鄒冬林，張建波，田佳彬，塔 娜，饒柱石，4

（1.上海交通大學 振動、沖擊、噪聲研究所，上海200240；2.上海交通大學 機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室，上海200240；3.武漢第二船舶設計研究所，武漢430205；4.高新船舶與深海開發(fā)裝備協(xié)同創(chuàng)新中心，上海200240）

0 引 言

由于海洋來流的不均勻，船舶螺旋槳工作中產(chǎn)生靜推力的同時也不可避免地產(chǎn)生脈動力。該脈動力傳遞到軸上引起軸系振動，進而引起船體振動并輻射噪聲。過大的振動會導致軸系、船體等結構疲勞損壞，產(chǎn)生安全隱患。同時由振動而產(chǎn)生的輻射噪聲也會影響乘員舒適性。因此在船舶推進軸系設計階段，需要考慮如何減少螺旋槳脈動力的產(chǎn)生以及優(yōu)化螺旋槳脈動力到軸系的傳遞途徑等一系列問題。為解決這一問題，需要全面分析流體-螺旋槳-軸系間的耦合動力學特性。流體-螺旋槳-軸系耦合系統(tǒng)動力學分析本質上是一個流固耦合問題，且非常復雜。這是因為一方面不均勻流體引起的螺旋槳脈動力會導致軸系振動，而軸系振動又會帶動螺旋槳振動，從而改變螺旋槳的脈動力。二者之間相互耦合，形成反饋機制。另一方面，即使螺旋槳工作在均勻來流中，由于螺旋槳或轉軸不可避免地存在偏心，使得船舶推進軸系在繞自身中心線旋轉的同時，又發(fā)生空間渦動（又稱為進動），導致附在其上的螺旋槳也做復雜的空間旋轉運動，從而使螺旋槳的進流速度每時每刻都在變化，進一步導致脈動力的產(chǎn)生?？傊?，螺旋槳脈動力和軸系振動是相互影響的，并且可能存在增強效應。根據(jù)相關文獻資料，由于船體和軸系振動誘發(fā)了螺旋槳和伴流場耦合面的流體振蕩，可使螺旋槳激勵力產(chǎn)生的低頻聲輻射增加10～15 dB，因此非常有必要考慮軸系振動對螺旋槳水動性能的影響。目前針對流體-螺旋槳-軸系的雙向流固耦合這一復雜問題的研究文獻很少。國內外已有的文獻均是把這一問題割裂為兩個問題：流體-螺旋槳流固耦合動力學分析及流體載荷激勵下的軸系振動。通常是先研究流體-螺旋槳流固耦合動力學特性，求解出螺旋槳對根部的激勵力。研究中認為螺旋槳根部固定，忽略軸系振動的影響。然后把激勵力作為集中載荷施加在軸系末端上（與螺旋槳連接的地方），進而研究軸系的振動響應等等，此時螺旋槳通常作為一個集中質量。該研究思路忽略了軸系振動對流場的反饋作用。當軸系振動幅值很小時，由此導致的螺旋槳水動力學性能變化可以忽略，這種分開處理的方法是滿足工程要求的。而對于大型柔性船舶軸系，由于其細長比通常很小，軸系振動幅值不能忽略；同時由于大型船舶載重增加，通常選用大尺寸螺旋槳，由此導致的螺旋槳微小偏心都會產(chǎn)生很大的不平衡載荷，從而引起軸系劇烈振動。因此把流體、螺旋槳和軸系作為一個統(tǒng)一的整體去研究其動力學特性及其演化規(guī)律是必要的。

對這一復雜耦合系統(tǒng)的動力學分析首先要研究以下三個方面的子問題，如圖1所示。第一個子問題是流體-螺旋槳雙向流固耦合問題的研究；第二個子問題是螺旋槳脈動力引起軸系振動這一單向流固耦合問題的研究；第三個子問題是軸系振動導致的螺旋槳脈動力變化的研究。只有將這三個關鍵子問題摸透了，才能將所有子問題串聯(lián)在一起，進而建立一個復雜的流體-螺旋槳-軸系雙向流固耦合動力學模型。

第一個子問題主要研究螺旋槳葉片變形、槳葉動態(tài)應力及水動力預報等等。第二個子問題主要研究軸系振動響應、固有頻率及軸承力等等。目前對第一個和第二個子問題均有大量研究文獻[1-4]，而對第三個子問題的研究幾乎沒有。第三個子問題是第二個子問題的逆問題，其核心點是如何預報隨軸系做復雜空間運動的螺旋槳的脈動力。而本文的研究重點集中在第三個子問題上，目的在于探索一種復雜空間運動的船舶螺旋槳水動性能計算方法。

