一、釋義：PBL主題拓展教學(xué)的內(nèi)涵詮釋

PBL是Problem－Based Learning的縮寫，是指基于問題的學(xué)習(xí)。PBL主題拓展教學(xué)是指根據(jù)學(xué)生的年齡特征和認知經(jīng)驗，圍繞有價值的教學(xué)主題，由教師精心設(shè)計問題或師生合作提出問題，并通過超級鏈接不斷拓展相關(guān)聯(lián)的未知領(lǐng)域，開闊學(xué)生的視野，使他們形成新見解。這一過程能充分調(diào)動學(xué)生的認知能力和思維能力，有助于學(xué)生把分散的、零碎的知識點統(tǒng)整起來，從而使他們的思維結(jié)構(gòu)更加完善。PBL主題拓展教學(xué)有五大特性：

第一，主題的種子性。主題是種子，它的確立基本上決定了PBL主題拓展的深度和廣度，因而應(yīng)依據(jù)學(xué)生的認知水平和生活經(jīng)驗來確定，應(yīng)凸顯其豐富的內(nèi)涵和核心價值。

第二，問題的驅(qū)動性。美國教育家尼爾·博斯特曼說：“一旦你學(xué)會了提問，掌握了提出有意義的、恰當?shù)暮蛯嵸|(zhì)性的問題的方法，你就掌握了學(xué)習(xí)的技巧?！盤BL主題拓展教學(xué)以一個或多個問題的解決為驅(qū)動力，促進學(xué)生主動參與學(xué)習(xí)，使問題真正成為他們研究和探索的出發(fā)點和歸宿。

第三，活動的互動性。PBL主題拓展教學(xué)關(guān)注學(xué)生的全身心投入，主張為學(xué)生提供廣闊的合作探究空間和必要的“腳手架”，并在問題解決的關(guān)鍵處給予點撥和引領(lǐng)，幫助學(xué)生在研究中提升能力、積累經(jīng)驗，最終尋得解決問題的方法。

第四，內(nèi)容的系統(tǒng)性。荷蘭教育家弗賴登塔爾說：“數(shù)學(xué)是系統(tǒng)化了的常識。”PBL主題拓展教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生以主題為載體進行超級鏈接，將相關(guān)聯(lián)的內(nèi)容串成鏈、織成網(wǎng)、結(jié)成塊、聚成球，由點到線、由線到面、由面到體地編織自己的數(shù)學(xué)系統(tǒng)和經(jīng)驗系統(tǒng)，不斷形成自己系統(tǒng)化的數(shù)學(xué)思考和觀點。

第五，思維的延展性。德國數(shù)學(xué)家康托爾說：“數(shù)學(xué)的本質(zhì)是自由的?！睂W(xué)生的思維在自由的狀態(tài)下才能自由地生長。以PBL主題拓展教學(xué)為中心進行思維的延展，可以是線性延展形成思維通道，可以是圓形延展形成結(jié)構(gòu)化思考，也可以是球形發(fā)散形成立體化生長。

二、探源：PBL主題拓展教學(xué)的價值建構(gòu)

教學(xué)觀念的全面開放。PBL主題拓展教學(xué)以問題驅(qū)動，以主題將課內(nèi)外、各學(xué)科零散的、單一的素材統(tǒng)整起來，逐步構(gòu)成“集成塊”；將與主題相關(guān)聯(lián)的知識進行超級鏈接、精細加工，并對其進行深度挖掘與深入理解，促進學(xué)生舉一反三、觸類旁通。

學(xué)習(xí)方式的全景融合。PBL主題拓展教學(xué)不但對教學(xué)內(nèi)容進行系統(tǒng)化的融合與補充，還改變了課堂教學(xué)的面貌，呈現(xiàn)出開放與自由的特點。在PBL主題拓展教學(xué)中，課內(nèi)外都成了學(xué)生研究與學(xué)習(xí)的場所，促使他們用數(shù)學(xué)的眼光去發(fā)現(xiàn)和研究課堂之外的數(shù)學(xué)問題，用課內(nèi)學(xué)到的數(shù)學(xué)知識去解釋生活中的現(xiàn)象。

思維認知的全息編碼。PBL主題拓展教學(xué)的核心是發(fā)展學(xué)生的思維。它從主題出發(fā)，以問題節(jié)點為脈絡(luò)主動發(fā)散，形成縱橫交錯、有機互補的新主題，隨著一個個不同主題的拓展，每個主題之間又生長出新的問題節(jié)點，從而不斷補充學(xué)生原有的結(jié)構(gòu)體系，逐步完善學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)和思維結(jié)構(gòu)。

