楊德云 蔣天林

(江蘇省六合高級中學(xué) 江蘇 南京 211500)

雙曲線是位于平面中的一種平滑曲線,可以定義為與兩個固定的點的距離差是常數(shù)的點的軌跡.在高中的解析幾何中,學(xué)到的是雙曲線的中心在原點,圖像關(guān)于x,y軸對稱的情形.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

焦點在x軸上時為

焦點在y軸上時為

【原題】如圖1所示,一塊橡皮用細(xì)線懸掛于O點,用鉛筆靠著線的左側(cè)水平向右勻速移動,運動中始終保持懸線豎直,則橡皮運動的速度( )

圖1 原題題圖

A.大小和方向均不變

B.大小不變,方向改變

C.大小改變,方向不變

D.大小和方向均改變

解析:如圖2所示,設(shè)細(xì)線長為l,以O(shè)′為坐標(biāo)原點，橡皮運動到B點坐標(biāo)為(x,y),由于“運動中始終保持懸線豎直”,所以有

y=l-(l-x)

y=x

結(jié)合題目條件由運動軌跡方程可知,橡皮水平方向和豎直方向都做勻速直線運動.若鉛筆移動速度為v0,則橡皮實際運動是沿與水平方向成45°角的O′B方向做勻速直線運動,速度為

所以本題的正確選項為選項A.

圖2 解析圖

【進(jìn)階題】如圖3所示,一塊橡皮用細(xì)線懸掛于O點,現(xiàn)用一支鉛筆貼著細(xì)線的左側(cè)水平向右以速度v0勻速移動,運動過程中保持鉛筆的高度不變,懸掛橡皮的那段細(xì)線始終保持豎直,則在鉛筆未碰到橡皮前,橡皮的運動情況是( )

A.橡皮在水平方向上做勻速運動

B.橡皮在豎直方向上做加速運動

C.橡皮的運動軌跡是拋物線

圖3 進(jìn)階題題圖

解析:懸掛橡皮的細(xì)線始終保持豎直,橡皮總是在鉛筆的正下方,則橡皮在水平方向速度和鉛筆的速度相同,故A正確.

將鉛筆與繩子接觸點的速度分解為沿繩方向和垂直于繩子方向,如圖4所示,則沿繩子方向的分速度為v0sinθ,橡皮在豎直方向的分速度等于沿繩子方向上的分速度,所以橡皮在豎直方向做加速運動,故B正確.

圖4 鉛筆與繩子接觸點的速度分解

如圖5所示,設(shè)細(xì)線長為l,鉛筆高度為h且保持不變,橡皮運動到A點坐標(biāo)為(x,y),由于“運動中懸線始終保持豎直”,所以有

變形后得(設(shè)a=l-h,a為定值)

結(jié)合以上兩式消去三角函數(shù)可得

圖5 像皮運動軌跡求解分析圖

由此可知方程對應(yīng)的是雙曲線,漸近線為y=±(x-a),橡皮實際運動的軌跡為雙曲線的一部分(第一象限),如圖6所示,故C錯誤.

圖6 雙曲線

根據(jù)平行四邊形定則得：橡皮在圖示位置時的速度大小為

故D錯誤.

在物理競賽中，經(jīng)常涉及到以下曲線方程：圓的方程、橢圓的方程、雙曲線方程、拋物線方程，本文是一例直線和一例雙曲線,供讀者參考.