圖1 流體-螺旋槳-軸系的雙向流固耦合研究的三個子問題Fig.1 Three key problems for fluid structure interaction of propeller-shaft sysytem

對于具有復雜運動的船舶螺旋槳水動性能預報的文獻，國內外研究均很少。目前有少量文獻研究具有簡單運動形式的螺旋槳的水動性能。如陶堯森等[5]利用勢流理論近似計算了波浪導致螺旋槳做升沉運動時的水動性能。喻欣[6]用Fluent軟件計算了螺旋槳做升沉運動時的水動性能。黃苗苗等[7]也用Fluent軟件做了類似的工作。郭春雨等[8]利用試驗研究了具有升沉運動的螺旋槳的水動性能。Politis[9-10]利用不定常面元法預報了螺旋槳做升沉運動時的水動性能。Kinnas[11-12]等也利用不定常面元法預報了螺旋槳做升沉或者縱向或者扭轉振動時的水動性能。在所有這些研究中，螺旋槳的運動形式均比較簡單，基本都限定在單一的平動形式。而對于隨軸系振動的螺旋槳而言，由于其有6個空間自由度，使得其運動軌跡復雜，不同自由度間還具有耦合現(xiàn)象。因此上面這些文獻中的方法不具有通用性。

針對上述文獻中的不足，本文構建了螺旋槳在流場中做復雜空間運動時的水動力預報數(shù)學模型，并利用不定常面元法求解了這一問題。利用本文的方法可以方便地研究螺旋槳隨軸系振動而做復雜空間運動時的水動性能，分析軸系振動對螺旋槳水動力的影響，從而解決了上文提到的流體-螺旋槳-軸系流固耦合問題中的第三個關鍵子問題，為研究流體-螺旋槳-軸系雙向流固耦合動力學特性做基礎。同時本文的方法也可以用來預報船舶轉彎、船舶升沉及縱搖振蕩、螺旋槳啟停及加速等復雜工況下的螺旋槳水動性能。

1 數(shù)學模型

目前已有多種成熟方法預報螺旋槳水動力，如升力線理論、升力面理論、面元法（又稱邊界元方法BEM）、CFD法等。升力線理論含有大量假設，因而只適用于輕載螺旋槳。升力面理論雖然可以較為準確地預報總推力和總扭矩，但由于沒有考慮螺旋槳葉片的厚度，因而其預報的槳葉面壓力分布不夠準確。CFD方法盡管能準確計算槳葉表面壓力分布，但是由于其計算量大，耗費時間長，因而應用并不廣泛。相對升力面理論來說，面元法考慮了葉片厚度的影響，因此不僅可以準確計算總推力與總扭矩，而且可以較準確地計算槳葉表面的壓力分布；相對于CFD方法來說，面元法計算量小，耗時短，同時相比于早期來說，面元法有了很大的改進，應用范圍越來越廣，比如可以考慮空化現(xiàn)象，結合邊界層理論還可以考慮流動分離等復雜流動現(xiàn)象。因此本文采用基于擾動速度勢的面元法來預報隨軸系做復雜空間運動的螺旋槳的水動性能。

要建立隨軸系振動的螺旋槳水動力預報數(shù)學模型，需要解決三個問題：一是建立軸系復雜空間運動的數(shù)學模型；二是建立具有復雜空間運動固體的流體邊界條件；三是建立時變的尾渦數(shù)學模型。

1.1 軸系復雜空間運動的數(shù)學模型

圖2 軸系振動與三個坐標系示意圖Fig.2 The schematic of shaft vibration and three coordinate systems

坐標系oxyz與坐標系ox1y1z1的關系可以用投影角法表示[14]，如圖3所示。設螺旋槳的自旋軸ox在x1y1和x1z1平面上的投影線與ox1軸的夾角為θy和θz。θy和θz稱之為投影角。坐標oxyz與坐標系ox1y1z1的關系可表示為：

圖3 投影角示意圖Fig.3 The schematic of projected angle

式中：φ=ωt+θx，ω為螺旋槳的自轉角速度。

從而坐標系OXYZ與坐標系oxyz的關系可表示為：

1.2 流體邊界數(shù)學模型

式中：Vin表示螺旋槳的進流速度。當Vs與ωs為零［T］為單位陣時，其與傳統(tǒng)的不考慮軸系振動的螺旋槳進流速度一致。r表示螺旋槳表面某點的位置向量，在oxyz中表示。上述式子假設螺旋槳葉片剛性，不發(fā)生彈性變形，如果葉片有彈性變形，則還需要考慮其變形速度。

假設：（1）流體無粘、無旋且不可壓縮；（2）螺旋槳浸水足夠深，即不考慮自由液面影響，同時流體域延伸到無限遠；（3）不考慮空化影響；（4）軸系振動為小幅振動，葉片上沒有渦的分離等復雜流動現(xiàn)象。取一足夠大的外部控制面將其封閉在內。如圖4所示。