三、尋繹：PBL主題拓展教學(xué)的智性實踐

（一）構(gòu)建PBL主題拓展教學(xué)的問題情境場域，激活學(xué)生數(shù)學(xué)思維的外部環(huán)境

1.找準核心問題，激發(fā)學(xué)生思維的內(nèi)部需求。

核心問題是一節(jié)課中最重要的問題，它可以是一個或幾個，可以是教師精心設(shè)計或師生合作共同提出的。在教學(xué)時，可以通過核心問題推進教學(xué)過程不斷聚焦生成，激活學(xué)生個體不同的內(nèi)在思維，再通過多維互動使拓展生成的資源圍繞主題逐漸條理化，從而使學(xué)生的思維結(jié)構(gòu)更具豐富性、具體性、開放性。如教學(xué)蘇教版六上“長方體和正方體”后，可以設(shè)計PBL主題拓展課《一張白紙中的數(shù)學(xué)》：

教師引導(dǎo)學(xué)生提問：就這張白紙而言，從數(shù)學(xué)的角度，你可以提出哪些問題？

學(xué)生提出問題如下：這張白紙的周長是多少？重量是多少？長和寬的比是多少？厚度是多少？它能寫多少個字？把它做成長方體或正方體，容積是多少？……

師生合作梳理問題。這張白紙本身的問題有：長、寬、周長、面積、體積、厚度、重量、表面積……在生活中的問題有：它的成本是多少？它能寫多少個字？……在數(shù)學(xué)上的問題有：在它上面畫最大圓，面積是多少？把它折成長正方體，容積是多少？……

教師以“提出關(guān)于一張白紙的數(shù)學(xué)問題”為該課的核心任務(wù)，立刻激活了學(xué)生對一張白紙的生活和學(xué)習(xí)經(jīng)驗，使他們提出了很多問題。教師及時引導(dǎo)學(xué)生對這些問題進行梳理與分類，從而整理出白紙本身及其在生活中和數(shù)學(xué)上存在的三類問題，促使學(xué)生生成的問題資源條理化。這樣，既尊重學(xué)生的內(nèi)在需求，又生成了課堂學(xué)習(xí)的焦點，徹底激活了學(xué)生系統(tǒng)化探究知識的內(nèi)在需求。

2.聚焦主題脈絡(luò)，搭建學(xué)生思維的立體平臺。

PBL主題拓展教學(xué)以主題為核心建構(gòu)教學(xué)的主干脈絡(luò)，一節(jié)課可以圍繞一個主題，由幾個不同形式的活動模塊組成，使學(xué)生在豐富多彩的活動中自主、合作學(xué)習(xí)，體驗、感悟和探究主題內(nèi)容，展示、交流和分享學(xué)習(xí)成果，從而完善思維結(jié)構(gòu)。如教學(xué)蘇教版六下“圓錐的體積”后，可以結(jié)合課后習(xí)題設(shè)計PBL主題拓展課《探索三角板的奧秘》：

提問：可以研究三角板的哪些方面？

模塊一：研究三角板的角。利用三角板的角能畫出多少度的角？你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

模塊二：研究三角板的邊。三角板的斜邊與直角邊或斜邊上的高有關(guān)系嗎？有怎樣的關(guān)系？怎樣證明？

模塊三：研究兩塊三角板的聯(lián)系。兩塊三角板之間有怎樣的聯(lián)系就能確定它們是一對三角板？

模塊四：將兩塊一樣的三角板的兩條相同邊重合拼在一起，能拼出幾種不同的四邊形？

模塊五：將一塊三角板沿其中一條邊進行旋轉(zhuǎn)，能形成什么圖形？怎樣旋轉(zhuǎn)形成的圖形體積最大？

教師聚焦學(xué)生熟悉的三角板，深度挖掘它的角、邊、面、配對奧秘等有趣的數(shù)學(xué)元素，激活學(xué)生頭腦中的關(guān)聯(lián)思維，為學(xué)生參與課堂教學(xué)活動搭建立體平臺，并充分利用各種平臺完善學(xué)生的思維結(jié)構(gòu)。

