龔媛媛，肖勇波

(清華大學(xué)經(jīng)濟管理學(xué)院，北京 100084)

1 引言

現(xiàn)實生活中有很多新鮮產(chǎn)品(如蘋果、梨等)，它們的采摘集中在較短的時間內(nèi)，但是需求跨越多個季節(jié)。得益于經(jīng)濟發(fā)展和人民生活水平的提高，反季市場的消費規(guī)模和市場潛力不斷增大，越來越多的新鮮產(chǎn)品分銷商采取跨季銷售的模式。2016年，我國第一大水果(蘋果)的貯藏量占到了總產(chǎn)量的37.7%，而山東煙臺、陜西延安和甘肅平?jīng)龅葍?yōu)生區(qū)采后的貯藏量更是超過了50%[1]。

相對于一般耐用品而言，新鮮產(chǎn)品在存儲和運輸過程中難免會發(fā)生變質(zhì)，這給相關(guān)企業(yè)的經(jīng)營管理帶來了更大的挑戰(zhàn)。為了減少新鮮產(chǎn)品在跨季銷售中變質(zhì)帶來的損失，分銷商往往采用先進的冷藏保鮮技術(shù)(如氣調(diào)庫)和冷鏈物流體系。以贛南臍橙為例，過去從秋季采摘到銷售完畢，最長只有兩個月時間；但儲存在氣調(diào)庫中，銷售期可延長至6個月以上。但即便采用了氣調(diào)庫等保鮮努力，新鮮產(chǎn)品的質(zhì)量(如外觀、質(zhì)地、口感等)隨著時間的推移也會逐漸下降。常被消費者詬病的“黑心梨”就是在儲藏期間出現(xiàn)產(chǎn)品生理病害而導(dǎo)致的。質(zhì)量的不確定性進一步加大了需求的不確定性，從而加劇了供需匹配的風(fēng)險。在跨季銷售過程中庫存無法補給、產(chǎn)品質(zhì)量又不斷下降的現(xiàn)實下，如何有效管理庫存是新鮮產(chǎn)品分銷商面臨的一個重大難題。他需要在當(dāng)前確定的但可能較低的收益與未來不確定的但可能較高的收益之間進行權(quán)衡，動態(tài)決策采摘季節(jié)的初始庫存量以及每一銷售周期的庫存配給量，從而優(yōu)化利潤。

易變質(zhì)產(chǎn)品庫存管理一直是管理科學(xué)與工程領(lǐng)域?qū)W者和業(yè)界關(guān)心的熱點話題。初期的文獻大多聚焦于變質(zhì)引起的數(shù)量損耗；對質(zhì)量變質(zhì)的關(guān)注始于Fujiwara和Perera[2]，后續(xù)學(xué)者們結(jié)合不同的應(yīng)用情景，通過將質(zhì)量的瞬時變化率假設(shè)為服從某個特定分布[3]、直接給出質(zhì)量變化的具體函數(shù)[4]以及將其假設(shè)為隨時間遞減的一般函數(shù)形式[5]，對新鮮產(chǎn)品受質(zhì)量變化影響的庫存管理問題展開了深入探討。例如但斌等[6]針對消費者在不同時刻購買新鮮產(chǎn)品的效用變化受新鮮度和價格影響的情形，建立EOQ模型并求解了不同保鮮條件下的最優(yōu)訂貨決策；馮穎等[7]針對由供應(yīng)商主導(dǎo)的物流服務(wù)水平影響產(chǎn)品新鮮度進而對市場需求產(chǎn)生影響的情形，建立三級供應(yīng)鏈競合博弈模型，求解了供應(yīng)商的最優(yōu)定價、TPL服務(wù)商的最優(yōu)服務(wù)水平以及零售商的最優(yōu)采購量決策。

