尹增謙，袁春琪，王永杰

(華北電力大學(xué) 數(shù)理系，河北 保定 071003)

1 引言

由于光譜線型中包含有發(fā)光粒子的內(nèi)部結(jié)構(gòu)、粒子間相互作用、周圍環(huán)境等信息，光譜線型的研究在化學(xué)反應(yīng)動力學(xué)、氣象學(xué)、宇宙學(xué)等研究領(lǐng)域有很重要的理論意義和應(yīng)用價值[1-9]。在低氣壓情況下，譜線的展寬是多普勒展寬占主導(dǎo)地位，而在壓強(qiáng)很高的情況下，發(fā)光粒子與其他粒子頻繁碰撞產(chǎn)生的碰撞展寬占優(yōu)勢。在實(shí)際發(fā)光系統(tǒng)中，兩種展寬機(jī)制都是存在的，光譜線型為綜合展寬線型。此時對應(yīng)的線型函數(shù)是洛侖茲線型和高斯線型函數(shù)的卷積形式，稱為Voigt線型函數(shù)。

自Voigt線型譜線提出以來，對它的研究一直備受重視[2-4]，本工作在分析洛侖茲線型函數(shù)和高斯線型函數(shù)的基礎(chǔ)上，系統(tǒng)研究了Voigt線型函數(shù)，得到了三者譜線半寬度的經(jīng)驗(yàn)公式。利用這個經(jīng)驗(yàn)公式，建立了由實(shí)驗(yàn)線型函數(shù)獲得洛侖茲、高斯線型函數(shù)的計(jì)算方案。

2 三種展寬線型函數(shù)

2.1 洛侖茲線型函數(shù)

由于自發(fā)輻射和碰撞而導(dǎo)致的均勻展寬線型函數(shù)，稱為洛侖茲線型函數(shù)，其形式為[2]：

(1)

其中，ν0、αL分別為中心頻率和半寬度，顯然洛侖茲線型函數(shù)的最大值為：

(2)

2.2 高斯線型函數(shù)

當(dāng)發(fā)光粒子有運(yùn)動速度分布時，由多普勒效應(yīng)引起的頻移，會導(dǎo)致光譜線型為如下的高斯線型函數(shù)[2]：

(3)

對應(yīng)的半寬度αG為：

(4)

公式(3)、(4)中ν0為中心頻率，m、T分別為發(fā)光粒子的質(zhì)量和氣體溫度，k、c分別為玻耳茲曼常數(shù)和真空中的光速。顯然高斯線型函數(shù)的最大值為：

(5)

2.3 Voigt線型函數(shù)

對于氣體工作物質(zhì)，上述由碰撞導(dǎo)致的均勻展寬和多普勒效應(yīng)導(dǎo)致的非均勻展寬是主要的展寬類型，氣體工作物質(zhì)是由這兩種展寬機(jī)制綜合作用的，得到綜合展寬線型函數(shù)為如下卷積形式的Voigt線型函數(shù)：

(6)

根據(jù)傅里葉變換的乘積定理，可以得到Voigt線型函數(shù)的最大值為[2]：

(7)

3 Voigt函數(shù)線寬的經(jīng)驗(yàn)公式

如上所述，實(shí)驗(yàn)獲得的光譜線型函數(shù)，即Voigt線型函數(shù)是由公式(6)決定的，但如何由gV(ν,ν0)得到與其對應(yīng)的αL、αG這兩個包含有發(fā)光粒子內(nèi)部結(jié)構(gòu)和周圍環(huán)境信息的物理量，是具有重要意義的工作。

由實(shí)驗(yàn)獲得的gV(ν,ν0)，可以得到gV,max和其半寬度αV，如果能得到Voigt線型函數(shù)半寬度αV與對應(yīng)的αL、αG的關(guān)系式αV=f(αL,αG)，則將該關(guān)系式與公式(7)聯(lián)立，就構(gòu)造了關(guān)于αL、αG的二元方程組，解該方程組即得到αL、αG。

圖1 3種線型函數(shù)圖。(a)洛侖茲線型函數(shù)；(b)高斯線型函數(shù)；(c)Voigt線型函數(shù)。Fig.1 Three line shape function diagrams.(a)Lorentz line shape function.(b)Gaussian line shape function.(c)Voigt line shape function.