流域的邊界面由物面SB，尾渦面SW和外邊界面S∞組成。在該流場中可用擾動速度勢φ來表示螺旋槳的擾動。在oxyz坐標系中，Φ滿足Laplace方程：

在螺旋槳表面滿足流體法向速度為零的運動邊界條件，即

式中：nQ是邊界面上的單位法向量，在oxyz坐標系中表示。

圖4 螺旋槳及周圍流場示意圖Fig.4 Propeller and fluid around it

1.3 時變尾渦數(shù)學模型

對于螺旋槳葉片這種升力體，從葉片隨邊泄露出的尾渦會影響葉片表面的環(huán)量，因此需要考慮尾渦的影響。對尾渦的建模主要考慮尾渦的強度和尾渦的形狀。對于傳統(tǒng)的根部固定不隨軸系運動的螺旋槳，尾渦的形狀通常假定為螺旋槳面，泄露的強度通常按Morino庫塔條件或壓力庫塔條件處理[15]。而對于隨軸系做復雜空間運動的螺旋槳，由于其運動軌跡復雜，使得不同時刻隨邊的位置也不一樣，因而從隨邊泄露的第一個尾渦位置也不斷變化。因此需要對尾渦進行合理建模，以便能考慮不同時刻螺旋槳位置變化對尾渦幾何形狀的影響。

在本文中，假設尾渦的泄露是一個按時間變化的過程，如圖5所示。在初始時刻，假設螺旋槳靜止，此時沒有尾渦泄露。在Δt時刻，螺旋槳往前移動一個距離，此時泄出第一個尾渦，其強度用簡單的Morino庫塔條件，即：

式中：Δφ（rT）為葉片半徑rT的隨邊處泄露的尾渦速度勢，φ+（rT）為葉背（吸力面）隨邊處的速度勢，φ-（rT）為葉面（壓力面）隨邊處的速度勢。

圖5 尾渦泄露過程Fig.5 The process of vortex-shedding

在2Δt時刻，螺旋槳繼續(xù)往前移動一個距離，此時泄出第二個尾渦，強度仍然按（6）式確定。而Δt時刻泄露的尾渦其強度保存不變，在原地運動并發(fā)生收縮、卷曲等變形。以此時間類推，從而尾渦的泄露是一個連續(xù)的過程。

泄露的尾渦是不受力的，由庫塔-茹科夫斯基定理可知，泄露的尾渦的速度必定與當?shù)氐牧鲌鏊俣绕叫?。也就是說泄露的尾渦片必定按當?shù)氐牧骶€運動。在OXYZ坐標系中，尾渦的運動速度為Vw=Δφ。因此泄露的尾渦每個時間步運動的距離為：

2 求解過程

本文采用基于擾動速度勢的面元法求解（4）式與（5）式組成的定解問題。根據(jù)Green定理，當場點P（x,y,z）在物面上時，擾動速度勢可以表示為（結合邊界條件）

式中，Δφ（Q1）為尾渦面的上速度勢跳躍，按（6）式確定。

對于復雜形狀結構，（8）式很難求解析解，因此采用數(shù)值面元法求解。假設螺旋槳共有Z個葉片，將一個葉片及相應輪轂劃分成Np個四邊形面元（沿弦向面元數(shù)為N，沿展向面元數(shù)為M，輪轂面元數(shù)為Nh，則Np=N·M+Nh）。泄露尾渦面元的展向數(shù)目為M，弦向數(shù)目由時間總步數(shù)Nt決定。比如在it個時間步，弦向泄露共it個尾渦面元，其中只有緊靠葉片隨邊的第一列面元強度未知，其它尾渦面元強度均已知。如圖6所示。