研究新鮮產(chǎn)品跨季銷售問題的文獻偏少，較有代表性的是吳國正[8]，但與該文側(cè)重于研究旺季、淡季的價格變化對庫存配置的影響不同，本文關(guān)注的是產(chǎn)品變質(zhì)因素的影響；此外，我們將淡季的銷售模型擴展到了多個周期的情形，并且利用動態(tài)庫存配給的思想加以求解。在已有的庫存配給文獻中，大多數(shù)學(xué)者假設(shè)系統(tǒng)可以多次補貨，對訂貨/產(chǎn)量決策和庫存配給決策同時進行優(yōu)化(可參見張揚等[9]的綜述)。新鮮產(chǎn)品跨季銷售問題則不然，由于產(chǎn)銷發(fā)生了時間上的分離，分銷商無法在采摘期后再次補貨，需要決策的是比較特殊的“一次采購+多次配給”的聯(lián)合優(yōu)化問題。該問題也可以看作是考慮需求配給的報童問題，代表性文獻包括Sen和Zhang[10]以及汪小京等[11]。類似于肖勇波和龔媛媛[12]針對分銷商采購一批新鮮產(chǎn)品后依次運輸至多個市場銷售的研究，我們同樣構(gòu)建了一個兩階段的庫存決策模型，但區(qū)別于前文關(guān)注的數(shù)量減少的情形，本文關(guān)注的是質(zhì)量降低。產(chǎn)品質(zhì)量的下降直接影響到產(chǎn)品的需求，這一點不同于數(shù)量損毀影響到產(chǎn)品的供給。通過建立動態(tài)規(guī)劃模型，我們逆向求解各銷售期的最優(yōu)配給量決策、以及最優(yōu)初始采購量決策，具體考察了庫存量、新鮮度水平和價格等參數(shù)變化對最優(yōu)配給決策的影響，最后通過數(shù)值實驗對動態(tài)決策的庫存合并效果進行驗證，試圖為新鮮產(chǎn)品分銷商的跨季庫存管理工作提供有益的管理啟示。

2 模型描述

考慮一個經(jīng)營季節(jié)性新鮮產(chǎn)品的分銷商。在產(chǎn)品采摘期，分銷商決策產(chǎn)品的初始庫存量Q；記單位采購成本為c。產(chǎn)品的銷售季可以劃分為n(n≥2)個周期(如圖1所示)。我們考慮一個完全競爭的市場，每期的產(chǎn)品價格pi(i=1,2,…,n)為外生參數(shù)，且為分銷商提前知曉。

圖1 跨季銷售模型示意圖

銷售季中產(chǎn)品的質(zhì)量隨著時間的推移而發(fā)生變化。我們引入“新鮮度”指標(biāo)來刻畫產(chǎn)品的質(zhì)量水平。借鑒肖勇波等[13]、Cai Xiaoqiang等[14]的做法，我們用[0,1]區(qū)間上的新鮮度指標(biāo)來刻畫質(zhì)量水平：新鮮度等于1意味著產(chǎn)品完全新鮮；新鮮度等于0意味著產(chǎn)品完全變質(zhì)。記產(chǎn)品在采摘季的新鮮度為q0=1；第i周期初的新鮮度水平為qi∈[0,1]，服從下列規(guī)律：

qi=θi×qi-1,i=1,2,…,n

其中，庫存保鮮因子θi是[0,1]區(qū)間上的隨機變量，表示庫存產(chǎn)品在第i周期的新鮮度相比于上一周期的保持程度。θi的具體分布取決于產(chǎn)品自身的變質(zhì)特征；記其概率密度函數(shù)和累積概率分布函數(shù)分別為gi(x)和Gi(x)。

產(chǎn)品的新鮮度直接影響該期的市場需求。一般來說，產(chǎn)品新鮮度越低，市場需求越低。因此，我們假設(shè)第i期的市場需求Di滿足如下關(guān)系式：

Di=qidi+εi

其中常量di表示第i期對應(yīng)于產(chǎn)品完全新鮮情形下的平均市場規(guī)模；εi為需求的隨機擾動項，記其概率密度函數(shù)和累積概率分布函數(shù)分別為fi(x)和Fi(x)。不失一般性，假設(shè)E[εi]=0。