由于公式(5)沒有更便于計(jì)算的解析形式，所以，可以給定一組αL、αG值，用數(shù)值積分的方法求出公式(6)中的gV(ν,ν0)，從而得到其半寬度αV，如圖1所示。由大量的(αLi,αGi)→αVi數(shù)值，就可建立經(jīng)驗(yàn)公式αV=f(αL,αG)。

我們進(jìn)行了大量的數(shù)值計(jì)算即得到大量的(αLi、αGi、αVi)值，并假設(shè)經(jīng)驗(yàn)公式為：

(8)

其中b為待定系數(shù)。

為了得到上述經(jīng)驗(yàn)公式中的b，記

顯然，當(dāng)S(b)取得最小值時的b即為最佳的系數(shù)。令

(10)

由數(shù)值求解公式(10)，得到b=1.063 8。所以3種線型半寬度之間的經(jīng)驗(yàn)公式為：

為驗(yàn)證上述經(jīng)驗(yàn)公式的可靠性，我們把由公式(6)計(jì)算的(αLi、αGi、αVi)與用經(jīng)驗(yàn)公式(11)計(jì)算的αV進(jìn)行了比較，如圖2所示，圖2中線表示經(jīng)驗(yàn)公式，點(diǎn)表示公式(6)計(jì)算的值，可以看出二者吻合很好。

圖2 經(jīng)驗(yàn)公式與精確值的比較(線表示經(jīng)驗(yàn)公式，點(diǎn)表示精確值)Fig.2 Comparison of empirical formulas with exact values (lines represent empirical formulas,points represent exact values)

4 經(jīng)驗(yàn)公式的應(yīng)用

光譜線型中包含有發(fā)光粒子物理性質(zhì)的信息如電子密度、氣體溫度等，但是由實(shí)驗(yàn)上獲得的Voigt線型函數(shù)，不能直接得到αL、αG，從而不能直接得到發(fā)光等離子體電子密度氣體溫度等信息。

根據(jù)本工作得到的經(jīng)驗(yàn)公式(11)和最大值公式(7)，得到如下方程組：

(12)

解該方程組，可以由Voigt線型的最大值Vmax及半高全寬ΔV得到αL、αG。

需要指出的是，在解方程組(12)時，誤差函數(shù)erf(x)可以從參考文獻(xiàn)[10-11]查到x=[0,5]范圍內(nèi)的值，但是，對于x>5.0的erf(x)的值，雖然經(jīng)過大量調(diào)研，但并沒有查到。我們采用由下式替換公式(7)的方法解決[2]：

(13)

圖3 由Voigt線型函數(shù)得到的洛侖茲和高斯線型函數(shù)。(a)Voigt線型函數(shù)；(b)洛侖茲線型函數(shù)；(c)高斯線型函數(shù)。Fig.3 Lorentz and Gaussian line shape functions obtained from Voigt line shape function.(a)Voigt line shape function.(b)Lorentz line shape function.(c)Gaussian line shape function.

為了說明由實(shí)驗(yàn)獲得的光譜線求其對應(yīng)的αL、αG的計(jì)算過程，我們給出一條實(shí)驗(yàn)譜線并對其進(jìn)行了計(jì)算。實(shí)驗(yàn)采用文獻(xiàn)[12]中的實(shí)驗(yàn)裝置，實(shí)驗(yàn)參數(shù)為：取雙銅片電極，電極間距為10 mm，接地極距離管口10 mm，兩銅片寬度均為13 mm，氬氣的流量為1 L/min，電壓9.8 kV，采集的光譜為P點(diǎn)處。采集的是氬等離子體射流的發(fā)射光譜。圖4(a)為氬等離子體射流圖片及光譜采集位置，圖4(b)為采集的光譜。

圖4 (a)氬等離子體射流圖片及光譜采集位置圖;(b)Ar I 696.5 nm的發(fā)射光譜。Fig.4 (a)Argon plasma jet image and spectral acquisition position.(b)Emission spectrum of Ar I 696.5 nm.

(14)

由上述兩種光譜線型函數(shù)的轉(zhuǎn)化關(guān)系即公式(14)以及歸一化條件，我們可以把圖4(b)的696.5 nm的氬發(fā)射光譜轉(zhuǎn)化成歸一化的圖5。

圖5 Ar I 696.5 nm的發(fā)射光譜Fig.5 Emission spectrum of Ar I 696.5 nm

由圖5譜線可以得到Voigt線型函數(shù)的Vmax=1.33×10-11Ηz-1、αV=3.48×1010Ηz。解方程組(12)求得αL=1.400×109Ηz，αG=3.402×1010Ηz，該Voigt線型函數(shù)對應(yīng)的洛侖茲和高斯線型函數(shù)如圖6所示。

圖6 由Voigt線型函數(shù)得到的洛侖茲和高斯線型函數(shù)。(a)洛侖茲線型函數(shù)；(b)高斯線型函數(shù)。Fig.6 Lorentz and Gaussian line shape functions obtained from Voigt line shape function.(a)Lorentz line shape function.(b)Gaussian line shape function.

5 結(jié)論

根據(jù)3種線型函數(shù)關(guān)系，采用數(shù)值計(jì)算的方法得到了3種線型函數(shù)半寬度之間的經(jīng)驗(yàn)公式，以線型寬度經(jīng)驗(yàn)公式為基礎(chǔ)，建立了由實(shí)驗(yàn)獲得的光譜線型寬度得到洛侖茲和高斯寬度的計(jì)算方案。以一組線型函數(shù)為例驗(yàn)證了本計(jì)算方案的可靠性。