林珊玲，林志賢*，郭太良，錢明勇，曾素云，唐 彪

(1.福州大學 平板顯示技術(shù)國家地方聯(lián)合工程實驗室，福建 福州 350116;2.福州大學 物理與信息工程學院，福建 福州 350116;3.華南師范大學 廣東省光信息材料與技術(shù)重點實驗室，廣東 廣州 510006)

1 引言

電潤濕顯示(Electrowetting display,EWD)技術(shù)自提出以來[1-2]，因其低功耗、響應(yīng)速度快、反射率高、相對電泳電子紙顯示器可實現(xiàn)動態(tài)視頻顯示等優(yōu)點，而得到了廣泛的研究。從實驗上對電潤濕顯示器件的研究主要包括制作工藝、器件材料、像素結(jié)構(gòu)等對顯示性能的影響方面，而為了節(jié)省材料、成本等提出一系列以流體運動機制機理為基礎(chǔ)的仿真模型[3-6]，通過仿真模型改變材料的參數(shù)、像素結(jié)構(gòu)等來研究對顯示性能的影響。

Ku等[7]首先嘗試電潤濕顯示系統(tǒng)中微流體運動的建模和模擬。他們采用ANSYS FLUENT仿真軟件，提出了基于流體連續(xù)體表面力(VOF-CSF)體積的3D模型來描述在不同電極情況下像素內(nèi)部的動態(tài)流體行為。但模型中忽略了由電潤濕效應(yīng)引起的接觸角的變化，這降低了模型的適用性。Hsieh等[8]嘗試利用3D模型來精確預(yù)測電光轉(zhuǎn)換過程中的流體動力學。通過將由麥克斯韋應(yīng)力張量推導出的電流體動力學(Electrohydro dynamic,EHD)力與油水雙相的層流相場耦合，成功地模擬了電流體顯示(Electrofluidic displays,EFD)開關(guān)過程的流體運動及其相應(yīng)的電光性能。但是油膜破裂模式以及油膜破裂后油膜的運動方向、油膜破裂的時間以及油膜恢復的時間與實驗觀測不符。基于VOF(Volume fraction equation)方法，Roghair等[9]采用OpenFOAM框架，提供實現(xiàn)電潤濕顯示系統(tǒng)建模的工具。他們通過將高斯定律和電荷輸運方程結(jié)合到流體流動的Navier-Stokes方程中來求解電流體動力學方程，成功模擬了在外加電場作用下流體-流體界面的變化，從而很好地描述了像素中的流體運動。但是在仿真過程中介電質(zhì)的電場常數(shù)沒有梯度耦合，引起了電勢分布誤差，而涉及的數(shù)值求解過程較為復雜，使得該方法的應(yīng)用受到極大的限制。Tang等[10]提出了一個電毛細管波模型，通過薄膜潤滑理論建立了封閉系統(tǒng)下的電潤濕器件的油膜破裂模式理論，更全面地了解受EHD系統(tǒng)像素壁限制的水/油界面的行為。這項工作得到了關(guān)于在受限的電-毛細管流體系統(tǒng)中存在離散化模式的理論描述，描述了像素開關(guān)期間的電壓依賴性油膜破裂過程并且提供了與之相符的經(jīng)驗證據(jù)。Clime等[11]通過三維Lattice-Boltzmannn模型成功實現(xiàn)了對電潤濕數(shù)字微流控器件的傳輸、合并、分裂等基本操作的仿真，并與實驗結(jié)果相吻合。然而在非開放式電潤濕系統(tǒng)中，像素墻對油膜的運動具有約束作用，Lattice-Boltzmannn模型無法體現(xiàn)亞毫米結(jié)構(gòu)下由像素墻引起的毛細效應(yīng)。莊磊等[12]提出在COMSOL架構(gòu)下，通過耦合層流兩相流相場與靜電場的方法，模擬非開放式電潤濕器件的油膜破裂過程，并探究導電液體的動力黏度以及油水表面張力對油膜破裂的時間、開口率的影響。Zhou等[13]基于總體能量守恒(Overall energy balance,OEB)，對EHD的開關(guān)特性進行分段描述?！伴_”過程包含初始狀態(tài)、快速響應(yīng)的去潤濕過程以及油滴的慢速重組過程；“關(guān)”過程包含快速響應(yīng)的潤濕過程以及油水界面重新恢復到初始階段的過程。該模型仿真結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)相符，且很好地描述了電潤濕在開和關(guān)過程中光學響應(yīng)的遲滯現(xiàn)象[14-15]以及油膜破裂和重組的時間。