銷售季中，隨著時間的推移，產(chǎn)品的庫存量也會發(fā)生變化(取決于前期的銷售情況)。記第i周期初的庫存量為yi。在第i周期初，在觀察到當(dāng)前的剩余庫存量yi和新鮮度qi的前提下，分銷商需要確定當(dāng)期從氣調(diào)庫中調(diào)配的產(chǎn)品數(shù)量(“配給量”)，該決策等價于要確定保留到下一周期的庫存量zi(當(dāng)期的配給量為yi-zi)。產(chǎn)品配給量確定以后，當(dāng)期的市場需求Di實現(xiàn)，部分或者全部需求得以滿足(取決于實際需求與當(dāng)期配給量的大小關(guān)系)。假設(shè)每增加一單位保留到下一周期的產(chǎn)品，分銷商需要支付hi的庫存持有成本。為簡化分析，假設(shè)每周期已經(jīng)出庫、但是未銷售出去的產(chǎn)品殘值為零。分銷商希望通過合理決策各期的庫存配給量，實現(xiàn)自身期望利潤的最大化(假設(shè)他是風(fēng)險中性的)。

3 最優(yōu)決策及性質(zhì)分析

分銷商面臨著一個兩階段決策問題：第一階段確定初始采購量Q；第二階段在每個銷售周期初動態(tài)確定預(yù)留給未來的庫存量(z1,z2,…,zn)。

3.1 最優(yōu)庫存配給決策

我們采用動態(tài)規(guī)劃方法來解決分銷商的多周期庫存配給問題。在第i(=1,2,…,n)期期初，系統(tǒng)狀態(tài)可用三維向量(i,q,y)表示，其中q(∈[0,1])為當(dāng)前的新鮮度水平，而y(∈[0,Q])為當(dāng)前的庫存水平。記函數(shù)Vi(q,y)為分銷商在對應(yīng)狀態(tài)下，通過最優(yōu)庫存配給策略能夠在當(dāng)前及后續(xù)銷售期內(nèi)獲得的最大期望利潤。

對于最后一周期(即i=n)，不管產(chǎn)品新鮮度如何，分銷商應(yīng)該將所有產(chǎn)品出庫進行銷售，因此：

(1)

在中間周期，當(dāng)已知第i+1(i=1,2,…,n-1)周期不同狀態(tài)對應(yīng)的利潤函數(shù)的前提下，第i周期的庫存決策及其利潤函數(shù)由如下遞推方程式確定：

(2)

其中，

(3)

期望利潤函數(shù)的結(jié)構(gòu)性質(zhì)如引理1所示。

引理1：對任意周期i(=1,2,…,n-1)和期初狀態(tài)(q,y)，函數(shù)Vi(q,y)和Ri(z|q,y)具有如下性質(zhì)：

(a)Ri(z|q,y)是關(guān)于(y,z)的聯(lián)合凹函數(shù)；

(b)Vi(q,y)是關(guān)于y的凹函數(shù)。

證明：采用數(shù)學(xué)歸納法證明。首先在最后一周期，由利潤函數(shù)Vn(q,y)不難可得

因此，Vn(q,y)關(guān)于y凹。

(a) 假設(shè)Vi+1(q,y)是關(guān)于y的凹函數(shù)，可得

即函數(shù)Ri(z|q,y)的Hessian矩陣半負(fù)定。因此，Ri(z|q,y)關(guān)于(y,z)聯(lián)合凹。

(b) 返回公式(2)，由(a)知其為目標(biāo)函數(shù)是聯(lián)合凹函數(shù)、同時可行域是凸集的優(yōu)化問題。根據(jù)凸規(guī)劃理論[15]，可知Vi(q,y)是關(guān)于y的凹函數(shù)。

于是，利用數(shù)學(xué)歸納法，我們可將函數(shù)Vi(q,y)和Ri(z|q,y)的凹性推廣到所有周期i(=n-1,n-2,…,1)的情形。

由引理1可知，分銷商在每個周期初決策預(yù)留的庫存量時，面臨的是一個凹規(guī)劃問題。特別是，決策問題的可行域是凸集，因此周期i的最優(yōu)配給量/預(yù)留量是唯一確定的，可由KKT條件進行求解，如定理1所示。

定理1第i(=1,2,…,n-1)周期初，給定分銷商的狀態(tài)(q,y)，最優(yōu)庫存預(yù)留量z*由如下方程組唯一確定：

(4)

其中，Φi(z)為Ri(z|q,y)關(guān)于z的一階導(dǎo)數(shù)，

(5)

