蔣 杰， 周 叮， 胡朝斌

(南京工業(yè)大學(xué) 土木工程學(xué)院，南京 211816)

在土木、航天等領(lǐng)域中，許多復(fù)雜構(gòu)件常常簡化為梁式構(gòu)件進(jìn)行分析，如汽輪機(jī)的葉片和飛機(jī)的機(jī)翼等。由于在長期復(fù)雜的受力環(huán)境下，梁構(gòu)件可能會產(chǎn)生裂縫，從而降低結(jié)構(gòu)的剛度，導(dǎo)致固有頻率下降和響應(yīng)增大。眾所周知，懸臂梁的端部因承受彎矩最大，極易產(chǎn)生裂紋。Chondros等[1]將懸臂梁端部帶裂紋截面的抗彎能力等效為扭轉(zhuǎn)彈簧，其彈簧剛度大小與裂紋的深度緊密相關(guān)。Bamnios等[2]通過理論和實驗研究發(fā)現(xiàn)等效扭轉(zhuǎn)彈簧法僅適用于懸臂梁端部裂縫深度較小的情況，對于深裂紋該模型會產(chǎn)生較大的誤差。Yokoyama等[3]采用線性扭轉(zhuǎn)彈簧模擬任意位置處的裂紋，結(jié)合Euler-Bernoulli梁理論和能量法建立自由振動控制方程，得到的固有頻率與實驗結(jié)果吻合良好。然而，裂紋梁的主變形是連續(xù)的，彈簧模型無法考慮到裂紋周圍的應(yīng)力釋放。Shen等[4]通過引入裂縫函數(shù)對裂縫引起的應(yīng)力場進(jìn)行修正，建立了含有淺裂紋的Euler-Bernoulli梁的運動方程，用伽遼金法和局部利茲法得到自振頻率和相應(yīng)的振型。Chondros等[5]建立了連續(xù)裂縫梁理論模型。結(jié)果表明，連續(xù)裂縫梁模型比等效扭轉(zhuǎn)彈簧模型更接近于實驗結(jié)果。Ebrahimi等[6]基于該理論模型，分析了含有縱向或橫向裂紋梁的動力特性，與有限元對比顯示出很好的一致性。楊鄂川等[7-8]基于連續(xù)梁理論模型，分析了旋轉(zhuǎn)運動和軸向運動效應(yīng)下裂紋梁的橫向振動特性。由于Euler-Bernoulli梁理論只適用于長細(xì)比較小的細(xì)長梁，對于中厚梁，需考慮剪切變形和轉(zhuǎn)動慣量的影響，可采用Timoshenko梁理論來描述梁的變形。Swamidas等[9]分析得出，當(dāng)l/h>10時采用Euler-Bernoulli梁理論和Timoshenko梁理論得到的結(jié)果相似，當(dāng)l/h<10時則二者結(jié)果誤差較大，Timoshenko梁理論的結(jié)果更接近真實值。徐福后等[10]基于傳遞矩陣法分析含裂紋Timoshenko梁自由振動特性，數(shù)值計算結(jié)果驗證了該方法的有效性。Liu等[11]分析了帶有斜裂縫懸臂梁的自由振動特性。馬輝等[12]使用有限元法分析了非對稱夾持的裂縫懸臂梁的振動響應(yīng)。由上述文獻(xiàn)可知，國內(nèi)外學(xué)者很少對梁端部裂紋進(jìn)行精確分析。對于長細(xì)比更小的梁，Timoshenko梁理論仍會產(chǎn)生較大誤差，此時須采用更為精確的彈性力學(xué)理論進(jìn)行分析求解。

本文基于精確的二維彈性力學(xué)理論，分析端部有裂縫懸臂梁的自由振動特性。在裂紋尖端處將裂紋梁沿水平方向劃分為邊界條件不同的兩層子梁，采用Chebyshev-Ritz[13-14]法建立每一層梁的二維振動特征方程，通過上下層沿交界面的位移連續(xù)性條件得到整個懸臂梁的振動特征方程。方法可以很好地分析端部有裂紋厚梁的固有振動特性。

