趙文麗 高峰 王永剛 曹學(xué)成

(山東農(nóng)業(yè)大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院 山東 泰安 271018)

1 引言

大學(xué)物理是理工農(nóng)林學(xué)科學(xué)生必修的一門基礎(chǔ)課，每年都會有大批的大學(xué)一二年級的學(xué)生學(xué)習(xí)這門課程.作為一門公共基礎(chǔ)課程，大學(xué)物理有其自身的特點(diǎn)：一方面，大學(xué)物理問題的解決涉及到許多高等數(shù)學(xué)方面的計(jì)算，求解過程復(fù)雜，有些情況沒有解析結(jié)果，也往往不能得到直觀的物理圖像，這是不利于教學(xué)過程的；另一方面，基礎(chǔ)物理課內(nèi)容多，學(xué)時(shí)少，每節(jié)課授課內(nèi)容量都很大，很多知識點(diǎn)不能深入講解.近年來更是面臨著學(xué)時(shí)一再被壓縮的窘境，這就導(dǎo)致學(xué)生從課堂中獲取的知識量大為減少.因此，物理教師必須尋找一些新的教學(xué)方法，以期在有限的課堂時(shí)間里向?qū)W生傳遞更多的信息.美國Wolfram公司生產(chǎn)的一款數(shù)學(xué)軟件Mathematica在設(shè)計(jì)的過程中考慮了在物理學(xué)方面應(yīng)用的方便性[1]，很適合研究物理問題，它強(qiáng)大的計(jì)算功能和圖像功能可以用于輔助物理教學(xué)與研究.比如董鍵主編的一部教材討論了Mathematica在力學(xué)、光學(xué)、電磁學(xué)等方面的應(yīng)用[2].柳宏德用Mathematica獲得了任意擺角下的單擺周期近似公式[3].楊能彪應(yīng)用Mathematica進(jìn)行物理理論計(jì)算和物理現(xiàn)象可視化的研究[4],獲得了一些有意義的結(jié)論.本文則試圖通過Mathematica設(shè)計(jì)力學(xué)、電磁學(xué)中一些問題的解決方案，探索Mathematica在大學(xué)物理教學(xué)中的應(yīng)用.

2 單擺的小角問題

單擺模型是力學(xué)中很重要的物理模型，普通物理教材中提到[5]，在小角度擺幅下，單擺的運(yùn)動(dòng)近似為簡諧振動(dòng)，其周期、振幅等物理量有精確的解析解，并且周期與振動(dòng)振幅無關(guān).那么究竟這個(gè)“小角度”需要小到什么程度呢？現(xiàn)在可以利用教學(xué)軟件Mathematic來探索這一問題.

圖1 單擺模型

設(shè)系統(tǒng)所在的地球?yàn)閼T性參考系，擺線不計(jì)質(zhì)量且不可伸縮(如圖1)，單擺的擺長為1.5 m，重力加速度取9.8 m/s2.采用自然坐標(biāo)系，擺線在豎直方向時(shí)擺角取零，擺球在右側(cè)擺角取正，切向正方向?yàn)閿[角增大的方向，考慮擺線帶動(dòng)下擺球在豎直平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)，顯然小球沒有沿著擺線所在的法線方向運(yùn)動(dòng)，而在其垂直的切線方向，切向力為

Gτ=-mgsinθ

切向加速度可以表示為

則根據(jù)牛頓第二定律有擺球的運(yùn)動(dòng)方程

maτ=-mgsinθ

(1)

兩邊消去小球質(zhì)量可得

(2)

在小角近似下，sinθ≈θ，該方程有解析解，可以得出周期公式

(3)

如果擺角為任意的角度，單擺的周期也不再有解析解，那么小角近似的周期公式便不再適用了.要求解微分方程(2)，用Mathematica的“NDSolve”命令即可，因?yàn)樗褪菍ｉT求解微分方程的數(shù)值解的工具.從數(shù)值解容易得出不同初始條件下的振幅和周期.如輸入初始位置θ=0，初速度v=0.3 m/s，可得，角振幅和周期的數(shù)值解分別為0.067767°和2.839 27 s.輸入不同的初始條件，就可以得出對應(yīng)的角振幅和周期.為此，可以求出在擺動(dòng)角振幅從0～90°范圍內(nèi)對應(yīng)的周期的數(shù)值解，同時(shí)，為了能夠精確找到周期滿足公式(3)的小角近似的定量條件，可以對數(shù)值解進(jìn)行n(n=4，5，6，7)次多項(xiàng)式擬合，取若干不同的角振幅對應(yīng)周期的數(shù)值解和擬合解相比較如表1所示.從表1中所取的6種情況可以看出，n=4,5時(shí)，某些角振幅下擬合值與數(shù)值計(jì)算解不能完全吻合，而n=6,7時(shí)，二者則完全吻合，因此，擬合多項(xiàng)式的次數(shù)取6已足夠.擬合公式為式(4).

表1 不同角振幅對應(yīng)周期的數(shù)值解和擬合解

T=2.458 18-2.814 99×10-6θ+4.717 02×

10-5θ2-2.044 44×10-8θ3+1.365 28×10-9θ4-

7.230 52×10-12θ5+5.550 18×10-14θ6

(4)

圖2是周期隨著角振幅變化的關(guān)系圖，圓點(diǎn)是數(shù)值解，曲線是擬合公式所得，從圖中可以看出數(shù)值計(jì)算點(diǎn)與擬合曲線符合得非常好，要計(jì)算任意角振幅對應(yīng)的周期，可以用該擬合公式.

