陰影部分所示。該結(jié)構(gòu)在低頻范圍內(nèi)打開的帶隙，能夠很好地覆蓋地鐵振動的主要頻段。為了進(jìn)一步說明該結(jié)構(gòu)低頻帶隙的形成機(jī)理，選取第一Brillouin區(qū)的高對稱點A1、A2、B、C1、C2、D和E，分析其對應(yīng)的振動模態(tài)，如圖3所示。

對于XY模式，帶隙下邊界的A1和A2點對應(yīng)于鋼芯體的平移振動模態(tài)(圖3(a)和(b))，振動主要集中在鋼芯體上。該振動模態(tài)下，鋼芯體帶動四角的發(fā)泡聚苯乙烯連接體作xOy平面內(nèi)的平移運動，而基體邊框趨于靜止。鋼芯體對基體邊框存在xOy平面內(nèi)的力，與基體邊框中的長波行波相互耦合，從而導(dǎo)致了帶隙的產(chǎn)生。B點則對應(yīng)于鋼芯體的扭轉(zhuǎn)振動模態(tài)(圖3(c))，此時鋼芯體作扭轉(zhuǎn)振動，而基體邊框幾乎不發(fā)生振動。該模態(tài)下鋼芯體僅對基體邊框產(chǎn)生扭矩作用，而沒有xOy平面內(nèi)力的作用，基體邊框中的長波行波難以與鋼芯體的振動相耦合，從而在48.34 Hz處產(chǎn)生一條貫穿完全帶隙的平直帶。帶隙上邊界的C1和C2點對應(yīng)于系統(tǒng)的平移振動模態(tài)(圖3(d)和(e))，鋼芯體和基體邊框在彈性連接下作反相位振動，主要是基體邊框在xOy平面內(nèi)作平移振動，而鋼芯體的振動很小。此時，基體邊框中長波行波與鋼芯體振動的耦合作用很弱，帶隙從而截止。

而對于Z模式，帶隙下邊界的D點對應(yīng)于鋼芯體在z方向(垂直紙面方向)的共振(圖4(a))，而帶隙上邊界的E點則對應(yīng)于基體邊框在z方向的共振圖(圖4(b))。Z模式的帶隙產(chǎn)生機(jī)理可參照XY模式進(jìn)行類似的分析，此處不再贅述。此外，下文對于帶隙影響因素和結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計的分析也都基于XY模式。

圖3 結(jié)構(gòu)振動模態(tài)圖(XY模式)Fig.3 Vibration mode diagrams of the structure(XY mode)

圖4 結(jié)構(gòu)振動模態(tài)圖(Z模式)Fig.4 Vibration mode diagrams of the structure(Z mode)

圖1(a)結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)的第一帶隙起始頻率對應(yīng)的簡化模型如圖5(a)所示，根據(jù)上述對帶隙起始處A點振動模態(tài)的分析，振動過程中基體邊框趨于靜止，此時局域共振單元可等效為“質(zhì)量-彈簧”單自由度系統(tǒng)。當(dāng)振動以彈性波的形式傳播到該單元結(jié)構(gòu)時，會對基體邊框產(chǎn)生力F的作用，而質(zhì)量塊m1(鋼芯體)的運動同樣對基體邊框產(chǎn)生一個反作用力f，因此基體邊框在外部作用力F和內(nèi)部反作用力f的共同作用下振動。當(dāng)外部作用力F和內(nèi)部反作用力f的頻率相同時，外部作用力就被內(nèi)部反作用力所抵消，作用在基體邊框上的合力趨于零，局域共振模態(tài)被激發(fā)，能量被局域共振單元吸收，使得彈性波被共振單元局域化而無法在基體中傳播，從而形成帶隙。局域共振帶隙的起始頻率由“質(zhì)量-彈簧”系統(tǒng)的固有頻率決定，可由式(8)估算：

(8)

式中，k為彈性連接體的等效剛度，m1為振子的等效質(zhì)量。

第一帶隙截止頻率對應(yīng)的簡化模型如圖5(b)所示，此時局域共振單元可等效為“質(zhì)量-彈簧-質(zhì)量”雙自由度系統(tǒng)。帶隙截止頻率處，m1和m2在彈簧的連接下，形成反相位振動，彈簧上存在一個位置靜止不動，即“靜點”，帶隙的截止頻率可由式(9)估算：

(9)

式中，k為彈性連接體的等效剛度，m1為振子的等效質(zhì)量，m2為基體的等效質(zhì)量。

圖5 具有局域共振帶隙的聲子晶體的簡化模型Fig.5 A simplified model of phononic crystals with local resonance band gaps