圖6 螺旋槳及泄露尾渦面元分布Fig.6 Panel arrangement of propeller and wake

因此在第it個時間步，（8）式可離散成：

由此可知，（9）式右邊各項均為已知量，方程可以求解。進一步，（9）式寫成矩陣形式：

式中：“±”表示隨邊處上下面元。

在oxyz坐標系中，不定常Bernoulli方程可表示為：

式中：P0為參考點處流體壓力；ρ為流體密度；V＝Vin+▽φ，為總擾動速度。

求出葉片上速度勢分布后，即可由（13）式求出葉片表面的壓力分布，結合結構動力學，進而可以求解螺旋槳葉片變形、軸承力等等。整個求解流程如圖7所示。

圖7 求解流程圖Fig.7 The process of solution

3 數(shù)值算例

本節(jié)針對實際使用中的螺旋槳給出兩個算例，以驗證算法的準確性，同時預報軸系振動對螺旋槳激勵力的影響。從求解流程圖7可以看出首先必須確定進流速度Vin，而由（3）式可知，需要知道軸系振動速度Vs與ωs，才能求出進流速度Vin。由于實際中軸的振動形式比較復雜，一方面受多種激勵源影響（比如不平衡激勵，彎曲激勵，流體激勵等等）；另一方面激勵力與振動之間還存在耦合效應，比如流體激勵力引起軸系振動，而軸系振動又對流體激勵力有反饋作用。因此需要建立一個完整的流體-槳-軸系流固耦合動力學模型，才能較為準確地預報軸系振動，這已經(jīng)超出本文的研究范圍。為了研究方便，本文假設軸系的振動形式已知，為簡單的簡諧振動。本文以4381螺旋槳為研究對象，其為5葉片無側斜螺旋槳，設其直徑為5 m，其余詳細幾何參數(shù)在參考文獻[16]中給出。

圖8 脈動推力系數(shù)與扭矩系數(shù)比較Fig.8 The comparison of thrust and torque coefficients

第二個算例是研究螺旋槳在縱向與橫向（垂向）聯(lián)合振動下的脈動力變化。設軸系末端的振動速度為（單位為m/s）：

式中ω既是軸的振動頻率，也是螺旋槳的旋轉頻率。因此可以認為軸系按轉頻振動。計算中設ω為3 Hz。假設軸系縱向振動幅值為1 mm，根據(jù)簡諧振動理論，軸系縱向振動速度大約為0.018 m/s。

圖9 脈動推力系數(shù)與扭矩系數(shù)Fig.9 The pulsant thrust and torque coefficients

圖10 脈動推力與扭矩Fig.10 The pulsant thrust and torque

圖11 脈動垂向力與橫向力Fig.11 The pulsant vertical force and lateral force

螺旋槳轉動一圈的過程中計算360步，一共計算6圈。圖9為計算的推力系數(shù)與扭矩系數(shù)隨旋轉角度的變化過程。從圖中可以看出，由于螺旋槳從靜止啟動，在啟動瞬間，螺旋槳加速度無窮大，在槳葉表面瞬時產(chǎn)生一個啟動渦，導致槳葉表面的脈動壓力變化非常劇烈。在螺旋槳旋轉大約兩圈后，槳葉表面的壓力脈動呈現(xiàn)周期性變化，表明此時計算已經(jīng)趨于穩(wěn)定。計算結果表明在（14）式的速度假設下，穩(wěn)定后的脈動推力呈周期變化，變化頻率為軸頻，其推力脈動分量大約為靜態(tài)分量的4.5/1 000，扭矩脈動分量大約為靜態(tài)分量的4/1 000。對于大型船舶軸系來說，縱向振動1 mm的量級是非常普遍的，由此可見其產(chǎn)生的脈動力將對軸系振動產(chǎn)生重要影響，因而不能忽略。

圖10為計算穩(wěn)定后，葉片旋轉一圈的脈動推力與扭矩變化。圖11為脈動的垂向力與側向力變化。此處，脈動力均去掉了靜態(tài)分量，只考慮其脈動部分。從圖中可以看出，單個葉片上旋轉一圈的載荷不是按簡諧變化的，表明此時有軸頻以外的其它頻率成分存在，進一步研究后表明是軸頻的倍頻成分。此頻率的來源是（13）式中計算脈動壓力時，對速度進行平方而引入的。但是所有葉片的合力又是一個簡諧激勵力，表明不同葉片的倍頻分量相位差滿足嚴格的滯后關系，導致它們可以相互抵消。又由于所有葉片脈動力的軸頻分量的相位均一致，使得總的合力有所增強。

4 結 語

本文構建了螺旋槳在流場中隨軸系做復雜空間運動時的水動力預報數(shù)學模型，并利用不定常面元法求解了這一問題。通過與已有文獻的研究結果做比較，證明了本文算法的有效性。利用本文的方法可以方便地研究螺旋槳隨軸系振動而做復雜空間運動時的水動性能，分析軸系振動對螺旋槳水動力的影響，從而解決了上文提到的流體-螺旋槳-軸系流固耦合問題中的第三個關鍵子問題，為研究流體-螺旋槳-軸系雙向流固耦合動力學特性做基礎。同時該方法也可以用來預報船舶轉彎、船舶升沉及縱搖振蕩、螺旋槳啟停及加速等復雜工況下的螺旋槳水動性能。最后預報了軸系縱向振動幅值1 mm，振動頻率為3 Hz并伴有小量回旋振動下4381螺旋槳的脈動力，結果表明推力脈動分量大約為其靜態(tài)分量的4.5/1 000，扭矩脈動分量大約為其靜態(tài)分量的4/1 000。因此軸系振動對螺旋槳脈動力的影響不能忽略。