圖2 單擺周期隨角振幅的變化

另外,圖2還表明周期是隨著角振幅的增大而增大的，盡管變化是很緩慢的.那么究竟角振幅要小到多少之內(nèi)，周期就不會變化了？基于這樣的疑問，可以用擬合公式計(jì)算相同初始條件下的周期，再與數(shù)值計(jì)算的結(jié)果相比對，表2列出了若干角振幅在0.1°到1.2°對應(yīng)的周期，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，角振幅小于0.5°時(shí)，周期便不再變化，該體系做簡諧振動(dòng).

所以，從計(jì)算所得到的6位有效數(shù)字來看，0.5°以下才算是小角度.這樣，關(guān)于單擺“小角度”的說法獲得了定量的表示.但是，有的物理教材認(rèn)為這個(gè)角度可以是15°甚至可以超過20°[6,7]，這是因?yàn)?，基礎(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)室用來測單擺周期所用的秒表，精度為0.01 s，計(jì)算發(fā)現(xiàn)如果取這樣的精度，角振幅在10°以內(nèi)周期完全相同，即使角振幅達(dá)到20°，誤差也不會超過0.1%.

表2 0.1°～1.2°之間不同角振幅對應(yīng)的周期

3 均勻帶電細(xì)圓環(huán)全空間的電勢分布和場強(qiáng)分布

均勻帶電細(xì)圓環(huán)是靜電場的一個(gè)重要的物理模型.如圖3所示，設(shè)環(huán)的半徑為R，環(huán)的電荷線密度為λ(λ>0)，根據(jù)帶電圓環(huán)的對稱性，選擇柱坐標(biāo)如圖3所示，設(shè)環(huán)心位于O點(diǎn)，帶電圓環(huán)在Oxy平面，φ是圓環(huán)上任意點(diǎn)P′與O點(diǎn)的連線P′O與y軸之間的夾角.空間任意一點(diǎn)P距離Oxy平面為z，與z軸的距離為ρ，P所在的與z軸垂直的平面上距離z軸相等的點(diǎn)電勢相同，所以可以認(rèn)為P點(diǎn)就在Oyz平面上，坐標(biāo)為(0，ρ，z)，根據(jù)電勢疊加原理，P點(diǎn)的電勢是圓環(huán)上所有電荷在該點(diǎn)產(chǎn)生的電勢之和

(5)

令

R2+z2+ρ2=a 2Rρ=b

則得到

(6)

該式中的積分為橢圓積分，其結(jié)果可以用Mathematica內(nèi)置的橢圓函數(shù)表示

(7)

令

得到電勢全空間的分布如圖4所示，從圖中可以看出，在靠近線圈的位置即(0,ρ,z)=(0,1,0)，電勢有極大值，其他位置電勢依次降低，距離線圈很遠(yuǎn)的位置，電勢為零.在線圈內(nèi)部的平面內(nèi)，電勢比線圈外部高.

考慮到電荷分布的對稱性，可以先計(jì)算Oyz平面內(nèi)的電場分布，因?yàn)殡妶鰪?qiáng)度矢量與電勢的微分關(guān)系為

(8)

根據(jù)式(8)畫出的Oyz平面內(nèi)的電力線如圖5所示.

圖5 均勻帶電細(xì)圓環(huán)在Oyz平面內(nèi)的電力線

很顯然，電力線關(guān)于z軸對稱，將y>0或者y<0范圍內(nèi)的電力線繞z軸旋轉(zhuǎn)任意角度就可以得出空間其他位置的電力線.

最后，取z軸這個(gè)特殊的位置進(jìn)行計(jì)算，可以得出通過圓環(huán)中心軸上的場強(qiáng)分布和電勢分布如圖6所示.

圖6 均勻帶電細(xì)圓環(huán)中心軸的電場強(qiáng)度和電勢分布

以上應(yīng)用Mathematica處理均勻帶電細(xì)圓環(huán)的電勢與電場強(qiáng)度問題的過程是先計(jì)算全空間的整體分布，再具體到軸線上.解決問題的過程可以加深學(xué)生對電場強(qiáng)度和電勢這兩個(gè)物理量以及二者之間關(guān)系的理解，其結(jié)果用圖像的形式表示出來，使學(xué)生能夠從整體上把握該體系的電場強(qiáng)度和電勢分布.這種由一般到特殊的方法好處在于能讓學(xué)生在處理物理問題的過程中著眼于大局，從更高的層面去分析問題.

4 結(jié)論

本文用Mathematica軟件對力學(xué)和電磁學(xué)中兩個(gè)重要的物理模型進(jìn)行了深入的研究，給出了單擺小角度的定量解釋以及均勻帶電細(xì)圓環(huán)全空間的電勢和電場強(qiáng)度分布.這種探索對于教師教學(xué)過程以及學(xué)生學(xué)習(xí)過程是非常有益的，而且通過編程計(jì)算作圖的結(jié)果可以直觀呈現(xiàn)給學(xué)生，加深學(xué)生對知識點(diǎn)的理解，提高課堂效率.物理學(xué)的問題五花八門，層出不窮,而Mathematica軟件的計(jì)算和繪圖功能強(qiáng)大,所以，Mathematica在物理問題的研究以及輔助物理教學(xué)方面的應(yīng)用前景是非常廣闊的.