λ1和λ2分別為對應(yīng)于邊界條件z≥0和y-z≥0的對偶變量，λ1,λ2≥0。

推論1：在任意周期i(=1,2,…,n-1)，給定期初新鮮度水平q，最優(yōu)庫存保有量z*為期初可用庫存量y的單調(diào)非減函數(shù)。

證明：在對引理1的證明中，已證得Ri(z|q,y)函數(shù)關(guān)于(y,z)的交叉偏導(dǎo)是非負(fù)的，根據(jù)超模理論[16]，當(dāng)q給定時，可知Ri(z|q,y)在(y,z)上具有超模性(Supermodularity)。并且由于

可知z*關(guān)于y單調(diào)非減。

我們可以用收益管理的“邊際分析”方法對推論1進行直觀解釋。令

表示在周期i時分配z單位庫存給未來銷售時，每少分配1單位庫存(即多提供1單位庫存給當(dāng)期市場銷售)能在該周期增加的期望邊際利潤；令

表示在同樣的基礎(chǔ)上，每多分配1單位庫存能在未來i+1～n周期內(nèi)增加的期望邊際利潤。由此，公式(5)可以表示為：Φi(z)=Φ2(z)-Φ1(z)，即未來期望邊際利潤與當(dāng)前期望邊際利潤之差。分銷商通過比較這兩個期望邊際利潤來確定最優(yōu)配給量：當(dāng)分配一件產(chǎn)品給當(dāng)前周期銷售的期望利潤超過將其保留給未來周期銷售所獲得的期望利潤時，就應(yīng)該將產(chǎn)品供應(yīng)給當(dāng)前市場；反之，則留存產(chǎn)品給未來市場。可以看出，未來期望邊際利潤與當(dāng)前庫存量無關(guān)，而當(dāng)前期望邊際利潤是關(guān)于庫存量y的非增函數(shù)，意味著在其他參數(shù)給定的情況下，隨著y的增加，Φi(z)會變大/保持不變，分銷商在未來周期會獲取更優(yōu)的期望邊際利潤，他應(yīng)該提高/維持分配給后續(xù)周期的庫存量。

需要指出的是，當(dāng)?shù)趇(=1,2,…,n-1)期初始庫存量y保持不變時，新鮮度水平q對最優(yōu)配給量z*的影響并不具有類似的單調(diào)性。我們需要考察在y給定時，Ri(z|q,y)函數(shù)關(guān)于(z,q)的交叉偏導(dǎo)(見下式(6))，引理2幫助我們判定其符號方向。

(6)

(1)當(dāng)z*=0時，

其關(guān)于(q,y)的交叉偏導(dǎo)：

(2)當(dāng)z*=y時，

其關(guān)于(q,y)的交叉偏導(dǎo)為：

進一步有：

后面兩種情況可根據(jù)最后一期交叉偏導(dǎo)的符號方向由數(shù)學(xué)歸納法推導(dǎo)。由于

成立，因此綜上三種情況，可知第i期的最優(yōu)值函數(shù)關(guān)于y和q的交叉偏導(dǎo)總是非負(fù)的。

令q1、q2(y)分別為以下方程式的唯一解：

(7)

(8)

定義函數(shù)p1(q|y)、p2(q|y)分別為：

p1(q|y)

(9)

p2(q|y)

(10)

引理3：對于任意周期i(=1,2,…,n-1)及庫存量y(>0)，總有q1≤q2(y)以及p1(q|y)≥p2(q|y)成立。

由公式(9)和(10)可知p1(q|y)≥p1(q|0)、p2(q|y)≤p2(q|0)。由于

p1(q|0)=p2(q|0)

因此p1(q|y)≥p2(q|y)成立。

直觀上，q1表示在不分配產(chǎn)品給后續(xù)周期的情況下，未來期望邊際利潤為0時的新鮮度水平；q2(y)表示在分配y件產(chǎn)品到后續(xù)周期銷售的情況下，未來期望邊際利潤為0時的新鮮度水平。p1(q|y)、p2(q|y)可理解為給定期初庫存量y，在對應(yīng)期初新鮮度水平q時，使分銷商的期望利潤分別在不給后續(xù)周期分配產(chǎn)品以及把所有產(chǎn)品都分配給后續(xù)周期銷售的情況下達到最優(yōu)的價格閾值。定理2進一步給出了分銷商在不同參數(shù)條件下的最優(yōu)配給策略選擇。