（二）構(gòu)建PBL主題拓展教學(xué)的探究發(fā)生場域，催生學(xué)生數(shù)學(xué)思維的動力機制

1.探究路徑多元化，拓寬學(xué)生思維的視域。

在PBL主題拓展教學(xué)中，面對學(xué)生認知和能力“最近發(fā)展區(qū)”的問題，教師注重引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度、用不同的思維方式對問題進行探究；強調(diào)通過小組討論和全班交流，使學(xué)生共享問題探究方法的多元路徑，不斷拓寬學(xué)生思維的視域。如教學(xué)蘇教版四下“三角形、平行四邊形和梯形”后，可以設(shè)計PBL主題拓展課《圖形中的規(guī)律》：

問題：像這樣圍100個正方形，需要多少根小棒？

化大為小：從圍2個正方形開始研究，圍2個正方形需要的小棒根數(shù)用算式怎樣表示？并說說算式的含義。

回顧：要知道圍2個正方形需要的小棒根數(shù)，可以正著想——起點4根多3，起點1根多3多3，也可以反著想——從總根數(shù)中去掉重疊的1根。（如圖1）

（圖1）

多維度探究：選擇一種研究方向，合作探究圍100個正方形需要的小棒根數(shù)。

教師引導(dǎo)學(xué)生化大為小，先從圍2個正方形開始探究，學(xué)生借助直觀材料動手操作，并在分享中獲取多元路徑的探索方法，接著自主選擇一種方法進行有序探究，找出規(guī)律后順利解決問題。學(xué)生在基于實踐的多元路徑的數(shù)學(xué)活動中進行深度探究，在一定程度上拓寬了思維的視域。

2.探究過程高效化，提升學(xué)生思維的經(jīng)驗。

在PBL主題拓展教學(xué)中，學(xué)生是探究的主體，教師將主動權(quán)還給學(xué)生，但學(xué)生由于其自身能力和經(jīng)驗的不足，有時花費很多時間仍探究不出頭緒，抑或探究仍處于淺層水平。因而教師要在學(xué)生遇到困難時及時給予點撥，在關(guān)鍵處及時進行引領(lǐng)，幫助學(xué)生進行自主化且高效化的數(shù)學(xué)探究，不斷提升學(xué)生思維的經(jīng)驗。如教學(xué)蘇教版六下“圓柱的體積”后，可以設(shè)計PBL主題拓展課《巧算圓柱體積》：

問題：用兩張同樣大的長方形紙卷成圓柱體，怎樣卷體積比較大？

學(xué)生探究：賦值法，假設(shè)長 18.84（6π），寬6.28（2π），計算得出沿長邊卷和沿短邊卷形成的圓柱的體積分別為18π2和6π2，所以沿長邊卷體積大。

教師點撥：回顧圓柱體積推導(dǎo)過程，除了可以用底面積乘高的方法計算體積，能否找出別的方法？

推導(dǎo)：如圖2所示，倒下后的近似長方體的底面積是圓柱側(cè)面積的一半，高是圓柱的半徑，所以，圓柱的體積＝側(cè)面積的一半×半徑。

（圖2）

運用結(jié)論：用同樣大的兩張紙卷成圓柱，側(cè)面積相等，側(cè)面積的一半就相等，而沿長邊卷的圓柱半徑長，所以沿長邊卷體積大。

學(xué)生基于經(jīng)驗用常規(guī)方法“底面積×高”分別計算出了兩個圓柱的體積，結(jié)果正確但計算過程比較煩瑣。在教師的引導(dǎo)和點撥下，他們接著探究出圓柱體積計算的另一種方法——“圓柱側(cè)面積的一半乘半徑”，很容易就解決了較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題。

（三）構(gòu)建PBL主題拓展多元建構(gòu)場域，實現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的融通跨越

1.縱向拉伸，實現(xiàn)思維由淺入深的建構(gòu)。

縱向拉伸就是將單元內(nèi)、單元間甚至跨年級的同類知識內(nèi)容，按其內(nèi)在的邏輯關(guān)系由簡單到復(fù)雜地串成一個知識結(jié)構(gòu)鏈，使學(xué)生對知識間的縱向關(guān)聯(lián)有清晰的認知與把握，并在頭腦中構(gòu)建起更加精致的知識框架。如教學(xué)蘇教版五上“公頃和平方千米”后，可以結(jié)合課后習(xí)題進行如下PBL主題拓展教學(xué)：