1 端部裂縫懸臂梁的振動分析

1.1 懸臂梁模型和每層梁的動力學(xué)公式

考慮如圖1所示的懸臂梁，長為L，高為h，寬為b，密度為ρ，泊松比為v，彈性模量為E，懸臂梁的端下部有裂縫，深度h1。設(shè)x方向的位移分量為u，z方向的位移分量為w，建立如圖1所示的分析模型。

圖1 端部有裂縫懸臂梁的分析模型

懸臂梁體積域的取值范圍為

(1)

不失一般性，考察第q(q=1，2)層梁的振動特性，其線彈性應(yīng)變能Vq如下：

(2)

考慮x-z平面的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系如下：

(3)

(4)

(5)

將式(3)～(5)代入式(2)得：

(6)

第q層梁的動能Tq為

(7)

為了數(shù)學(xué)形式上的簡化，將x，z坐標(biāo)作無量綱化處理，即：

(8)

1.2 每層梁的位移函數(shù)

不計阻尼，采用分離變量法，則第q層梁自由振動的位移函數(shù)分量可以用下式表示：

uq(ξ,ζq,t)=Uq(ξ,ζq)ejωt，

wq(ξ,ζq,t)=Wq(ξ,ζq)ejωt

(9)

式中：t為時間，ω為裂紋梁的圓頻率，j為單位虛數(shù)，Uq和Wq分別為第q層梁在x方向和z方向的振幅函數(shù)。

將式(9)代入式(6)和(7)中，可得一個振動周期內(nèi)的第q層梁的最大應(yīng)變能和最大動能分別為：

(10)

(11)

1.3 每層梁的振幅函數(shù)

利用第一類切比雪夫多項式和簡單多項式的乘積分別構(gòu)造x方向和z方向的振幅試函數(shù)：

(12)

Ps(x)=cos[(s-1)arccos (x)],

s=1,2,3,…

(13)

本文兩層梁的邊界函數(shù)分量分別為

(14)

1.4 每層梁的特征方程

由瑞利-利茲法，得：

(15)

將式(10)～(14)代入式(15)可以得到第q層梁的特征值方程：

([Kq]-Ω2[Mq]){Xq}=0

(16)

式中 :

式中：[Kq]和[Mq]分別是第q層梁的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣，可以通過高斯數(shù)值積分得到；{Aq}，{Bq}是第q層梁特征值方程中未知系數(shù)組成的特征向量。

(17)

式中：

(18)

式中，

δ=i,j,l,m

(19)

1.5 裂紋梁的特征方程

根據(jù)式(16)，裂紋梁的特征值方程為

([K]-Ω2[M]){X}={0}

(20)

式中：

{X}={{X1} {X2}}T

由于上下兩層梁在界面處須滿足位移連續(xù)性條件，即：

U1(ξ,1)=U2(ξ,-1)，

W1(ξ,1)=W2(ξ,-1)

(21)

將式(21)代入式(12)得：

(22)

又由于切比雪夫多項式具有如下性質(zhì)：

Pc(1)=1，Pc(-1)=(-1)c-1，

(23)

將式(23)代入式(22)，兩邊同時乘以PI(ξ) (I=1,2,3,…,I2)并在區(qū)間(-1,1)對(積分得式(24)。

l=2,3，…，L1

(24)

其中，

由于式(20)中的列向量{X}的系數(shù)并不都是獨立的，須通過式(24)消去非獨立系數(shù)，新建立一個含有N個獨立系數(shù)的列向量。

(25)

(26)

將式(26)代入式(20)得:

(27)