定理2若分銷商到達周期i(=1,2,…,n-1)時的既定狀態(tài)為(q,y)，他所對應(yīng)的策略選擇為：

(a)當(dāng)q

(b)當(dāng)q≥q2(y)且pi≤p2(q|y)時，分銷商應(yīng)該將所有貨物都分配給未來周期銷售(z*=y)；

證明：我們根據(jù)定理1 KKT條件所示的三種情形分別進行分析：

(a)當(dāng)λ1≥0且λ2=0時，Ri(z|q,y)在[0,y]上單調(diào)非增，在z*=0處取得最大值；此時需滿足：

(11)

根據(jù)q1的定義，注意到當(dāng)q

即pi≥p1(q|y)，因此當(dāng)q≥q1且pi≥p1(q|y)時，同樣有z*=0成立。

(b) 當(dāng)λ1=0且λ2≥0時，Ri(z|q,y)在[0,y]上單調(diào)非減，在z*=y處取得最大值；此時需滿足：

(12)

根據(jù)q2(y)的定義，注意到不等式(12)只有當(dāng)q≥q2(y)，即左邊≥0時，才有存在的前提。在此基礎(chǔ)上，可進一步將(12)整理為：

即pi≤p2(q|y)，因此在q≥q2(y)且pi≤p2(q|y)時，z*=y能夠成立。

(13)

(14)

當(dāng)q1q2(y)時，(13)等價于pip2(q|y)。

由定理2可知，在新鮮度水平給定的情況下，周期i的期初庫存量越高，分銷商將傾向于分配更多的庫存在后續(xù)周期銷售；而在庫存水平給定的情況下，分銷商的配給量決策同時受到新鮮度水平和銷售價格的共同影響。根據(jù)引理3所揭示的各閾值之間的大小關(guān)系，我們可以將二維空間(q,pi)劃分為三個不同的區(qū)域，分別對應(yīng)于分銷商在該期全部配給、部分配給還是不配給貨物的策略選擇，如圖2所示。

圖2 分銷商在第i期給定y時的最優(yōu)配給策略選擇

分銷商在周期i確定當(dāng)期的最優(yōu)配給量時，除了考慮上述所討論的新鮮度水平、庫存量和價格等因素外，還需要考慮到分配給未來周期銷售的產(chǎn)品在儲藏過程中可能發(fā)生的變質(zhì)因素。推論2說明了質(zhì)量變質(zhì)風(fēng)險對最優(yōu)配給量的影響。

推論2：對任意周期i(=1,2,…,n-1)，在其他參數(shù)保持不變的情況下，庫存保鮮因子θi+1在隨機意義下越大，該期所對應(yīng)的最優(yōu)庫存配給量z*也越大。

推論2符合人們的直觀判斷，即產(chǎn)品越能保持新鮮，未來銷售所獲利潤就會越大，則應(yīng)該分配更多的庫存在未來周期銷售。事實上，越來越多的分銷商選擇采用效果更好的保鮮手段來存儲產(chǎn)品，以提高產(chǎn)品在反季的市場競爭力。

3.2 最優(yōu)初始采購量決策

在刻畫了多周期的最優(yōu)庫存配給決策的基礎(chǔ)上，我們進一步對分銷商的最優(yōu)初始采購量決策展開分析。

假設(shè)分銷商在采摘期訂購到的是完全新鮮的產(chǎn)品(即第一期的新鮮度水平q1=θ1)，他需要確定最優(yōu)的初始庫存量Q*，以使整個銷售期間的期望利潤最大化。記V(Q)為分銷商在初始采購量為Q以及對應(yīng)的配給策略V1(q1,Q)下所能獲得的期望利潤，則有：

V(Q)=E[V1(θ1,Q)]-cQ

(15)

其中V1(q1,Q)對應(yīng)于產(chǎn)品在銷售首期新鮮度降為θ1時，分銷商通過在當(dāng)前及未來的所有銷售周期動態(tài)調(diào)整庫存決策所能獲得的最大期望利潤。

由引理1可知，V1(q1,Q)是關(guān)于Q的凹函數(shù)，易知V(Q)也是關(guān)于Q的凹函數(shù)。因此最優(yōu)初始采購量決策Q*可以非常直觀地由一階條件獲得，如定理3所示。