4 帶隙影響因素分析

由上述簡化模型的分析可知，帶隙的起止頻率主要與振子的等效質(zhì)量m1、基體的等效質(zhì)量m2和彈性連接體的等效剛度k有關(guān)。為了進(jìn)一步分析結(jié)構(gòu)的帶隙特性與材料參數(shù)和幾何參數(shù)之間的關(guān)系，本文研究了芯體密度、基體密度、連接體彈性模量和連接體邊長c變化時帶隙的變化情況，如圖6所示。

圖6 帶隙影響因素Fig.6 Influence factors of band gap

由圖6(a)可知，隨著芯體密度的增大，帶隙的起始和截止頻率均降低，但是截止頻率的變化率較小，帶隙寬度隨之增大，所以帶隙的起始頻率與芯體密度緊密相關(guān)。該變化規(guī)律可用上述的等效簡化模型公式來解釋，根據(jù)式(8)，芯體密度增大，則振子的等效質(zhì)量m1增大，而等效剛度k不變，所以系統(tǒng)的固有頻率降低，帶隙的起始頻率隨之降低；根據(jù)式(9)，振子的等效質(zhì)量m1增大也會導(dǎo)致帶隙的截止頻率的降低，但變化率較小，所以帶隙寬度會增大。

由圖6(b)可知，隨著基體邊框密度的增大，帶隙的起始頻率保持不變，而截止頻率降低，帶隙寬度減小，所以帶隙的截止頻率與基體邊框的密度相關(guān)。因為改變基體密度并不會引起系統(tǒng)固有頻率的改變，所以帶隙的起始頻率保持不變；而根據(jù)式(9)，基體的等效質(zhì)量m2的變化則會引起帶隙截止頻率的變化。

由圖6(c)可以看到，隨著連接體彈性模量的增大，帶隙的起始和截止頻率均升高，但截止頻率的變化率大于起始頻率的變化率，帶隙寬度整體增大。分析可知，增大連接體的彈性模量，則簡化模型中的等效剛度k增大，而等效質(zhì)量不變，所以帶隙的起始和截止頻率均升高。此外，由式(8)和式(9)可計算得到帶隙的寬度，見式(10)。根據(jù)式(10)可知，等效質(zhì)量不變時，帶隙寬度與等效剛度k呈正相關(guān)。

(10)

圖6(d)則描述的是帶隙與連接體邊長c的變化關(guān)系，其變化規(guī)律與圖6(c)相同。分析可知，增大連接體邊長c即增加連接體的填充度，相當(dāng)于增加了連接體的等效剛度k。其中當(dāng)c=18 mm時，連接體填滿微腔，結(jié)構(gòu)即變?yōu)槿B接結(jié)構(gòu)，此時帶隙的頻率范圍為116.73～391.51 Hz，雖然帶隙寬度很大，但是帶隙起始頻率較高。

根據(jù)以上分析可知，等效剛度k一定的情況下，帶隙起始頻率由芯體的密度決定，截止頻率主要由基體邊框的密度決定，而等效剛度k具有放大帶隙寬度的作用。因此，增大芯體的密度、減小基體邊框的密度并增大連接體的彈性模量，可以使得帶隙向低頻范圍移動并拓展帶隙的寬度。

5 復(fù)合單元結(jié)構(gòu)優(yōu)化及傳輸特性

根據(jù)上文的分析，局域共振帶隙是因為共振單元的局域共振模態(tài)與基體中的行波進(jìn)行耦合而產(chǎn)生的。對于單質(zhì)量塊構(gòu)成的結(jié)構(gòu)單元，不論如何改變結(jié)構(gòu)的材料和幾何參數(shù)，都只對應(yīng)一個平移振動模態(tài)和扭轉(zhuǎn)振動模態(tài)的固有頻率，也就只能打開一條局域共振帶隙。為了拓寬帶隙范圍，本文對結(jié)構(gòu)進(jìn)行了優(yōu)化，提出局域共振復(fù)合單元結(jié)構(gòu)，即在基體邊框內(nèi)按2×2的排列方式對稱布置4個芯體質(zhì)量塊，芯體之間以連接體相連，且仍與基體邊框的四角相接，芯體的半徑與圖1(a)中相同，芯體、基體邊框和連接體的材料參數(shù)也與圖1(a)中保持一致。該局域共振復(fù)合單元結(jié)構(gòu)的單元模型如圖7(a)所示。

圖7 復(fù)合單元結(jié)構(gòu)及其能帶結(jié)構(gòu)(XY模式)Fig.7 Composite unit model and band gap structure(XY mode)