通過求解廣義特征值方程(27)，可以得到任意階無量綱特征頻率和相應(yīng)的特征模態(tài)系數(shù)。

2 特征頻率的收斂性和比較研究

為了驗證本方法的精確性,考察一端部帶有裂縫的懸臂梁，計算參數(shù)為：h/L=0.1,v=0.3。為了便于分析，可對振幅函數(shù)U、W截斷相同的切比雪夫級數(shù)項即：(I1=I2=L1=L2=m)和(J1=J2=M1=M2=n)。表1給出了不同裂縫深度(h1/h=0.1、0.2、0.5)下，裂紋梁前八階無量綱頻率參數(shù)Ω的收斂性。由表可知，隨著截斷項(m×n)的增加可以保證前八階無量綱特征頻率參數(shù)具有四位有效數(shù)字的精度。

(a) 第一階頻率

(b) 第二階頻率

(c) 第三階頻率

圖2 不同高跨比下裂縫深度對前三階無量綱頻率的影響

表2給出了不同高跨比(h/L=0.1，0.2，0.3)下，裂紋梁的前八階無量綱頻率參數(shù)Ω與有限元解的比較。從表中可以看出，二者的結(jié)果吻合很好，其最大相對誤差只有0.06%，證明本文分析方法對于含裂縫的細(xì)長梁和短粗梁都是有效的。

表3進(jìn)一步給出了高跨比為h/L=1/15時，第一階頻率參數(shù)Ψ的本文解和文獻(xiàn)[1]以及有限元解的比較?？梢钥闯?，對于淺裂紋，本文解和二者的結(jié)果都很接近，證明用本文方法研究此類問題的適用性與優(yōu)越性。

3 參數(shù)分析

為了研究高跨比和裂縫深度對懸臂梁特征頻率的影響。圖2給出了不同高跨比(h/L=0.1，0.2，0.3，0.4)下，裂縫深度對前三階無量綱特征頻率的影響。由圖2可知，隨著裂縫深度的增加，頻率逐漸減小，且頻率的減小速率逐漸增大；隨著高跨比的增加，裂縫深度對第一階頻率的影響將越來越明顯。

表2 有限元和本文結(jié)果的比較(h1/h=0.5)

表3 第一階頻率參數(shù)Ψ=ω1/ω1n的比較

考察高跨比和裂縫深度對懸臂梁上下表面振型的影響。取h1/h=0.5，圖3給出了不同高跨比(h1/L=0.1，0.2，0.3)下，梁上下表面豎向位移W的前三階振型圖。從圖中可以看出，高跨比越大、頻率階次越高，梁的上下表面振型差異就越大。圖4給出了高跨比為h/L=0.2時，不同裂縫深度(h1/h=0.1、0.5、0.8)下的懸臂梁上下表面豎向位移W的前三階振型圖。由圖可知，頻率階次越高、裂縫越深，梁上下表面振型的差異就越大。

(a) 第一階頻率

(b) 第二階頻率

(c) 第三階頻率

圖3 不同高跨比下W的前三階振型圖

Fig.3 The first three mode shapes ofWfor different height span ratios

(a) 第一階頻率

(b) 第二階頻率

(c) 第三階頻率

圖4 不同裂縫深度下W的前三階振型圖

Fig.4 The first three mode shapes ofWfor different crack depths

4 結(jié) 論

本文基于二維線彈性理論，利用切比雪夫-利茲法建立端部有裂紋懸臂梁的振動特征方程。將本文解與已有文獻(xiàn)以及有限元解進(jìn)行比較驗證了本方法的正確性和精確性。參數(shù)化分析了裂縫深度、高跨比對特征頻率和振型的影響。主要結(jié)論如下：

(1) 相比于文獻(xiàn)中的等效彈簧法，本文求解特征頻率無需任何模型假設(shè)。建立了一個簡單和精確的端部裂紋梁分析模型。使用切比雪夫多項式與幾何邊界函數(shù)的乘積來構(gòu)造梁位移試函數(shù)，數(shù)值結(jié)果顯示出本方法收斂性好、精度高,可求得任意高跨比下裂紋梁的任意階特征頻率。

(2) 隨著裂縫深度的增加，頻率逐漸減小，裂縫越深，頻率下降越快。高跨比越大，裂縫深度對基頻的影響越大。

(3) 隨著頻率階次的增加，裂縫深度和高跨比對梁上下表面豎向振型的影響越大。