定理3當(dāng)利潤函數(shù)V1(q1,Q)為已知的前提下，分銷商的最優(yōu)初始采購量決策Q*由如下方程唯一確定：

(16)

由于函數(shù)V1(q1,Q)是由公式(1)所示的遞歸形式，難以得到Q*的顯性表達式，我們可以通過一些搜索算法來進行求解。

4 靜態(tài)配給及采購量決策

由于動態(tài)配給方法會追蹤產(chǎn)品在每個周期的新鮮度變化，并據(jù)此調(diào)整庫存決策，能更好地匹配有限的供給和不確定的需求，因此可以預(yù)見庫存合并效果的存在。我們以一個虛擬的靜態(tài)系統(tǒng)作為參照：分銷商在初始采購期就針對各期做好全部決策工作，即事先確定各期的庫存配給量，分開進行獨立管理。

(17)

(18)

注意到在產(chǎn)品不發(fā)生變質(zhì)的極端情況下，qi=1(i=1,2,…,n)總成立，模型的不確定性僅體現(xiàn)在各周期的需求擾動項上，由于假設(shè)εi為獨立同分布的隨機變量，因此庫存配給模型退化為簡單的n個獨立的庫存采購模型，此時采用靜態(tài)的報童模型方法求解得到的結(jié)果與最優(yōu)的動態(tài)結(jié)果等價。

5 數(shù)值實驗

為體現(xiàn)動態(tài)策略在多周期問題中的突出優(yōu)勢，我們考慮n=5的情形，同時為簡化計算，我們假設(shè)庫存保鮮因子θi(i=1,2,…,n)服從一個離散分布：

其中，α(∈[0,1])為θi的較低取值，β∈[0,1]表示θi取值1的概率，即產(chǎn)品在第i周期以β的概率不繼續(xù)變質(zhì)，以1-β的概率變質(zhì)且新鮮度降為上一周期新鮮度的α比例。為提高計算效率，我們沒有采用求積分的方式計算每期需求的期望值，而是通過隨機生成N=2000個服從均值為0、標(biāo)準(zhǔn)差為σ的正態(tài)分布的隨機數(shù)，來模擬εi的實現(xiàn)值，從而用樣本平均值代替總體期望值。為減少計算量，產(chǎn)品采購量和留存量將只取整數(shù)值。

基礎(chǔ)組的實驗參數(shù)按如下設(shè)置：

庫存保鮮因子θi(i=1～5)的較低取值α=0.5；

庫存保鮮因子θi(i=1～5)取值1的概率β=0.5；

各期對應(yīng)完全新鮮產(chǎn)品的需求量

di=100(i=1～5)；

各期需求擾動因子εi(i=1～5)的標(biāo)準(zhǔn)差σ=10；

單位采購成本c=40；

各期單位產(chǎn)品價格pi=100(i=1～5)；

保鮮期單位產(chǎn)品儲藏成本hi=10(i=1～4)。

5.1 產(chǎn)品變質(zhì)性的影響

在第一組實驗中，我們考察保鮮因子的較低取值α的變動所帶來的影響。α越小，說明庫存保鮮因子的方差越大，即產(chǎn)品在隨機意義下，越容易變質(zhì)。我們計算了在α在[0,1]上的不同取值下，靜態(tài)系統(tǒng)和動態(tài)系統(tǒng)的最優(yōu)總采購量及對應(yīng)的最優(yōu)期望利潤，如表1所示。

表1 庫存保鮮因子取值分布對績效的影響

表1的最后一列顯示了分銷商采用動態(tài)庫存配給策略所獲得的最優(yōu)期望利潤，相比采用靜態(tài)配給策略多出的比例。可以看出，動態(tài)策略總是能夠在總采購量低于靜態(tài)總采購量的情況下，取得比靜態(tài)總期望利潤更好的表現(xiàn)，并且動態(tài)策略的這種庫存風(fēng)險合并效果隨變質(zhì)風(fēng)險的加大而更加顯著，極端情況下(產(chǎn)品有一半的概率完全變質(zhì))，利潤的改進比例達到15.97%。