近年來主要采用耦合電場與Navier-Stokes流體方程的方法，研究電潤濕顯示器的流體運動及其電光響應(yīng)并取得了較好的效果，為理解影響EWD的動力學現(xiàn)象的物理學方面做出了重大的貢獻。本文采用OEB方程及電場作用下的楊氏-拉普拉斯(Young-Laplace)[16-18]方程聯(lián)立的方法，建立了合成表面物理和流體力學理論并包含最小經(jīng)驗理論的電潤濕顯示系統(tǒng)理論模型，模擬電潤濕顯示器電光響應(yīng)過程及電流體運動特性，并探究油水表面張力對電光響應(yīng)過程的影響。實驗結(jié)果表明，開啟電壓越大響應(yīng)時間越快，油水表面張力越大時電潤濕顯示器響應(yīng)越慢，像素電光響應(yīng)時間量級的模擬結(jié)果與相同參考幾何的實驗數(shù)據(jù)具有良好的一致性。

2 電潤濕顯示器件工作原理及仿真機理

2.1 電潤濕顯示器件工作原理

電潤濕顯示像素結(jié)構(gòu)及其驅(qū)動原理如圖1所示。電潤濕顯示像素結(jié)構(gòu)包括反射層、疏水絕緣層、彩色油墨層、水層、親水像素墻以及上基板。當像素沒有施加電壓時，油墨平鋪在疏水絕緣層上，此時像素處于關(guān)狀態(tài)，如圖1(a)所示。當像素施加電壓時，油墨收縮，光線透過疏水絕緣層經(jīng)反射層反射回來，此時像素處于開狀態(tài)，如圖1(b)所示。油墨收縮的不同程度代表著不同的光學狀態(tài)，而油墨收縮的程度由電壓大小決定，且當驅(qū)動電壓小于閾值電壓時，油墨不收縮。開口率[19-20]表征電潤濕顯示像素的開關(guān)情況，其計算公式如下:

(1)

其中，πR2為油墨收縮后與疏水絕緣層的接觸面積，L為像素的一半邊長。

圖1 電潤濕顯示原理。(a)未加電壓情況下,油墨鋪展在絕緣介質(zhì)層上;(b)加電壓情況下，油墨收縮。Fig.1 Electrowetting display principle.(a)Without applied voltage,oil spreads over the hydrophobic insulator.(b)DC-voltage applied,the oil film is contracted.

仿真系統(tǒng)通過Young-Laplace方程追蹤油水界面的變化，得到的三相接觸角、油水接觸面積、油相固相接觸半徑等參數(shù)用于總體能量守恒方程，以求解電潤濕的電光響應(yīng)過程。

2.2 總體能量守恒方程

電潤濕顯示像素開關(guān)過程中，系統(tǒng)滿足總體能量守恒方程。電潤濕顯示系統(tǒng)能量守恒方程如公式(2)所示：

(2)

其中，Ee為外加電場的場能，Ep為界面勢能，Ek為分子勢能，Eg為重力勢能，wv為黏性耗散能。

為將總體能量守恒方程進行化簡，我們通過計算電潤濕顯示像素系統(tǒng)中Bond數(shù)Bo以及雷諾數(shù)Re實現(xiàn)。Bond數(shù)Bo表征重力和表面張力的關(guān)系，雷諾數(shù)Re表征粘滯力和慣性力的關(guān)系：

Bo=Δρgh2/row,

(3)

Re=Δρgh2/μ,

(4)

其中，Δρ為油水的密度差，g為重力加速度，在電潤濕顯示像素系統(tǒng)中，Bo=1.4×10-6?1，因此重力可以忽略；Re=0.05，當Re<2 000時，為層流狀態(tài)，此時慣性力可以忽略。因而，在電潤濕顯示像素系統(tǒng)中，只需考慮電場力、黏性耗散以及界面張力。

總界面勢能包含油-水界面勢能、油-疏水絕緣層界面勢能、水-疏水絕緣層界面勢能，表達式如公式(5)所示：

Ep(t)=Eow(t)+EoAF(t)+EwAF(t)=

rowAow(t)+roAFAoAF(t)+rwAFAwAF(t),

(5)

其中，E(t)、r、A(t)分別表示界面勢能、界面張力、接觸面積；下標o、w、AF分別表示油墨、水以及疏水絕緣層。

根據(jù)Young-Lippman方程

rwAF=roAF+rowcosθe,

(6)

且疏水絕緣層與水的接觸面積以及疏水絕緣層與油的接觸面積始終為像素面積的大?。?/p>

AoAF(t)+AwAF(t)=Apixel,

(7)

于是公式(5)可以化簡為

Ep(t)=row(Aow(t)-AoAF(t)cosθe)+rwAFApixel,

(8)

其中

(9)

AoAF(t)=πR2(t).