習(xí)題：按從小到大的順序說說已經(jīng)學(xué)過的面積單位，并說說兩個相鄰單位之間的進率。

學(xué)生自主整理形成表格，并生成核心問題：為什么公頃和平方米之間的進率是10000，而兩個相鄰面積單位之間的進率是100？

超鏈接：邊長為10米的正方形的面積是1公畝。

學(xué)生自主建構(gòu)面積單位線性圖（如圖3）：

（圖3）

教師站在整體、系統(tǒng)的高度把握、審視和智慧地處理教材，引導(dǎo)學(xué)生自主生成核心問題，并不斷拓展與面積單位相關(guān)聯(lián)的領(lǐng)域，幫助學(xué)生根據(jù)知識點的銜接關(guān)系在頭腦中形成了一套完整的知識體系，發(fā)展并完善了學(xué)生的認知系統(tǒng)和數(shù)學(xué)思維。

2.橫向貫通，實現(xiàn)思維由此及彼的勾連。

橫向貫通就是把與某一知識點具有內(nèi)在同類特征的相關(guān)內(nèi)容整合成一個知識整體，重在突出知識結(jié)構(gòu)間的橫向關(guān)聯(lián)性，豐富學(xué)生對類結(jié)構(gòu)特征知識內(nèi)涵的認識和把握，提升學(xué)生分類、比較、概括、抽象的能力，從而實現(xiàn)其數(shù)學(xué)思維由此及彼的勾連。如教學(xué)蘇教版五上“平行四邊形的面積”時，可以設(shè)計如下PBL主題拓展教學(xué)：

回顧：同學(xué)們學(xué)習(xí)過哪些圖形的面積計算方法？它們的計算方法有什么共同之處？

聚焦：長（正）方形的面積＝每行單位面積個數(shù)×行數(shù)。

提問：能用這個公式求平行四邊形的面積嗎？學(xué)生操作形成如下圖4所示的新圖式：

（圖4）

聯(lián)系：每行單位面積個數(shù)是平行四邊形的底，行數(shù)是平行四邊形的高，所以，平行四邊形的面積＝每行單位面積個數(shù)×行數(shù)＝底×高。

拓展：用這種研究方法研究其他圖形的面積。

常規(guī)教學(xué)重視面積計算公式的獲得與應(yīng)用，卻常常忽略度量本質(zhì)的體現(xiàn)。因此，教師設(shè)計上述PBL主題拓展教學(xué)，先讓學(xué)生初步感受二維圖形的面積是由每行單位面積的個數(shù)和行數(shù)這兩個維度的量相乘得出的，再讓學(xué)生用方格紙上的單位面積度量平行四邊形，不但繼續(xù)滲透度量的本質(zhì)，更以平行四邊形為紐帶，橫向貫通平面圖形面積的計算方法——“每行單位面積個數(shù)×行數(shù)”，建構(gòu)其背后共通的思維方式。

3.縱橫融通，實現(xiàn)思維由內(nèi)而外的生長。

縱橫融通既要關(guān)注知識間的縱向拉伸，又要關(guān)注知識間的橫向貫通，還要打破橫向和縱向知識的界限，超越原有單元和年段的界限，把視野拓展到整個年級甚至各學(xué)段的教學(xué)中，形成主次分明、有機滲透、縱橫交織的知識網(wǎng)絡(luò)，實現(xiàn)數(shù)學(xué)思維由內(nèi)而外的生長。如教學(xué)蘇教版五上“多邊形的面積”單元后，可以結(jié)合復(fù)習(xí)內(nèi)容開展如下PBL主題拓展教學(xué)：

提問：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了六種平面圖形，它們都有各自的面積公式，你能用其中一種圖形的面積公式代表其他五種圖形的面積公式嗎？

鏈接（如圖5）：長方形和平行四邊形可以看作上底和下底是a的梯形；正方形可以看作上底、下底和高是a的梯形；三角形可以看成上底是0的梯形，因而梯形的面積公式可以代表其他五種圖形的面積公式。

（圖5）

教師打破傳統(tǒng)的結(jié)網(wǎng)模式，在轉(zhuǎn)化六種平面圖形的面積公式上下功夫，學(xué)生只要掌握梯形的面積公式，便能順藤摸瓜得出其他五種平面圖形的面積公式，這樣的知識網(wǎng)絡(luò)更有利于學(xué)生迅速提取和應(yīng)用，使學(xué)生體驗到歸納推理和演繹推理的獨特價值，真正實現(xiàn)知識之間的自然貫通與數(shù)學(xué)思維的多維生長。

總之，PBL主題拓展教學(xué)有助于改進學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，充分發(fā)展學(xué)生的智慧品質(zhì)，又能讓學(xué)生在活動過程中不斷完善思維結(jié)構(gòu)。

注：本文獲2018年江蘇省“教海探航”征文競賽一等獎，有刪改。