在第二組實驗中，我們保持基礎(chǔ)組的其他實驗參數(shù)不變，改變保鮮因子取值1時的概率β(β越接近0.5，庫存保鮮因子的方差會越大，表明變質(zhì)的不確定性越高)。實驗結(jié)果如表2所示。

以上兩組實驗共同說明了產(chǎn)品變質(zhì)的風(fēng)險越大(即庫存保鮮因子的方差越大)，動態(tài)配給策略的利潤改進效果越為顯著，這與前人研究中產(chǎn)品的變質(zhì)特性會直接影響到庫存風(fēng)險合并效果大小的論述一致。

5.2 需求波動性的影響

在第三組實驗中，我們保持基礎(chǔ)組的其他實驗參數(shù)不變，改變各期市場規(guī)模d的大小。實驗結(jié)果如表3所示，隨著d的不斷增大，采購量和供應(yīng)給跨季市場的產(chǎn)品數(shù)量不斷增加，動態(tài)系統(tǒng)相比靜態(tài)系統(tǒng)最優(yōu)期望利潤的改進比例也呈增長的趨勢。當(dāng)市場對完全新鮮產(chǎn)品的確定性需求數(shù)量達到140個單位/期時，利潤改進比例達到8.29%，我們可以合理預(yù)見隨著d的增加，利潤改進比例還將提高，但增幅會越來越有限。

表2 庫存保鮮因子概率分布對績效的影響

表3 市場規(guī)模對績效的影響

從ε的角度考察需求波動性影響的第四組實驗結(jié)果如表4所示。隨著標(biāo)準(zhǔn)差σ的增加，總采購量不斷降低，供應(yīng)給跨季市場銷售的產(chǎn)品數(shù)量也在不斷減少，并且動態(tài)系統(tǒng)的利潤改進比例也呈現(xiàn)出不斷減小的趨勢。當(dāng)市場上不存在隨機擾動時，需求完全由產(chǎn)品新鮮度和市場規(guī)模決定，動態(tài)策略的改進比例達到最高的8.7%。

兩組實驗結(jié)果表明由d和ε造成的需求波動性，對動態(tài)策略的庫存風(fēng)險合并效果具有同樣的影響，即需求的不確定性越低，來自市場的風(fēng)險越小，動態(tài)策略的優(yōu)化效果會更加顯著。

6 結(jié)語

本文考慮新鮮產(chǎn)品的分銷商在應(yīng)季采購一定數(shù)量的庫存留待后續(xù)季節(jié)銷售的問題。我們將其分解為一個兩階段的庫存決策問題并采用動態(tài)規(guī)劃方法進行分析，證明了每個周期的最優(yōu)配給量是唯一確定的，可用KKT條件進行求解。進一步地，我們指出在其他參數(shù)保持不變的情況下，當(dāng)期初庫存水平越大、期初價格越低、期初新鮮度越高以及下期的變質(zhì)風(fēng)險越低時，留存給未來銷售周期的庫存量應(yīng)該越多。數(shù)值實驗結(jié)果還表明當(dāng)產(chǎn)品變質(zhì)風(fēng)險更大、需求不確定性更低時，動態(tài)庫存配給策略能夠為分銷商帶來更加顯著的利潤改進效果。

表4 需求擾動項對績效的影響

新鮮產(chǎn)品的變質(zhì)特性和跨季市場的風(fēng)險因素加大了經(jīng)銷商的盈利難度，給他們的庫存管理帶來了極大的挑戰(zhàn)。另外，產(chǎn)品無法在跨季市場上補貨以及因質(zhì)量降低而加劇的需求不確定性因素，使得這一問題相比一般的多周期庫存問題具有不一樣的供需匹配的難點。采用動態(tài)配給策略，對同時面臨著供應(yīng)受限和需求不確定的變質(zhì)產(chǎn)品進行庫存管理，是獲得利潤最大化的有效方式，具有廣闊的研究前景。我們的工作還可以從以下幾個方面進行拓展：(1)引入新鮮度的需求敏感系數(shù)，考慮更為一般的非線性關(guān)系的情形；(2)將模型擴展為同時考慮保鮮投資和庫存配給的多周期聯(lián)合決策的問題；(3)納入新鮮產(chǎn)品供應(yīng)鏈上其他相關(guān)利益主體的優(yōu)化問題展開研究。