(10)

根據(jù)潤濕理論近似(Lubrication theory approximation)即認為電潤濕系統(tǒng)中三相接觸線是存在滑移的邊界條件，則三相接觸線上單位長度的黏性耗散力可由公式(11)[21]表示：

(11)

(12)

施加于電潤濕顯示系統(tǒng)的電場力為

(13)

其中，ε0為真空介電常數(shù)，V為施加的電壓。

則電場能為

(14)

對于電潤濕顯示像素系統(tǒng),從t=0時刻到任意時刻t，滿足總體能量守恒方程

Ep(t)-Ep(0)+wv(t)-wv(0)=

Ee(t)-Ee(0),

(15)

2.3 Young-Laplace方程

Young-Laplace方程是表示液面曲率與液體壓力之間關(guān)系的公式：

(16)

其中，ΔP、P0、Pw分別是油-水界面的壓差、油相一側(cè)的壓力、水相一側(cè)的壓力，R1和R2是界面的曲率半徑。

在電場作用力下的電潤濕顯示驅(qū)動系統(tǒng)，油水界面的Young-Laplace方程可由下式表示：

(17)

其中，En表示電場的法向分量，y(x)表示界面形狀的函數(shù)。由于油膜始終保持為球冠形，油相和水相兩側(cè)的參考壓差ΔP0可以由拉普拉斯方程在油膜頂點處的值表示，即

(18)

其中，R0(t)為油-水界面頂點處的局部曲率半徑。

對于y=y(x)曲線，曲徑半徑R1和R2可表示為：

(19)

(20)

則

(21)

公式(21)為二階微分方程，其邊界條件為公式(22)、(23)：

y(x=0)=H(t)，

(22)

(23)

3 仿真過程及實驗測試平臺

仿真過程中，系統(tǒng)中水的密度ρw=998 kg·m-3,油墨密度ρ0=735 kg·m-3，油墨黏度μ=0.001 2 Pa·s，油水界面張力row=0.022 N·m-1，相對介電常數(shù)εd=1.934，像素大小Apixel為150 μm×150 μm，注入的油墨體積V0=5×10-14m3，像素墻高度h=5.5 μm，疏水絕緣層厚度dAF=0.85 μm。如圖2所示，假定油墨在收縮和鋪展過程中始終保持球冠形，圖中θd(t)接觸角，H(t)為油滴中心的高度，R(t)為油墨與疏水絕緣層接觸面的半徑。

圖2 仿真模型示意圖Fig.2 Schematic diagram of modeling

3.1 油-水界面形狀的求解

油-水界面形狀即Young-Laplace求解可分為以下幾個步驟：

(2)通過變量替換法將二階微分方程化成兩個一階微分方程。

二階微分邊界條件對應(yīng)為兩個一階微分方程的初始條件為y1(x=0)=H(t)，y2(x=0)=0。

(4)利用四階龍格庫塔方法求得y=y(x)及其一階導數(shù)的數(shù)值解。

(5)油墨體積在系統(tǒng)中視為恒定值，將其作為約束條件。將H(t)和求得的y(x)代入約束條件中，重復(2)～(4)步驟使求得的體積在油墨體積期望精度范圍內(nèi)：

(24)

(6)根據(jù)求得的y(x)，可得到相應(yīng)的R(t)和θd(t)：

y[x=R(t))]=0,

(25)

(7)判斷求得的y(x)、R(t)和θd(t)與開始假定的油-水界面的形狀是否一致，若不一致，重復(1)～(6)步驟，直到y(tǒng)(x)、R(t)和θd(t)與開始假定的油-水界面的形狀一致。

3.2 電潤濕顯示像素電光響應(yīng)關(guān)系求解

電潤濕顯示像素在電場作用下，電光響應(yīng)關(guān)系亦即開口率隨時間變化過程模型求解步驟如下：

(1)在t=0時刻，各參數(shù)初始值R(0)=L/2，通過體積約束條件及油水界面Young-Laplace方程可得到R0(0)。

(3)將上述計算出的值代入OEB方程，得到Δt。

(4)改變ΔR0的值，重復步驟(2)、(3)，以進一步提高模型的準確性和有效性。

(5)改變電壓值，重復步驟(2)、(3)、(4)，得到不同電壓作用下，電潤濕顯示像素開口率WA與時間t的關(guān)系曲線。

3.3 實驗測試平臺

為測量電潤濕顯示像素的實際開口率與電壓的關(guān)系，搭建如圖3所示的測試平臺。信號發(fā)生器用于產(chǎn)生驅(qū)動電壓，高速攝像機用于拍攝電潤濕器件油墨收縮鋪展的情況，色度儀記錄電潤濕顯示器件的反射率，計算機用于處理高速攝像機拍攝下來的圖像并將色度儀記錄的反射率換算成電潤濕顯示器件的開口率。