利用有限元軟件同樣計算了該復(fù)合結(jié)構(gòu)XY模式的能帶結(jié)構(gòu)圖，如圖7(b)所示?？梢钥吹?，該結(jié)構(gòu)在200 Hz以下的頻率范圍內(nèi)打開了兩條局域共振帶隙，帶隙范圍分別為30.86～39.21 Hz和39.72～149.17 Hz，總的帶隙寬度達(dá)到117.8 Hz，帶隙范圍內(nèi)還出現(xiàn)了多條平直帶。與原單元結(jié)構(gòu)相比，優(yōu)化后的復(fù)合單元結(jié)構(gòu)的帶隙起始頻率降低了22.4%，且?guī)秾挾仍龃罅?5.8%。由上文分析可知，帶隙內(nèi)的平直帶對應(yīng)于質(zhì)量塊的扭轉(zhuǎn)振動模態(tài)，質(zhì)量塊的數(shù)目增加，則對應(yīng)的扭轉(zhuǎn)振動模態(tài)也越多，所以帶隙內(nèi)出現(xiàn)多條平直帶。但是多個扭轉(zhuǎn)振動模態(tài)相互耦合也會產(chǎn)生消極作用，即在39.5 Hz附近出現(xiàn)分割完全帶隙的窄通帶。同時，該結(jié)構(gòu)內(nèi)質(zhì)量塊按2×2的方式排列，其在兩個方向上是等效的，縱向與橫向的局域共振模態(tài)趨于簡并，使得系統(tǒng)固有頻率降低，即帶隙起始頻率降低；而如果將該復(fù)合結(jié)構(gòu)平均到每個質(zhì)量塊，其基體的等效質(zhì)量要小于圖1(a)中的結(jié)構(gòu)，所以帶隙截止頻率升高，帶隙總寬度增加。

此外，為了驗證兩種單元結(jié)構(gòu)的低頻局域共振帶隙特性，利用有限元法計算了x方向具有10個周期單元的模型的頻率響應(yīng)函數(shù)。在有限元軟件中，首先按照單元結(jié)構(gòu)的參數(shù)在x方向上建立10個周期的模型，然后在模型的一端施加y方向的單位加速度激勵，并使頻率掃過0～200 Hz，在模型的另一端拾取相應(yīng)的加速度響應(yīng)，即可得到頻率響應(yīng)函數(shù)。頻率響應(yīng)函數(shù)的定義如下[18]：

(11)

圖8 兩種單元結(jié)構(gòu)的頻率響應(yīng)函數(shù)(x方向10個周期)Fig.8 Frequency response functions of two types of unit structures (10 cycles in the x direction)

式中：X和X0分別為拾取端和激勵端的加速度，T為頻率響應(yīng)函數(shù)值。

圖8給出了兩種單元結(jié)構(gòu)的頻率響應(yīng)函數(shù)曲線，其中實線和虛線分別表示復(fù)合單元結(jié)構(gòu)和初始單元結(jié)構(gòu)的頻率響應(yīng)函數(shù)曲線?？梢钥吹?，兩條頻率響應(yīng)函數(shù)曲線中均存在一個振動衰減區(qū)(陰影部分表示復(fù)合單元結(jié)構(gòu)頻率響應(yīng)函數(shù)的振動衰減區(qū))，其頻率范圍與圖2和圖7(b)的能帶結(jié)構(gòu)圖吻合較好。對于復(fù)合單元結(jié)構(gòu)，其頻率響應(yīng)函數(shù)曲線衰減區(qū)的起止頻率處，分別出現(xiàn)共振峰P1和P3，而39 Hz附近出現(xiàn)的共振峰P2則對應(yīng)于能帶結(jié)構(gòu)中的窄通帶。通過比較可以發(fā)現(xiàn)，復(fù)合單元結(jié)構(gòu)的平均振動衰減比初始單元結(jié)構(gòu)多10 dB左右，即優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)對振動波的衰減能力增強(qiáng)。

6 結(jié) 論

提出了一種新型局域共振二維聲子晶體結(jié)構(gòu)，采用有限元法計算其能帶結(jié)構(gòu)，對其帶隙的形成機(jī)理和影響因素進(jìn)行了詳細(xì)的分析，并進(jìn)一步對結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，得出以下結(jié)論：

(1)該結(jié)構(gòu)可以在200 Hz以下的低頻范圍內(nèi)打開寬度70.56 Hz的完全帶隙，其帶隙的起始頻率低至39.77 Hz；

(2)帶隙是由局域共振單元與基體中行波長波發(fā)生相互耦合作用而產(chǎn)生的，等效剛度k一定的情況下，帶隙起始頻率由芯體的密度決定，截止頻率主要由基體邊框的密度決定，而等效剛度k具有放大帶隙寬度的作用；

(3)優(yōu)化后的復(fù)合單元結(jié)構(gòu)能夠打開更低更寬的帶隙，XY模式的起始頻率進(jìn)一步降低至30.86 Hz，與原始結(jié)構(gòu)相比，起始頻率降低了22.4%，且?guī)秾挾仍龃罅?5.8%，并且對振動波的衰減性能提升。

該結(jié)構(gòu)具有優(yōu)越的低頻局域共振帶隙特性，能夠很好地覆蓋地鐵振動的主要頻段，在地鐵的減振隔振領(lǐng)域中具有潛在的應(yīng)用前景。