圖3 電潤濕顯示器件開口率和響應(yīng)時間的測試平臺Fig.3 Test platform of white area and response time of electrowetting display

4 結(jié)果與討論

EWD像素的光學響應(yīng)從油膜的破裂開始，而不是施加電壓的時間。油膜破裂的開始時間導致光學響應(yīng)的延遲，而延遲時間依賴于施加電壓的大小，施加電壓越大，延遲時間越小。在圖4(a)中，將延遲時間的估計值與實驗值進行比較。仿真結(jié)果中40 V電壓情況下，油墨的延遲時間為0.37 ms，與Zhou[13]所建模型的延遲時間0.33 ms以及Hiseh等[8]的延遲時間0.4 ms一致。仿真結(jié)果與實驗結(jié)果雖量級一致，但與實驗結(jié)果相比延遲時間較小。這種差距的主要原因在于以下幾點：仿真過程中的模型假定油墨與水的界面形狀始終保持為球冠形，而實際電潤濕中油墨的運動不會一直保持規(guī)則的形狀，且油墨會出現(xiàn)分裂等現(xiàn)象，當油墨的形狀發(fā)生改變時，將會影響電場的重新分布，因而影響其響應(yīng)延遲時間；實際油墨的運動除了收縮之外，還有油墨重心的偏移，即油墨會運動到像素的某個角落或某幾個角落，此時動摩擦力會增大從而影響電潤濕像素的響應(yīng)時間。

實驗結(jié)果中，在25，30，35，40 V電壓下，電潤濕的響應(yīng)時間分別為32，24，16，9 ms，且在最后的開口率無法達到滿足Young-Lipmann條件下的理想開口率。因油墨在電壓驅(qū)動下會出現(xiàn)如油墨分裂、電荷俘獲等現(xiàn)象，直接導致電潤濕顯示器的開口率下降的問題[22]。油墨分裂、電荷俘獲現(xiàn)象機理仍是電潤濕顯示器待研究的問題，仿真模型中未進一步考慮，因而得到的結(jié)果較為理想。

圖4 (a)油膜破裂延遲時間；(b)像素開口率隨時間變化趨勢。Fig.4 (a)Film rupture time.(b)Pixel aperture ratio changes with time.

經(jīng)Young-Lipmann計算的在不同界面張力下三相接觸角的大小如表1所示，界面張力越大時，三相接觸角越小，從而導致電潤濕的開口率減小。在模型中，計算了30 V電壓下界面張力從0.022 N/m增加到0.040 N/m的電潤濕響應(yīng)時間，如圖5所示。隨著界面張力的增大，響應(yīng)時間增大，即油墨的運動速度變慢，電潤濕的光電響應(yīng)變慢。

表1 30 V電壓下不同油-水界面張力對應(yīng)的接觸角Tab.1 Different oil/water interfacial tension and the equilibrium contact angle resulting from V=30 V

圖5 30 V電壓下不同油-水界面張力對應(yīng)的響應(yīng)時間Fig.5 Different oil/water interfacial tension and the optical response time resulting from V=30 V

5 結(jié)論

通過Young-Laplace計算電潤濕顯示像素在電場作用下油水界面的變化，結(jié)合OEB方程計算電潤濕顯示像素的延遲時間及其開口率與時間的變化趨勢。模型在25,30,35,40 V電壓下延遲時間分別為3.4,1.9,1,0.37 ms，與實驗測量的數(shù)據(jù)4.8,2.5,2,1 ms在同一量級，且隨著電壓增大響應(yīng)時間減小的趨勢一致。并且在模型的基礎(chǔ)上研究了界面張力對電潤濕顯示像素的影響，界面張力的增加導致電潤濕的響應(yīng)時間增大，像素開口率減小，油墨運動速度變慢。因此實際器件設(shè)計中，應(yīng)選擇較小數(shù)值的界面張力。

致謝：感謝華南師范大學提供的電潤濕電子紙顯示屏以及測試環(huán)境。